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2026年广西柳州市初中学业水平考试模拟试卷 数学
1．下列实数中，比3大的数是（　　）
A．5 B．1 C．0 D．－2
2．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4． 在下列事件中，不可能事件是（　　）
A．投掷一枚硬币，正面向上
B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．射击运动员射击一次，命中靶心
5． 计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
6．若点 P(a，b)在平面直角坐标系中的第二象限，则关于a，b符号，下列说法正确的是（　　）
A．a>0， b>0 B．a<0， b<0
C．a>0， b<0 D．a<0， b>0
7．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
9．如图，是一块直角三角板，其中，．直尺的一边经过顶点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73.则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．64，76 B．64，100 C．76，64 D．64，84
11．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数图象上一点，线段于点，交反比例函数图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积为，则（　　）
A． B． C． D．
13．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。
14．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是　 　（填“甲”或“乙”）．
15．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则　 　．
16．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为　 　
17．计算及化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点均在格点上．现以一个格点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系，点的坐标为．
（1）点的坐标为_______；
（2）连接，将线段平移，使点平移到点的位置，点平移到点的位置，请在图中标出点的位置，并写出点的坐标；
（3）连接，，求的面积．
19．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
20．“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡.某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗.若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元.
（1）求 A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少
（2）该小区物业计划购买 A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少 最少费用为多少元
21．中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．
（1）求证：是的切线．
（2）连接交于点，若，求弧的长．
22．综合与实践
跨学科主题学习活动中，某实践小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
运动时间 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢 12 10 8 6 4 2 …
运动路程 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
（1）【模型一】根据表格中和的数据在图2的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用________函数表示（选填：一次、二次、反比例）．利用表中数据可以求出这个函数的解析式为________（不需要写出自变量的取值范围）．
（2）【模型二】根据猜想、探究得知与满足，请根据表格中的数据求出与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围），并从表格中再选取一组数据进行验证．
（3）【应用】如图1所示，当弹珠到达水平轨道上点时，点前方点处有一辆电动实验小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
23．探究与证明
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，探究小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
【特例研究】
在正方形中，相交于点．
（1）如图1，可以看成是绕点顺时针旋转并缩小得到的，此时旋转角的度数为_______；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点落在上，点落在BC上，求的值；
（3）【类比探究】如图3，在菱形中，是AB的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点O，B的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由；
（4）若（3）中，其余条件不变，请直接写出之间的数量关系：______（用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：因为－2＜0＜1＜3＜5，
所以比3大的数是5.
故答案为：A.
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是：
故选：D．
【分析】根据从正面所看到的图形解答即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1800000=1.8×106，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
4．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，不符合题意；
B为不可能事件，符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：=
故答案为：D
【分析】根据单项式乘以单项式即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点 P(a，b)在平面直角坐标系中的第二象限，
∴ a<0， b>0，
故答案为：D.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
去括号得：2x-2≥6，
移项并合并同类项得：2x≥8，
系数化为1得：x≥4.
故答案为：D.
【分析】按解一元一次不等式的步骤逐一计算解之即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2 4ac＝4 4×（ k）＝0，且k≠0；
解得 ．
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意得k≠0且△＝b2 4ac＝0，代入求解可得k的值.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】先利用内角和求出∠B的度数，再利用平行线的性质求出即可．
10．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵这组数据中64出现的次数最多，
∴这组数据的众数是64；
∵这组数据从小到大排列为：64、64、73、76、84、90、100，处于中间位置的数是76，
∴这组数据的中位数是76.
故答案为：A.
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数；把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数.
11．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵为线段的中点，的面积为，
∴的面积为，
设，
∵为线段的中点，
∴，
∵，
∴D点横坐标为，
此时，
即
∵，
∴
解得：．
故答案为：C.
【分析】设，利用中点的性质解反比例函数的性质求出，再结合，可得，再结合，列出方程，最后求出k的值即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。
14．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，
，
两种小麦长势更整齐的是甲.
故答案为：甲．
【分析】根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差即可求解．
15．【答案】22.5
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形为正八边形，
∴，
∴．
故答案为：22.5.
【分析】先利用正八边形的性质及内角和求出∠B的度数，再利用等腰三角形的内角和求出∠BAC的度数即可.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，
，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【分析】连接AE、AF、EN，根据正方形性质AB=BC=CD=AD=a，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质可得垂直平分EF，则，根据边之间的关系可得EC，再根据勾股定理建立方程，解方程可得a值，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用立方根、0指数幂和算术平方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用完全平方公式以及单项式乘多项式的计算方法展开，再计算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）
（2）解：点D的位置如图所示，．
；
（3）解：．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：由图可得，点的坐标为.
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点C的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B的对应点，再连接并直接求出点D的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
（1）进而：由图可得，点的坐标为；
（2）解：点D的位置如图所示，．
；
（3）解：．
19．【答案】（1）60；
（2）选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：
（人）；
（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：
　 A B C D
A 　 AB AC AD
B BA 　 BC BD
C CA CB 　 CD
D DA DB DC 　
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：；
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；
故答案为：60；
【分析】（1）根据园艺的人数与占比即可求出答案.
（2）求出编织的人数，再补全图形即可.
（3）根据800乘以厨艺的占比即可求出答案.
（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到“园艺、编织”类的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设A种紫荆花树苗的单价为x元，B种紫荆花树苗的单价为y元.
根据题意
解得
答：A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为8元
（2）解：设购B种紫荆花树苗m株，则购买A种紫荆花树苗(45-m)株，总费用为w元.
根据题意，得w=80m+50×(45-m)=30m+2250，
∵30>0，
∴w随m的增大而大，
∵m≥20，
∴当m=20时，
答：购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为285 元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种紫荆花树苗的单价为x元，B种紫荆花树苗的单价为y元，利用“ 购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购B种紫荆花树苗m株，则购买A种紫荆花树苗(45-m)株，总费用为w元，利用“总费用=A的费用+B的费用”列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可.
21．【答案】（1）证明：连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
设的半径为，
在中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；切线的判定；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据补角可得∠ODA，设的半径为，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=1，根据特殊角的三角函数值可得，根据全等三角形性质可得，再根据弧长公式即可求出答案.
（1）证明：连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
设的半径为，
在中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
22．【答案】（1）解：描点画图如下：
一次，；
（2）解：由题，把代入，
可得
解得，
，
验证：当时，，与表格数据一致.
（3）解：设运动时间为秒时弹珠追上小车，此时弹珠运动的路程等于的距离加上小车运动的路程3t，即（为的距离），
由，
可得，
整理得，
对于二次函数，
其最大值在时取得
把代入，得，
∴的最大值是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：观察与的变化，是均匀减小，符合一次函数特征，所以与之间的关系可以近似地用一次函数表示，
设与之间的关系为，把代入得：，
解得：，
∴与之间的关系为.
【分析】（1）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象，再利用一次函数的定义及待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先求出函数解析式，再将代入，求出s的值即可.
（1）解：描点画图如下：
观察与的变化，是均匀减小，符合一次函数特征，所以与之间的关系可以近似地用一次函数表示，
设与之间的关系为，把代入得：
，解得：，
∴与之间的关系为；
（2）解：由题，把代入，
可得
解得，
，
验证：当时，，与表格数据一致；
（3）解：设运动时间为秒时弹珠追上小车，
此时弹珠运动的路程等于的距离加上小车运动的路程3t，即（为的距离），
由，
可得，
整理得，
对于二次函数，
其最大值在时取得
把代入，得，
∴的最大值是．
23．【答案】（1）；
（2）解：根据题意得，
，
（3）解：的值与无关，理由如下，如图，
由（2），
∵菱形ABCD中，，
是AB的垂直平分线与BD的交点，
过点作于点，
，
的值与无关.
（4）．
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是正方形，
∴旋转角为
故答案为：；
（4）解：如图所示：
由（3）可得，，
即．
【分析】（1）利用正方形的性质可得，即可得到旋转角；
（2）先利用相似三角形的性质及等量代换可得，证出，再利用相似三角形的性质求出即可；
（3）先证出，利用相似三角形的性质可得，再求出
，再利用解直角三角形的方法求出，再求出，从而得解；
（4）先求出，，再结合，最后求出即可．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴旋转角为
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
，
（3）解：的值与无关，理由如下，如图，
由（2），
∵菱形ABCD中，，
是AB的垂直平分线与BD的交点，
过点作于点，
，
的值与无关；
（4）
解：由（3）可得，，
即．
1 / 12026年广西柳州市初中学业水平考试模拟试卷 数学
1．下列实数中，比3大的数是（　　）
A．5 B．1 C．0 D．－2
【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：因为－2＜0＜1＜3＜5，
所以比3大的数是5.
故答案为：A.
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.
2．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是：
故选：D．
【分析】根据从正面所看到的图形解答即可．
3．长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1800000=1.8×106，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
4． 在下列事件中，不可能事件是（　　）
A．投掷一枚硬币，正面向上
B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，不符合题意；
B为不可能事件，符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
5． 计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：=
故答案为：D
【分析】根据单项式乘以单项式即可求出答案.
6．若点 P(a，b)在平面直角坐标系中的第二象限，则关于a，b符号，下列说法正确的是（　　）
A．a>0， b>0 B．a<0， b<0
C．a>0， b<0 D．a<0， b>0
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点 P(a，b)在平面直角坐标系中的第二象限，
∴ a<0， b>0，
故答案为：D.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
7．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
去括号得：2x-2≥6，
移项并合并同类项得：2x≥8，
系数化为1得：x≥4.
故答案为：D.
【分析】按解一元一次不等式的步骤逐一计算解之即可.
8．关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2 4ac＝4 4×（ k）＝0，且k≠0；
解得 ．
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意得k≠0且△＝b2 4ac＝0，代入求解可得k的值.
9．如图，是一块直角三角板，其中，．直尺的一边经过顶点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】先利用内角和求出∠B的度数，再利用平行线的性质求出即可．
10．某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73.则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．64，76 B．64，100 C．76，64 D．64，84
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵这组数据中64出现的次数最多，
∴这组数据的众数是64；
∵这组数据从小到大排列为：64、64、73、76、84、90、100，处于中间位置的数是76，
∴这组数据的中位数是76.
故答案为：A.
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数；把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数.
11．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数图象上一点，线段于点，交反比例函数图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵为线段的中点，的面积为，
∴的面积为，
设，
∵为线段的中点，
∴，
∵，
∴D点横坐标为，
此时，
即
∵，
∴
解得：．
故答案为：C.
【分析】设，利用中点的性质解反比例函数的性质求出，再结合，可得，再结合，列出方程，最后求出k的值即可.
13．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　。
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。
14．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是　 　（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，
，
两种小麦长势更整齐的是甲.
故答案为：甲．
【分析】根据方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差即可求解．
15．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则　 　．
【答案】22.5
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形为正八边形，
∴，
∴．
故答案为：22.5.
【分析】先利用正八边形的性质及内角和求出∠B的度数，再利用等腰三角形的内角和求出∠BAC的度数即可.
16．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为　 　
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，
，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【分析】连接AE、AF、EN，根据正方形性质AB=BC=CD=AD=a，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质可得垂直平分EF，则，根据边之间的关系可得EC，再根据勾股定理建立方程，解方程可得a值，再根据勾股定理即可求出答案.
17．计算及化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用立方根、0指数幂和算术平方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用完全平方公式以及单项式乘多项式的计算方法展开，再计算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点均在格点上．现以一个格点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系，点的坐标为．
（1）点的坐标为_______；
（2）连接，将线段平移，使点平移到点的位置，点平移到点的位置，请在图中标出点的位置，并写出点的坐标；
（3）连接，，求的面积．
【答案】（1）
（2）解：点D的位置如图所示，．
；
（3）解：．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：由图可得，点的坐标为.
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点C的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B的对应点，再连接并直接求出点D的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可.
（1）进而：由图可得，点的坐标为；
（2）解：点D的位置如图所示，．
；
（3）解：．
19．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）60；
（2）选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：
（人）；
（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：
　 A B C D
A 　 AB AC AD
B BA 　 BC BD
C CA CB 　 CD
D DA DB DC 　
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：；
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；
故答案为：60；
【分析】（1）根据园艺的人数与占比即可求出答案.
（2）求出编织的人数，再补全图形即可.
（3）根据800乘以厨艺的占比即可求出答案.
（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到“园艺、编织”类的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡.某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗.若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元.
（1）求 A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少
（2）该小区物业计划购买 A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少 最少费用为多少元
【答案】（1）解：设A种紫荆花树苗的单价为x元，B种紫荆花树苗的单价为y元.
根据题意
解得
答：A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为8元
（2）解：设购B种紫荆花树苗m株，则购买A种紫荆花树苗(45-m)株，总费用为w元.
根据题意，得w=80m+50×(45-m)=30m+2250，
∵30>0，
∴w随m的增大而大，
∵m≥20，
∴当m=20时，
答：购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为285 元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种紫荆花树苗的单价为x元，B种紫荆花树苗的单价为y元，利用“ 购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购B种紫荆花树苗m株，则购买A种紫荆花树苗(45-m)株，总费用为w元，利用“总费用=A的费用+B的费用”列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可.
21．中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．
（1）求证：是的切线．
（2）连接交于点，若，求弧的长．
【答案】（1）证明：连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
设的半径为，
在中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；切线的判定；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据补角可得∠ODA，设的半径为，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=1，根据特殊角的三角函数值可得，根据全等三角形性质可得，再根据弧长公式即可求出答案.
（1）证明：连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
设的半径为，
在中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
22．综合与实践
跨学科主题学习活动中，某实践小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
运动时间 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢 12 10 8 6 4 2 …
运动路程 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
（1）【模型一】根据表格中和的数据在图2的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用________函数表示（选填：一次、二次、反比例）．利用表中数据可以求出这个函数的解析式为________（不需要写出自变量的取值范围）．
（2）【模型二】根据猜想、探究得知与满足，请根据表格中的数据求出与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围），并从表格中再选取一组数据进行验证．
（3）【应用】如图1所示，当弹珠到达水平轨道上点时，点前方点处有一辆电动实验小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【答案】（1）解：描点画图如下：
一次，；
（2）解：由题，把代入，
可得
解得，
，
验证：当时，，与表格数据一致.
（3）解：设运动时间为秒时弹珠追上小车，此时弹珠运动的路程等于的距离加上小车运动的路程3t，即（为的距离），
由，
可得，
整理得，
对于二次函数，
其最大值在时取得
把代入，得，
∴的最大值是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：观察与的变化，是均匀减小，符合一次函数特征，所以与之间的关系可以近似地用一次函数表示，
设与之间的关系为，把代入得：，
解得：，
∴与之间的关系为.
【分析】（1）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象，再利用一次函数的定义及待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先求出函数解析式，再将代入，求出s的值即可.
（1）解：描点画图如下：
观察与的变化，是均匀减小，符合一次函数特征，所以与之间的关系可以近似地用一次函数表示，
设与之间的关系为，把代入得：
，解得：，
∴与之间的关系为；
（2）解：由题，把代入，
可得
解得，
，
验证：当时，，与表格数据一致；
（3）解：设运动时间为秒时弹珠追上小车，
此时弹珠运动的路程等于的距离加上小车运动的路程3t，即（为的距离），
由，
可得，
整理得，
对于二次函数，
其最大值在时取得
把代入，得，
∴的最大值是．
23．探究与证明
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，探究小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
【特例研究】
在正方形中，相交于点．
（1）如图1，可以看成是绕点顺时针旋转并缩小得到的，此时旋转角的度数为_______；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点落在上，点落在BC上，求的值；
（3）【类比探究】如图3，在菱形中，是AB的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点O，B的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由；
（4）若（3）中，其余条件不变，请直接写出之间的数量关系：______（用含的式子表示）．
【答案】（1）；
（2）解：根据题意得，
，
（3）解：的值与无关，理由如下，如图，
由（2），
∵菱形ABCD中，，
是AB的垂直平分线与BD的交点，
过点作于点，
，
的值与无关.
（4）．
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵四边形是正方形，
∴旋转角为
故答案为：；
（4）解：如图所示：
由（3）可得，，
即．
【分析】（1）利用正方形的性质可得，即可得到旋转角；
（2）先利用相似三角形的性质及等量代换可得，证出，再利用相似三角形的性质求出即可；
（3）先证出，利用相似三角形的性质可得，再求出
，再利用解直角三角形的方法求出，再求出，从而得解；
（4）先求出，，再结合，最后求出即可．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴旋转角为
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
，
（3）解：的值与无关，理由如下，如图，
由（2），
∵菱形ABCD中，，
是AB的垂直平分线与BD的交点，
过点作于点，
，
的值与无关；
（4）
解：由（3）可得，，
即．
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