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广东广雅中学2025－2026学年第二学期第一次学情自测八年级数学试卷
1．若在实数范围内有意义，则的值可以是（　　）
A．－2 B．3 C．－1 D．0
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件得，
解得：．
∴3符合题意，
故答案为：B.
【分析】先利用二次根式有意义的条件列出不等式，求出x的取值范围，再求解即可.
2．下列各组数为勾股数的是（　　）
A．0.3 B．
C．7，24，25 D．
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；勾股数
【解析】【解答】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意；
B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意；
C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意；
D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用勾股数的定义及判断方法（满足两个数的平方和等于第三个数的平方，且这三个数均为正整数，这三个数就是勾股数）分析求解即可.
3．高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析．由于小王没有参加本次集体测试，因此计算其他52人的平均分为121分，方差．后来小王进行了补考，成绩为121分，关于该班成绩分析，下列说法正确的是（　　）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵小王的成绩和其他52人的平均分相同，都是121分，
∴该班53人的平均分为分，平均分不变；
该班53人的方差为，
∴方差变小．
故答案为： B.
【分析】利用平均数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
4．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的部分图象交轴于点，
∴时，的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
5．将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向上平移个单位长度，
平移后直线解析式为，
当时，，即平移后直线与轴交点为；
当时，，解得，即平移后直线与轴交点为，
直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为和，
三角形面积为．
故答案为：D.
【分析】先求出平移后的解析式，再求出平移后的图象与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可.
6．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（　　）
A．30 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴的整数部分，小数部分
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，，再将a、b的值代入计算即可.
7．如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，相交于点O，设与相交于点
∵沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点M是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴与重合，
∴．
故答案为：D.
【分析】连接，相交于点O，设与相交于点E，利用折叠的性质可得，再利用菱形的性质和勾股定理求出，再证出是等边三角形，可得，最后求出即可．
8．一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　）
A．1或 B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数，
即，
∵方程有两个相等的实数根，且，，，
∴，
解得：或，均满足，
∴为或．
故答案为：A.
【分析】先利用根的判别式求出，再结合“方程有两个相等的实数根”列出方程求出m的值即可.
9．某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（　　）
A．涨价后每件工艺品的售价是元
B．涨价后每件售出工艺品的利润是元
C．涨价后每天销售工艺品的数量是件
D．可列方程为
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：A． 涨价后每件工艺品的售价应为元，而非元，原说法错误，不符合题意．
B． 涨价后每件工艺品的利润为元，而非元，原说法错误，不符合题意．
C． ∵单价每涨1元，每天少售出10件，
∴涨元时，少售出件，
∵原销量为300件，
∴涨价后每天销售工艺品的数量是件，原说法正确，符合题意．
D． 总利润单件利润销量，单件利润为元，销量为件，故方程应为，而非，原说法错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的信息分别求出售价、利润和数量，再结合“ 总利润单件利润销量 ”列出方程，最后逐项分析判断即可.
10．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中．
①当时，则；
②若方程有两根，则；
③点，是抛物线上不同的两个点，当时，；
④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点．
以上结论正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线顶点坐标为，，抛物线与轴交于点，
∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线，
则，可得，
将代入得，
将代入得，即，
①∵，
∴，
解得，故①正确；
②方程等价于，
该方程有实数根的条件为抛物线与直线有交点，
∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下，顶点是最高点，
∴当，抛物线与直线有交点，
解得，
当，该方程有两个相等的实数根，
当，该方程有两个不等的实数根，
故满足要求，结论错误，故②错误；
③∵抛物线开口向下，
∴点到对称轴的距离越远，函数值越小，
∵对称轴为，，
说明到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴，故③正确；
④将抛物线化为顶点式，
联立，
可得，
其判别式，
由已知条件无法确定恒大于，不能确定总有两个不同交点，故④错误．
综上①③正确，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的图象、性质与系数的关系，一元二次方程的根的个数与二次函数的图象与坐标轴的交点个数问题以及一次函数与二次函数的关系逐项分析判断即可.
11．中，三边分别为a，b，c，斜边，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：为直角三角形，斜边，
由勾股定理得，，
所以．
故答案为：8.
【分析】利用勾股定理可得，再求出的值即可.
12．等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是　 　．
【答案】7或8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
解得，，
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为；
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为．
故答案为：7或8.
【分析】先求出方程的解，再分类讨论：①当腰长为，底边长为时，②当腰长为，底边长为时，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式求解即可.
13．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是　 　．
【答案】①④
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
②∵，不能判定，
∴不能判定四边形是平行四边形；
③添加不能判定四边形是平行四边形；
④∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
故答案为：①④．
【分析】先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质以及平行四边形的判定方法、全等三角形的判定和性质以及线段的和差和等量代换逐项分析判断即可.
14．将按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，
（15，7）表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1，那么第7个就是：，
．
故答案为2．
【分析】根据数阵的排列，总结规律，结合二次根式的乘法即可求出答案.
15．新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”．
已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵为该抛物线的“半垂三角形”，点，点C为“半垂点”，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵点C在x轴正半轴上，
∴点，
设抛物线的解析式为，
则，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的对称轴是直线．
故答案为：．
【分析】先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，再利用平移的性质求出平移后的解析式，最后求出抛物线的对称轴即可.
16．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：
∵方程有两个不等实数根
即，
.
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，
∴，
，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合求解即可.
（1）解：
∵方程有两个不等实数根
即，
；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，
∴，
，
．
17．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上．
（1）直接写出________，________，________；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）5；10；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
由（1）知，，，，
则，
是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：，，；
故答案为：5，10，.
【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC和AC的长即可；
（2）先求出，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形即可．
（1）解：，，；
故答案为：5，10，；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
由（1）知，，，，
则，
是直角三角形．
18．在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
【答案】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
菱形的边长为4，高为，
菱形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则菱形的边长为4，高为，再根据菱形面积即可求出答案.
19．某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中的值为___________，这组每天在校体育活动时间数据的众数是___________和中位数是___________；
（2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数．
（3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．
【答案】（1）40，，，
（2）解：.
（3）解：（人）
所以该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次接受调查的初中学生人数（人）．
根据题意，得
解得
这组数据中出现次数最多的数据为，所以众数为．
这组数据共个，按大小顺序排列后，第个和第个数分别为和，所以这组数据的中位数为．
故答案为：，，，
【分析】（1）利用“1.2h”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出m的值，最后利用众数和中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用平均数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“大于1h”的百分比，再乘以2700可得答案.
（1）本次接受调查的初中学生人数（人）．
根据题意，得
解得
这组数据中出现次数最多的数据为，所以众数为．
这组数据共个，按大小顺序排列后，第个和第个数分别为和，所以这组数据的中位数为．
故答案为：，，，
（2）
（3）（人）
所以该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人．
20．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA，PB，PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请求出QP+QA的最小值．
【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=1；令y=0，得x=2，
∴A（2，0），B（0，1）．
∵抛物线经过A、B两点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）①设点P的坐标为（，），过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E．
∴
∵
∴
∴，
∵点P在第一象限，所以
∴点P的坐标为（，1）
②设抛物线与x轴的另一交点为C，则点C的坐标为（，）
连接PC交对称轴一点，即Q点，则PC的长就是QP+QA的最小值，
所以QP+QA的最小值就是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）①设点P的坐标为（，），过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，再结合，可得，求出a的值，从而可得点P的坐标即可；
②连接PC交对称轴一点，即Q点，则PC的长就是QP+QA的最小值，再利用勾股定理求出PC的长即可.
21．根据以下素材，探索完成任务．
探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题
素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱．
素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示．
问题解决
任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）；
任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】解：任务一：根据题意，设与之间的函数关系式为，
代入，得，
解得，
∵不考虑亏本出售的情况，成本价为80元/盒，
∴
∴与之间的函数关系式为；
任务二：根据题意，，
解得，，
∵市场规定：该茶叶获利不得高于，
∴，
∴，
∴若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为90元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务一：设与之间的函数关系式为，根据待定系数法将点入，代入解析式即可求出答案.
任务二：根据总利润=单件利润×总销售量建立方程，解方程可得 解得，， 再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
22．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得．
（1）___________；
【探究提炼】
（2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数；
【理解应用】
（3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）；
（2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，设，
则，，
∵，即，
∴，
∴，
∴当最小时，即最小时，面积最小，
∴当时，即最小，面积最小，
如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴
∴的面积存在最小值是．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）由折叠知，折痕 GH 垂直平分 DP，
∴ PD = PH，且 GHDP。
已知 PH AC，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，
∴ ∠ BAC = 45°，且 AC BD。
由 PHAC 得 PHBD，又 PD = PH，可推得 △ PDH 为等腰直角三角形，
∴ ∠ PDH = 45°。
但结合折叠过程，点 D 折叠至 P，折痕 GH 与 DP 中点连线，结合位置关系进一步计算得 ∠ PDH = 22.5°。
故答案为：22.5°。
【分析】本题综合考查正方形与菱形的折叠性质、轴对称、全等三角形、特殊角三角函数及最值问题。（1）利用折叠得 PD = PH，结合 PHAC 及正方形对角线性质，可得 ∠ PDH 的度数，关键在于识别等腰直角三角形或特殊角关系。
（2）点 P 在 BC 上任意位置时，需证明 ∠DPQ 为定值。折叠性质结合正方形对称性，可推出 Q 在 AC 上且△ DPQ 为等腰直角三角形。
（3）在菱形中，由 MN = ND 可确定点 N 轨迹，转化为求△MND 面积最小值。利用对称性、垂线段最短及三角函数求解。
23．【基础知识】
将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形．
（1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________．
【基本技能】
（2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点．
①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式；
②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由．
【应用拓展】
（3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；
（2）①当时，则直线为直线，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
过点E作于，如图所示：
，
，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把与代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
②当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
变化时，的面积是定值，；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1）．
证明：，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
在和中
，
，
∴．
（3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴点的坐标是，点的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，解得：，
则；
②如图，
如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∵点在直线的图象上，
∴，
∴，
∴．
综上，或．
【分析】（1） 过点作交于点，过点作交于点，再利用“AAS”证出△BEC≌△CDA，再利用全等三角形的性质可得；
（2）①过点E作于，先利用“AAS”证出△BED≌△ABO，利用全等三角形的性质可得，可得点E的坐标，再利用待定系数法求出直线BE的解析式即可；
②过点作于，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得MNOB=4，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分类讨论：①过作轴交于点，过作轴于点；②过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，先分别画出图形，再分别求解即可.
24．已知方程的根都是整数，求整数n的值.
【答案】解：原方程解得：
∵方程的根是整数，
∴4n2+32n+9是完全平方数
设4n2+32n+9=m2(m≠0且为整数)，
(2n+8)2-55=m2
∴(2n+8+m)(2n+8-m)=55，而55=1×55=5×11=(-1)×(-55)=(-5)×(-11)，∴可能有如下四种情况：
∴对应n的值分别为10，0，-18，-8.
∴整数n的值为-18，-8，0，10.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】利用求根公式求得x的值，让根的判别式为一个完全平方数，进而整理为两个因式的积为一个常数的形式，判断整数解即可.
1 / 1广东广雅中学2025－2026学年第二学期第一次学情自测八年级数学试卷
1．若在实数范围内有意义，则的值可以是（　　）
A．－2 B．3 C．－1 D．0
2．下列各组数为勾股数的是（　　）
A．0.3 B．
C．7，24，25 D．
3．高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析．由于小王没有参加本次集体测试，因此计算其他52人的平均分为121分，方差．后来小王进行了补考，成绩为121分，关于该班成绩分析，下列说法正确的是（　　）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
4．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （　　）
A． B．
C．或 D．或
5．将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（　　）
A．30 B． C． D．
7．如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
8．一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　）
A．1或 B． C．1 D．2
9．某网店将每件进价为20元的工艺品以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若该网店想每天获得3750元利润，则每件工艺品应涨多少元？如果设每件工艺品应涨x元，则下列说法正确的是（　　）
A．涨价后每件工艺品的售价是元
B．涨价后每件售出工艺品的利润是元
C．涨价后每天销售工艺品的数量是件
D．可列方程为
10．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中．
①当时，则；
②若方程有两根，则；
③点，是抛物线上不同的两个点，当时，；
④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点．
以上结论正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
11．中，三边分别为a，b，c，斜边，则的值为　 　．
12．等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是　 　．
13．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是　 　．
14．将按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是　 　．
15．新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”．
已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线　 　．
16．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
17．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上．
（1）直接写出________，________，________；
（2）判断的形状，并说明理由．
18．在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
19．某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中的值为___________，这组每天在校体育活动时间数据的众数是___________和中位数是___________；
（2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数．
（3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．
20．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA，PB，PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请求出QP+QA的最小值．
21．根据以下素材，探索完成任务．
探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题
素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱．
素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示．
问题解决
任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）；
任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？
22．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得．
（1）___________；
【探究提炼】
（2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数；
【理解应用】
（3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由．
23．【基础知识】
将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形．
（1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________．
【基本技能】
（2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点．
①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式；
②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由．
【应用拓展】
（3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标．
24．已知方程的根都是整数，求整数n的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件得，
解得：．
∴3符合题意，
故答案为：B.
【分析】先利用二次根式有意义的条件列出不等式，求出x的取值范围，再求解即可.
2．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；勾股数
【解析】【解答】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意；
B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意；
C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意；
D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用勾股数的定义及判断方法（满足两个数的平方和等于第三个数的平方，且这三个数均为正整数，这三个数就是勾股数）分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵小王的成绩和其他52人的平均分相同，都是121分，
∴该班53人的平均分为分，平均分不变；
该班53人的方差为，
∴方差变小．
故答案为： B.
【分析】利用平均数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的部分图象交轴于点，
∴时，的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
5．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向上平移个单位长度，
平移后直线解析式为，
当时，，即平移后直线与轴交点为；
当时，，解得，即平移后直线与轴交点为，
直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为和，
三角形面积为．
故答案为：D.
【分析】先求出平移后的解析式，再求出平移后的图象与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴的整数部分，小数部分
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，，再将a、b的值代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，相交于点O，设与相交于点
∵沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点M是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴与重合，
∴．
故答案为：D.
【分析】连接，相交于点O，设与相交于点E，利用折叠的性质可得，再利用菱形的性质和勾股定理求出，再证出是等边三角形，可得，最后求出即可．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数，
即，
∵方程有两个相等的实数根，且，，，
∴，
解得：或，均满足，
∴为或．
故答案为：A.
【分析】先利用根的判别式求出，再结合“方程有两个相等的实数根”列出方程求出m的值即可.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：A． 涨价后每件工艺品的售价应为元，而非元，原说法错误，不符合题意．
B． 涨价后每件工艺品的利润为元，而非元，原说法错误，不符合题意．
C． ∵单价每涨1元，每天少售出10件，
∴涨元时，少售出件，
∵原销量为300件，
∴涨价后每天销售工艺品的数量是件，原说法正确，符合题意．
D． 总利润单件利润销量，单件利润为元，销量为件，故方程应为，而非，原说法错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的信息分别求出售价、利润和数量，再结合“ 总利润单件利润销量 ”列出方程，最后逐项分析判断即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线顶点坐标为，，抛物线与轴交于点，
∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线，
则，可得，
将代入得，
将代入得，即，
①∵，
∴，
解得，故①正确；
②方程等价于，
该方程有实数根的条件为抛物线与直线有交点，
∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下，顶点是最高点，
∴当，抛物线与直线有交点，
解得，
当，该方程有两个相等的实数根，
当，该方程有两个不等的实数根，
故满足要求，结论错误，故②错误；
③∵抛物线开口向下，
∴点到对称轴的距离越远，函数值越小，
∵对称轴为，，
说明到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴，故③正确；
④将抛物线化为顶点式，
联立，
可得，
其判别式，
由已知条件无法确定恒大于，不能确定总有两个不同交点，故④错误．
综上①③正确，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的图象、性质与系数的关系，一元二次方程的根的个数与二次函数的图象与坐标轴的交点个数问题以及一次函数与二次函数的关系逐项分析判断即可.
11．【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：为直角三角形，斜边，
由勾股定理得，，
所以．
故答案为：8.
【分析】利用勾股定理可得，再求出的值即可.
12．【答案】7或8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
解得，，
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为；
当腰长为，底边长为时，
，满足三角形三边关系，
该三角形的周长为．
故答案为：7或8.
【分析】先求出方程的解，再分类讨论：①当腰长为，底边长为时，②当腰长为，底边长为时，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式求解即可.
13．【答案】①④
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
②∵，不能判定，
∴不能判定四边形是平行四边形；
③添加不能判定四边形是平行四边形；
④∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
故答案为：①④．
【分析】先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质以及平行四边形的判定方法、全等三角形的判定和性质以及线段的和差和等量代换逐项分析判断即可.
14．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，
（15，7）表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1，那么第7个就是：，
．
故答案为2．
【分析】根据数阵的排列，总结规律，结合二次根式的乘法即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵为该抛物线的“半垂三角形”，点，点C为“半垂点”，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵点C在x轴正半轴上，
∴点，
设抛物线的解析式为，
则，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的对称轴是直线．
故答案为：．
【分析】先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，再利用平移的性质求出平移后的解析式，最后求出抛物线的对称轴即可.
16．【答案】（1）解：
∵方程有两个不等实数根
即，
.
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，
∴，
，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合求解即可.
（1）解：
∵方程有两个不等实数根
即，
；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，
∴，
，
．
17．【答案】（1）5；10；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
由（1）知，，，，
则，
是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：，，；
故答案为：5，10，.
【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC和AC的长即可；
（2）先求出，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形即可．
（1）解：，，；
故答案为：5，10，；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
由（1）知，，，，
则，
是直角三角形．
18．【答案】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
菱形的边长为4，高为，
菱形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则菱形的边长为4，高为，再根据菱形面积即可求出答案.
19．【答案】（1）40，，，
（2）解：.
（3）解：（人）
所以该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次接受调查的初中学生人数（人）．
根据题意，得
解得
这组数据中出现次数最多的数据为，所以众数为．
这组数据共个，按大小顺序排列后，第个和第个数分别为和，所以这组数据的中位数为．
故答案为：，，，
【分析】（1）利用“1.2h”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出m的值，最后利用众数和中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用平均数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“大于1h”的百分比，再乘以2700可得答案.
（1）本次接受调查的初中学生人数（人）．
根据题意，得
解得
这组数据中出现次数最多的数据为，所以众数为．
这组数据共个，按大小顺序排列后，第个和第个数分别为和，所以这组数据的中位数为．
故答案为：，，，
（2）
（3）（人）
所以该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人．
20．【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=1；令y=0，得x=2，
∴A（2，0），B（0，1）．
∵抛物线经过A、B两点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）①设点P的坐标为（，），过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E．
∴
∵
∴
∴，
∵点P在第一象限，所以
∴点P的坐标为（，1）
②设抛物线与x轴的另一交点为C，则点C的坐标为（，）
连接PC交对称轴一点，即Q点，则PC的长就是QP+QA的最小值，
所以QP+QA的最小值就是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）①设点P的坐标为（，），过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，再结合，可得，求出a的值，从而可得点P的坐标即可；
②连接PC交对称轴一点，即Q点，则PC的长就是QP+QA的最小值，再利用勾股定理求出PC的长即可.
21．【答案】解：任务一：根据题意，设与之间的函数关系式为，
代入，得，
解得，
∵不考虑亏本出售的情况，成本价为80元/盒，
∴
∴与之间的函数关系式为；
任务二：根据题意，，
解得，，
∵市场规定：该茶叶获利不得高于，
∴，
∴，
∴若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为90元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务一：设与之间的函数关系式为，根据待定系数法将点入，代入解析式即可求出答案.
任务二：根据总利润=单件利润×总销售量建立方程，解方程可得 解得，， 再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
22．【答案】解：（1）；
（2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，设，
则，，
∵，即，
∴，
∴，
∴当最小时，即最小时，面积最小，
∴当时，即最小，面积最小，
如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴
∴的面积存在最小值是．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）由折叠知，折痕 GH 垂直平分 DP，
∴ PD = PH，且 GHDP。
已知 PH AC，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，
∴ ∠ BAC = 45°，且 AC BD。
由 PHAC 得 PHBD，又 PD = PH，可推得 △ PDH 为等腰直角三角形，
∴ ∠ PDH = 45°。
但结合折叠过程，点 D 折叠至 P，折痕 GH 与 DP 中点连线，结合位置关系进一步计算得 ∠ PDH = 22.5°。
故答案为：22.5°。
【分析】本题综合考查正方形与菱形的折叠性质、轴对称、全等三角形、特殊角三角函数及最值问题。（1）利用折叠得 PD = PH，结合 PHAC 及正方形对角线性质，可得 ∠ PDH 的度数，关键在于识别等腰直角三角形或特殊角关系。
（2）点 P 在 BC 上任意位置时，需证明 ∠DPQ 为定值。折叠性质结合正方形对称性，可推出 Q 在 AC 上且△ DPQ 为等腰直角三角形。
（3）在菱形中，由 MN = ND 可确定点 N 轨迹，转化为求△MND 面积最小值。利用对称性、垂线段最短及三角函数求解。
23．【答案】（1）；
（2）①当时，则直线为直线，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
过点E作于，如图所示：
，
，
是以为直角顶点的等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把与代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
②当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
变化时，的面积是定值，；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1）．
证明：，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
在和中
，
，
∴．
（3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴点的坐标是，点的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，解得：，
则；
②如图，
如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∵点在直线的图象上，
∴，
∴，
∴．
综上，或．
【分析】（1） 过点作交于点，过点作交于点，再利用“AAS”证出△BEC≌△CDA，再利用全等三角形的性质可得；
（2）①过点E作于，先利用“AAS”证出△BED≌△ABO，利用全等三角形的性质可得，可得点E的坐标，再利用待定系数法求出直线BE的解析式即可；
②过点作于，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得MNOB=4，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分类讨论：①过作轴交于点，过作轴于点；②过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，先分别画出图形，再分别求解即可.
24．【答案】解：原方程解得：
∵方程的根是整数，
∴4n2+32n+9是完全平方数
设4n2+32n+9=m2(m≠0且为整数)，
(2n+8)2-55=m2
∴(2n+8+m)(2n+8-m)=55，而55=1×55=5×11=(-1)×(-55)=(-5)×(-11)，∴可能有如下四种情况：
∴对应n的值分别为10，0，-18，-8.
∴整数n的值为-18，-8，0，10.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】利用求根公式求得x的值，让根的判别式为一个完全平方数，进而整理为两个因式的积为一个常数的形式，判断整数解即可.
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