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广东省深圳市南山区南二外2026年初三二模数学试卷
1．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，故选：D．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图).光线AB从空气射到玻璃砖上表面点B 并发生了折射，折射光线BC射到玻璃砖下表面C处，点D在AB的延长线上，若∠1=55°，∠ABE=15°，则∠DBC=（　　)
A．60° B．55° C．40° D．15°
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： 如图，根据题意可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】 本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据两直线平行，内错角相等，得到，结合对顶角，根据角的和差可得到结果．
4．一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　)
A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图可得，该球的频率稳定在0.20左右，则抽到该球的概率为0.20
∵抽到白球的概率为
抽到黑球的概率为
抽到红球的概率为
抽到黄球的概率为
∴该球的颜色最有可能是红球
故答案为：B
【分析】根据频率估计概率可得抽到该球的概率为0.20，再根据概率公式求出各球的概率即可求出答案.
5．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　)
A．m<1 B．m>1 C．m>-1 D．m<-1
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
∴
解得：m<1
故答案为：A
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
6．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”.问：人与车各多少 小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为 根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（　　)
A．三人坐一辆车，有一车少坐2人 B．三人坐一辆车，则2人需要步行
C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵小明同学设有x辆车，人数为y，若2人坐一辆车，则9人需要步行，所以y=2x+9；
又∵第二个方程右边是（x-2），说明车有两辆是空的，坐满人的车是（x-2)辆，3（x-2）说明每辆车坐三人
∴y=3（x-2）
故答案为：C
【分析】根据所列方程组进行分析即可求出答案.
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为9，则点C的坐标为（　　)
A．（3，3) B． C． D．（4，3)
【答案】B
【知识点】点的坐标；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为
∴
由题意可得，BG=9
∴AD=BC=3
∵四边形ABCD是正方形
∴AD∥BG，AB=AD=3
∴△OAD∽△OBG
∴
∴
解得：
∴
∴点C的坐标为
故答案为：B
【分析】根据位似图形性质可得，则AD=BC=3，根据正方形性质可得AD∥BG，AB=AD=3，根据相似三角形判定定理可得△OAD∽△OBG，则，代值计算可得OA，求出OB，再根据点的坐标即可求出答案.
8．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处.在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)则大楼MN的高度是（　　)米.（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内， N， A， C在同一水平线上，参考数据： tan22°≈0.4，tan58°≈1.6， 精确到整数)
A．88 B．90 C．92 D．94
【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE=DN，DB=NE
∵斜坡AB的坡度i=3：4
∴
设BE=3a，则AE=4a
∴
∵AB=75
∴5a=75，解得：a=15
∴AE=60，DN=BE=45
设NA=x
∴BD=NE=AN+AE=x+60
在Rt△ANM中，∠NAM=58°
∴MN=ANsin58°=1.6x
∴DM=MN-DN=1.6x-45
在Rt△MDB中，∠MBD=22°
∴，即
解得：x=57.5
∴MN=1.6x=92
故答案为：C
【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE=DN，DB=NE，由题意可得，设BE=3a，则AE=4a，根据勾股定理可得AB，建立方程，解方程可得a，设NA=x，根据边之间的关系可得BD，根据正弦定义可得MN，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
9．若关于x的一元二次方程. 有一个根为x=-1，则m的值为　 　.
【答案】-5
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=-1代入方程可得：
1+4+m=0
解得：m=-5
故答案为：-5
【分析】将x=-1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
10．在平面直角坐标系xOy中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点 P 的坐标　 　.
【答案】(-5，2)(答案不唯一)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5
∴点P的坐标可以为(-5，2)
故答案为：(-5，2)
【分析】根据点的坐标即可求出答案.
11．如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF，再以点A为圆心，AE长为半径画弧.若AB=3，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，△ABF是等边三角形
∴，∠BAF=60°，AF=AE=AB=3
∴∠EAF=∠BAE-∠BAF=48°
∴
故答案为：
【分析】根据正五边形内角可得∠BAE，根据等边三角形性质可得∠BAF=60°，AF=AE=AB=3，根据角之间的关系可得∠EAF，再根据扇形面积即可求出答案.
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点. DE与BC交于点F.若 图像经过点 C，且 则 k的值为　 　.
【答案】-12
【知识点】点的坐标；三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设D(0，h)，A(a，0)，则E(-a，0)
∵B为OE的中点
∴
∴AE=AO+OE=2a
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD
∴△EBF∽△EAD
∴
∵
∴
∵
∴ah=8
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB，
∴点C的纵坐标为h，横坐标为，即
∵点C在反比例函数上
∴
故答案为：-12
【分析】设D(0，h)，A(a，0)，则E(-a，0)，根据线段中点可得，根据边之间的关系可得AE，根据平行四边形性质可得BC∥AD，再根据相似三角形判定定理可得△EBF∽△EAD，则，即，再根据三角形面积可得ah=8，再根据平行四边形性质可得CD∥AB，，根据点的坐标可得，再代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．如图，在正方形ABCD中， E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上， BE=DF， M为EF的中点，点N在边AB上， ∠AMN=45°.若AB=7， AM=5，则MN的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥AM，垂足为点G
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=90°，AD=AB
∵点M为EF的中点
∴
∴EF=10
∵BE=DF
∴设BE=DF=x
∴AE=7-x，AF=7+x
∵EF2=AE2+AF2，即102=(7-x)2+(7+x)2
解得：x=1
∴AE=6，AF=8
∵
∴∠MAE=∠MEA
∴
设NG=4a，则AG=3a
∵∠AMN=45°
∴MG=NG=4a
∴AM=AG+MG=7a
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点N作NG⊥AM，垂足为点G，根据正方形性质可得∠BAD=90°，AD=AB，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，设BE=DF=x，则AE=7-x，AF=7+x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=1，则AE=6，AF=8，根据等边对等角可得∠MAE=∠MEA，根据正切定义可得，设NG=4a，则AG=3a，根据等腰直角三角形性质可得MG=NG=4a，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
14．计算：
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
16．今年是中国共产主义青年团成立 104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用a表示)，其中 60≤a<70记为“较差”， 70≤a<80记为“一般”， 80≤a<90记为“良好”， 90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为 ▲ ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是　 　；
（3）若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.
【答案】（1）解：50；108；
补全直方图如下
（2）95
（3）解：(人)
答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为620人。
（4）解：从3名女生，1名男生中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，列表如下：
　 男 女 女 女
男 　 (男， 女) (男， 女) (男， 女)
女 (女， 男) 　 (女， 女) (女， 女)
女 (女， 男) (女， 女) 　 (女， 女)
女 (女， 男) (女， 女) (女， 女) 　
共有12种等可能的情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
P (抽中2名女生)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
总人数为：4÷8%=50人
“一般”对应的人数为：50-4-23-8=15人
∴“一般”对应圆心角的度数为
故答案为：50；108
（2）将数据按从小到大的顺序排列为：91，93，94，94，96，98，99，100
处在最中间的数为94和96
∴中位数为
故答案为：95
【分析】（1）根据较差的人数与占比可得可得总人数，求出一半的人数，再根据360°乘以占比可得圆心角，再补全图形即可.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据1000乘以达到良好及以上的人数占比即可求出答案.
（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出被抽取的2人恰好是女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利.某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒2公顷农田，甲型机喷洒50公顷农田所用时间与乙型机喷洒60公顷农田所用时间相等.该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机20架，其中甲型无人机4万元/架，乙型无人机5万元/架.
问题解决：
（1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地
（2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒230公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低 并求出最低成本.
【答案】（1）解：设甲型无人机每小时喷洒x公顷，则乙型每小时喷洒(x+2)公顷，
由题意列分式方程得，
解得x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+2=12 (公顷)，
答：甲型无人机每小时喷洒10公顷，乙型无人机每小时喷洒12公顷；
（2）解：设甲型无人机a台，则乙型无人机(20-a)台，总费用为w万元，
由题意列一元一次不等式得， 10a+12 (20-a) ≥230，
解得a≤5，
又由题意得， w=4a+5 (20-a) =-a+100，
∵-1<0，
∴w的值随a的增大而减小，
∴当a=5时，w 最小值=-5+100=95 (万元)，
此时乙型无人机=20-5=15 (台)，
答：采购甲型无人机5台，乙型机15台时总费用最少，最少费用为95万元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1） 设甲型无人机每小时喷洒x公顷，则乙型每小时喷洒(x+2)公顷，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设甲型无人机a台，则乙型无人机(20-a)台，总费用为w万元，根据题意建立不等式，解不等式求出a的取值范围，再建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．如图，在等腰△ABC中， AH为底边 BC上的高， ∠ACB的角平分线交AH于点D， ⊙O经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰AC上.
（1）请画出⊙O （尺规作图，保留作图痕迹)；
（2）求证： AH与⊙O相切；
（3）当 时，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图所示，⊙O 即为所求；
（2）证明：连接OD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ODC=∠DCB，
∴OD∥BC，
∵AH⊥BC，
∴OD⊥AH，
∵OD是⊙O的半径，
∴AH与⊙O 相切；
（3）解：∵AB=AC=12， AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴∠AHC=∠AHB=90°，
∴CH=BH=4，
∵∠ADO=∠AHC=90°， ∠DAO=∠HAC
∴△AOD∽△ACH，
∴OD=3，
∴⊙O的半径为3.
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）根据垂直平方式定义作出DC的垂直平分线交AC于点O，再以OD为半径作圆即可.
（2）连接OD，根据等边对等角可得∠ODC=∠OCD，根据角平分线定义可得∠ACD=∠BCD，则∠ODC=∠DCB，根据之间平行判定定理可得OD∥BC，则OD⊥AH，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）根据等腰三角形三线合一性质可得BH=CH，根据余弦定义可得CH，再根据相似三角形判定定理可得△AOD∽△ACH，则，代值计算即可求出答案.
19．【综合与实践】
【情境导入】
周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观。场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试。工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果。广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压。
【数学建模】
将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=2米，BC=6米，坡面AC上有一棵小树MN（小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC)，现在斜坡底C处安装一个喷水管CP，水流呈抛物线状，恰好落在A处.技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B的水平距离x（米)与水流的高度y （米)的变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 …
y 2 2 …
【探究任务】
（1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为 ▲ ，并求出水流的函数解析式。
（2）若调试时，水流恰好经过树顶N点，
①为了美观，小树不能太高。请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN的最大可能高度是多少
②若设计师希望从坡顶A处看，树底M和树顶N的视觉效果对称（即AM=AN)，请求出此时树顶N的坐标。
③在灯光测试中，需要在 MN右侧（靠近C的一侧)再放置一棵与MN等高的小树DE（D在坡面上，树干垂直BC)，且水流也能刚好经过树顶E。为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底M的横坐标m的取值范围。
【答案】（1）解：顶点坐标为(2， )
设抛物线解析式为
将点(0， 2)代入得：
解得
故抛物线解析式为
（2）解：①设直线AC的解析式为y= kx+b，
将A(0， 2)， C(6， 0)代入得
解得
∴直线AC的解析式为
设点N的横坐标为m(0∴当 时，MN有最大值，最大值为
②如图所示，过A作AH⊥MN于点 H，连接AN，
设AH=t， 则H(t， 2)， }M(t， - t+2)，点N的纵坐标为 点N的横坐标为t，
∵AM=AN，
∴H为MN中点，即HM=HN
解得 或t=0(舍去)，
∴点N坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：（2）③如图，由题意可得，DE∥MN，DE=MN
∴四边形DMNE是平行四边形
∴NE∥AC，即直线NE与抛物线要有两个不同的交点
∵直线AC的解析式为
∴设直线NE的解析式为
在
当x=6时，y=
∴
当直线NE恰好经过点时，则
解得：
∴此时直线NE的解析式为
联立，解得：x=6或
∴此时点N的横坐标为
当直线NE与抛物线恰好只有一个交点时
联立，整理得：3x2-20x+24b'-48=0
∴
解得：
∴方程3x2-20x+24b'-48=0，即为
解得：
∴此时，点N的横坐标为
综上所述，
【分析】（1）根据表格信息可得顶点坐标，设抛物线解析式为 ，根据待定系数法将点(0，2)代入解析式即可求出答案.
（2）①设直线AC的解析式为y= kx+b，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为 ，设点N的横坐标为m(0②过A作AH⊥MN于点 H，连接AN，设AH=t， 则H(t， 2)， }M(t， - t+2)，点N的纵坐标为 点N的横坐标为t，根据线段中点建立方程，解方程可得t值，再代入解析式即可求出答案.
③由题意可得，DE∥MN，DE=MN，根据平行四边形判定定理可得四边形DMNE是平行四边形，则NE∥AC，即直线NE与抛物线要有两个不同的交点，设直线NE的解析式为，将x=6代入抛物线解析式可得，再代入直线NE解析式可得此时直线NE的解析式为，联立抛物线解析式可得此时点N的横坐标为，当直线NE与抛物线恰好只有一个交点时，联立抛物线解析式可得3x2-20x+24b'-48=0，则判别式，解方程可得b'值，代入方程，再解方程即可求出答案.
20．【综合探究】
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8，旋转角为（
（1）【初步感知】
如图1，连接AE， CD，将三角形纸片BDE绕点B旋转，求 的值；
（2）【深入探究】
如图2，在三角形纸片BDE绕点 B 旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求CG的长；
（3）【拓展延伸】
在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：∵∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8，
∴AB=BE=10，
由旋转得： ∠CBD=∠ABE，
∵BC=BD， AB=BE，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∴△BCD∽△BAE，
（2）解：如图2，延长CD交AE于H，连接BH交DE于M，
由(1)知： ∠BAE=∠BCD，
∵CF是中线， ∠ACB=90°，
∴CF=AF=BF=5，
∴∠BCF=∠FBC，
∴∠FBC=∠BAE，
∵∠AFH=∠BFC，
∴△AFH≌△BFC (ASA)，
∴CF=FH，
∴四边形ACBH 是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴ ACBH是矩形，
∴∠AHB=90°， BH=AC=8，
∵AB=BE，
∴AH=EH=BC=6，
设MH=x，
∵∠EHB=∠HAC=90°， ∠AEG=∠HEM，
∴△AEG∽△HEM，
∴AG=2x，
∵EH=BD=6， ∠EMH=∠BMD， ∠EHM=∠BDM=90°，
∴△EHM≌△BDM (AAS)，
∴BM=EM=8-x，
由勾股定理得：
（3）解：AD的长是 或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）①如图，∠EAD=90°，过点B作BQ⊥AE于点Q，过点D作DP⊥BQ于点P
∴∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90°
∴四边形ADPQ是矩形
∴∠ADP=90°，AQ=PD，AD=PQ
设AQ=b
∵AB=BE，BQ⊥AE
∴AQ=EQ=b=PD
∴AE=2b
∵∠ADP=∠BDE=90°
∴∠ADE=∠BDP
∵∠EAD=∠DPB=90°
∴△DAE∽△DPB
∴，即
∴
在Rt△BPD中，BP2+PD2=BD2
即
解得：或(舍去)
∵△DAE∽△DPB
∴，即
解得：
②如图，∠AED=90°，过点B作BQ⊥AE于点Q
∴∠BQE=∠AED=∠BDE=90°
∴四边形BDEQ为矩形
∴EQ=BD=6
∵AB=BE，BQ⊥AE
∴AE=2EQ=12
∴
综上所述，AD的长是 或
【分析】（1）根据勾股定理可得AB=BE=10，由旋转得： ∠CBD=∠ABE，根据等边对等角可得∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）延长CD交AE于H，连接BH交DE于M，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CF=AF=BF=5，根据等边对等角可得∠BCF=∠FBC，根据角之间的关系可得∠FBC=∠BAE，再根据全等三角形判定定理可得△AFH≌△BFC (ASA)，则CF=FH，根据矩形判定定理可得四边形ACBH是矩形，则∠AHB=90°， BH=AC=8，设MH=x，根据相似三角形判定定理可得△AEG∽△HEM，则，即AG=2x，再根据全等三角形判定定理可得△EHM≌△BDM (AAS)，则BM=EM=8-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①∠EAD=90°，过点B作BQ⊥AE于点Q，过点D作DP⊥BQ于点P，根据矩形判定定理可得四边形ADPQ是矩形，则∠ADP=90°，AQ=PD，AD=PQ，设AQ=b，根据等腰三角形三线合一性质可得AQ=EQ=b=PD，AE=2b，根据相似三角形判定定理可得△DAE∽△DPB，则，代值计算可得PB，根据勾股定理建立方程，解方程可得b值，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案；②∠AED=90°，过点B作BQ⊥AE于点Q，根据矩形判定定理可得四边形BDEQ为矩形，则EQ=BD=6，根据等腰三角形三线合一性质可得AE=2EQ=12，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市南山区南二外2026年初三二模数学试卷
1．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图).光线AB从空气射到玻璃砖上表面点B 并发生了折射，折射光线BC射到玻璃砖下表面C处，点D在AB的延长线上，若∠1=55°，∠ABE=15°，则∠DBC=（　　)
A．60° B．55° C．40° D．15°
4．一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　)
A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色
5．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　)
A．m<1 B．m>1 C．m>-1 D．m<-1
6．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”.问：人与车各多少 小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为 根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（　　)
A．三人坐一辆车，有一车少坐2人 B．三人坐一辆车，则2人需要步行
C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为9，则点C的坐标为（　　)
A．（3，3) B． C． D．（4，3)
8．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处.在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)则大楼MN的高度是（　　)米.（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内， N， A， C在同一水平线上，参考数据： tan22°≈0.4，tan58°≈1.6， 精确到整数)
A．88 B．90 C．92 D．94
9．若关于x的一元二次方程. 有一个根为x=-1，则m的值为　 　.
10．在平面直角坐标系xOy中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点 P 的坐标　 　.
11．如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF，再以点A为圆心，AE长为半径画弧.若AB=3，则图中阴影部分的面积是　 　.
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点. DE与BC交于点F.若 图像经过点 C，且 则 k的值为　 　.
13．如图，在正方形ABCD中， E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上， BE=DF， M为EF的中点，点N在边AB上， ∠AMN=45°.若AB=7， AM=5，则MN的长为　 　.
14．计算：
15．先化简，再求值： 其中
16．今年是中国共产主义青年团成立 104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用a表示)，其中 60≤a<70记为“较差”， 70≤a<80记为“一般”， 80≤a<90记为“良好”， 90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为 ▲ ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是　 　；
（3）若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.
17．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利.某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒2公顷农田，甲型机喷洒50公顷农田所用时间与乙型机喷洒60公顷农田所用时间相等.该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机20架，其中甲型无人机4万元/架，乙型无人机5万元/架.
问题解决：
（1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地
（2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒230公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低 并求出最低成本.
18．如图，在等腰△ABC中， AH为底边 BC上的高， ∠ACB的角平分线交AH于点D， ⊙O经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰AC上.
（1）请画出⊙O （尺规作图，保留作图痕迹)；
（2）求证： AH与⊙O相切；
（3）当 时，求⊙O的半径.
19．【综合与实践】
【情境导入】
周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观。场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试。工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果。广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压。
【数学建模】
将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=2米，BC=6米，坡面AC上有一棵小树MN（小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC)，现在斜坡底C处安装一个喷水管CP，水流呈抛物线状，恰好落在A处.技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B的水平距离x（米)与水流的高度y （米)的变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 …
y 2 2 …
【探究任务】
（1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为 ▲ ，并求出水流的函数解析式。
（2）若调试时，水流恰好经过树顶N点，
①为了美观，小树不能太高。请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN的最大可能高度是多少
②若设计师希望从坡顶A处看，树底M和树顶N的视觉效果对称（即AM=AN)，请求出此时树顶N的坐标。
③在灯光测试中，需要在 MN右侧（靠近C的一侧)再放置一棵与MN等高的小树DE（D在坡面上，树干垂直BC)，且水流也能刚好经过树顶E。为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底M的横坐标m的取值范围。
20．【综合探究】
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8，旋转角为（
（1）【初步感知】
如图1，连接AE， CD，将三角形纸片BDE绕点B旋转，求 的值；
（2）【深入探究】
如图2，在三角形纸片BDE绕点 B 旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求CG的长；
（3）【拓展延伸】
在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，故选：D．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： 如图，根据题意可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】 本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据两直线平行，内错角相等，得到，结合对顶角，根据角的和差可得到结果．
4．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图可得，该球的频率稳定在0.20左右，则抽到该球的概率为0.20
∵抽到白球的概率为
抽到黑球的概率为
抽到红球的概率为
抽到黄球的概率为
∴该球的颜色最有可能是红球
故答案为：B
【分析】根据频率估计概率可得抽到该球的概率为0.20，再根据概率公式求出各球的概率即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
∴
解得：m<1
故答案为：A
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵小明同学设有x辆车，人数为y，若2人坐一辆车，则9人需要步行，所以y=2x+9；
又∵第二个方程右边是（x-2），说明车有两辆是空的，坐满人的车是（x-2)辆，3（x-2）说明每辆车坐三人
∴y=3（x-2）
故答案为：C
【分析】根据所列方程组进行分析即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】点的坐标；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为
∴
由题意可得，BG=9
∴AD=BC=3
∵四边形ABCD是正方形
∴AD∥BG，AB=AD=3
∴△OAD∽△OBG
∴
∴
解得：
∴
∴点C的坐标为
故答案为：B
【分析】根据位似图形性质可得，则AD=BC=3，根据正方形性质可得AD∥BG，AB=AD=3，根据相似三角形判定定理可得△OAD∽△OBG，则，代值计算可得OA，求出OB，再根据点的坐标即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE=DN，DB=NE
∵斜坡AB的坡度i=3：4
∴
设BE=3a，则AE=4a
∴
∵AB=75
∴5a=75，解得：a=15
∴AE=60，DN=BE=45
设NA=x
∴BD=NE=AN+AE=x+60
在Rt△ANM中，∠NAM=58°
∴MN=ANsin58°=1.6x
∴DM=MN-DN=1.6x-45
在Rt△MDB中，∠MBD=22°
∴，即
解得：x=57.5
∴MN=1.6x=92
故答案为：C
【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE=DN，DB=NE，由题意可得，设BE=3a，则AE=4a，根据勾股定理可得AB，建立方程，解方程可得a，设NA=x，根据边之间的关系可得BD，根据正弦定义可得MN，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】-5
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=-1代入方程可得：
1+4+m=0
解得：m=-5
故答案为：-5
【分析】将x=-1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
10．【答案】(-5，2)(答案不唯一)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5
∴点P的坐标可以为(-5，2)
故答案为：(-5，2)
【分析】根据点的坐标即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，△ABF是等边三角形
∴，∠BAF=60°，AF=AE=AB=3
∴∠EAF=∠BAE-∠BAF=48°
∴
故答案为：
【分析】根据正五边形内角可得∠BAE，根据等边三角形性质可得∠BAF=60°，AF=AE=AB=3，根据角之间的关系可得∠EAF，再根据扇形面积即可求出答案.
12．【答案】-12
【知识点】点的坐标；三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设D(0，h)，A(a，0)，则E(-a，0)
∵B为OE的中点
∴
∴AE=AO+OE=2a
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD
∴△EBF∽△EAD
∴
∵
∴
∵
∴ah=8
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB，
∴点C的纵坐标为h，横坐标为，即
∵点C在反比例函数上
∴
故答案为：-12
【分析】设D(0，h)，A(a，0)，则E(-a，0)，根据线段中点可得，根据边之间的关系可得AE，根据平行四边形性质可得BC∥AD，再根据相似三角形判定定理可得△EBF∽△EAD，则，即，再根据三角形面积可得ah=8，再根据平行四边形性质可得CD∥AB，，根据点的坐标可得，再代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥AM，垂足为点G
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=90°，AD=AB
∵点M为EF的中点
∴
∴EF=10
∵BE=DF
∴设BE=DF=x
∴AE=7-x，AF=7+x
∵EF2=AE2+AF2，即102=(7-x)2+(7+x)2
解得：x=1
∴AE=6，AF=8
∵
∴∠MAE=∠MEA
∴
设NG=4a，则AG=3a
∵∠AMN=45°
∴MG=NG=4a
∴AM=AG+MG=7a
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】过点N作NG⊥AM，垂足为点G，根据正方形性质可得∠BAD=90°，AD=AB，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，设BE=DF=x，则AE=7-x，AF=7+x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=1，则AE=6，AF=8，根据等边对等角可得∠MAE=∠MEA，根据正切定义可得，设NG=4a，则AG=3a，根据等腰直角三角形性质可得MG=NG=4a，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）解：50；108；
补全直方图如下
（2）95
（3）解：(人)
答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为620人。
（4）解：从3名女生，1名男生中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，列表如下：
　 男 女 女 女
男 　 (男， 女) (男， 女) (男， 女)
女 (女， 男) 　 (女， 女) (女， 女)
女 (女， 男) (女， 女) 　 (女， 女)
女 (女， 男) (女， 女) (女， 女) 　
共有12种等可能的情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
P (抽中2名女生)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
总人数为：4÷8%=50人
“一般”对应的人数为：50-4-23-8=15人
∴“一般”对应圆心角的度数为
故答案为：50；108
（2）将数据按从小到大的顺序排列为：91，93，94，94，96，98，99，100
处在最中间的数为94和96
∴中位数为
故答案为：95
【分析】（1）根据较差的人数与占比可得可得总人数，求出一半的人数，再根据360°乘以占比可得圆心角，再补全图形即可.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据1000乘以达到良好及以上的人数占比即可求出答案.
（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出被抽取的2人恰好是女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设甲型无人机每小时喷洒x公顷，则乙型每小时喷洒(x+2)公顷，
由题意列分式方程得，
解得x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+2=12 (公顷)，
答：甲型无人机每小时喷洒10公顷，乙型无人机每小时喷洒12公顷；
（2）解：设甲型无人机a台，则乙型无人机(20-a)台，总费用为w万元，
由题意列一元一次不等式得， 10a+12 (20-a) ≥230，
解得a≤5，
又由题意得， w=4a+5 (20-a) =-a+100，
∵-1<0，
∴w的值随a的增大而减小，
∴当a=5时，w 最小值=-5+100=95 (万元)，
此时乙型无人机=20-5=15 (台)，
答：采购甲型无人机5台，乙型机15台时总费用最少，最少费用为95万元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1） 设甲型无人机每小时喷洒x公顷，则乙型每小时喷洒(x+2)公顷，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设甲型无人机a台，则乙型无人机(20-a)台，总费用为w万元，根据题意建立不等式，解不等式求出a的取值范围，再建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示，⊙O 即为所求；
（2）证明：连接OD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ODC=∠DCB，
∴OD∥BC，
∵AH⊥BC，
∴OD⊥AH，
∵OD是⊙O的半径，
∴AH与⊙O 相切；
（3）解：∵AB=AC=12， AH⊥BC，
∴BH=CH，
∴∠AHC=∠AHB=90°，
∴CH=BH=4，
∵∠ADO=∠AHC=90°， ∠DAO=∠HAC
∴△AOD∽△ACH，
∴OD=3，
∴⊙O的半径为3.
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）根据垂直平方式定义作出DC的垂直平分线交AC于点O，再以OD为半径作圆即可.
（2）连接OD，根据等边对等角可得∠ODC=∠OCD，根据角平分线定义可得∠ACD=∠BCD，则∠ODC=∠DCB，根据之间平行判定定理可得OD∥BC，则OD⊥AH，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）根据等腰三角形三线合一性质可得BH=CH，根据余弦定义可得CH，再根据相似三角形判定定理可得△AOD∽△ACH，则，代值计算即可求出答案.
19．【答案】（1）解：顶点坐标为(2， )
设抛物线解析式为
将点(0， 2)代入得：
解得
故抛物线解析式为
（2）解：①设直线AC的解析式为y= kx+b，
将A(0， 2)， C(6， 0)代入得
解得
∴直线AC的解析式为
设点N的横坐标为m(0∴当 时，MN有最大值，最大值为
②如图所示，过A作AH⊥MN于点 H，连接AN，
设AH=t， 则H(t， 2)， }M(t， - t+2)，点N的纵坐标为 点N的横坐标为t，
∵AM=AN，
∴H为MN中点，即HM=HN
解得 或t=0(舍去)，
∴点N坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：（2）③如图，由题意可得，DE∥MN，DE=MN
∴四边形DMNE是平行四边形
∴NE∥AC，即直线NE与抛物线要有两个不同的交点
∵直线AC的解析式为
∴设直线NE的解析式为
在
当x=6时，y=
∴
当直线NE恰好经过点时，则
解得：
∴此时直线NE的解析式为
联立，解得：x=6或
∴此时点N的横坐标为
当直线NE与抛物线恰好只有一个交点时
联立，整理得：3x2-20x+24b'-48=0
∴
解得：
∴方程3x2-20x+24b'-48=0，即为
解得：
∴此时，点N的横坐标为
综上所述，
【分析】（1）根据表格信息可得顶点坐标，设抛物线解析式为 ，根据待定系数法将点(0，2)代入解析式即可求出答案.
（2）①设直线AC的解析式为y= kx+b，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为 ，设点N的横坐标为m(0②过A作AH⊥MN于点 H，连接AN，设AH=t， 则H(t， 2)， }M(t， - t+2)，点N的纵坐标为 点N的横坐标为t，根据线段中点建立方程，解方程可得t值，再代入解析式即可求出答案.
③由题意可得，DE∥MN，DE=MN，根据平行四边形判定定理可得四边形DMNE是平行四边形，则NE∥AC，即直线NE与抛物线要有两个不同的交点，设直线NE的解析式为，将x=6代入抛物线解析式可得，再代入直线NE解析式可得此时直线NE的解析式为，联立抛物线解析式可得此时点N的横坐标为，当直线NE与抛物线恰好只有一个交点时，联立抛物线解析式可得3x2-20x+24b'-48=0，则判别式，解方程可得b'值，代入方程，再解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8，
∴AB=BE=10，
由旋转得： ∠CBD=∠ABE，
∵BC=BD， AB=BE，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∴△BCD∽△BAE，
（2）解：如图2，延长CD交AE于H，连接BH交DE于M，
由(1)知： ∠BAE=∠BCD，
∵CF是中线， ∠ACB=90°，
∴CF=AF=BF=5，
∴∠BCF=∠FBC，
∴∠FBC=∠BAE，
∵∠AFH=∠BFC，
∴△AFH≌△BFC (ASA)，
∴CF=FH，
∴四边形ACBH 是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴ ACBH是矩形，
∴∠AHB=90°， BH=AC=8，
∵AB=BE，
∴AH=EH=BC=6，
设MH=x，
∵∠EHB=∠HAC=90°， ∠AEG=∠HEM，
∴△AEG∽△HEM，
∴AG=2x，
∵EH=BD=6， ∠EMH=∠BMD， ∠EHM=∠BDM=90°，
∴△EHM≌△BDM (AAS)，
∴BM=EM=8-x，
由勾股定理得：
（3）解：AD的长是 或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）①如图，∠EAD=90°，过点B作BQ⊥AE于点Q，过点D作DP⊥BQ于点P
∴∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90°
∴四边形ADPQ是矩形
∴∠ADP=90°，AQ=PD，AD=PQ
设AQ=b
∵AB=BE，BQ⊥AE
∴AQ=EQ=b=PD
∴AE=2b
∵∠ADP=∠BDE=90°
∴∠ADE=∠BDP
∵∠EAD=∠DPB=90°
∴△DAE∽△DPB
∴，即
∴
在Rt△BPD中，BP2+PD2=BD2
即
解得：或(舍去)
∵△DAE∽△DPB
∴，即
解得：
②如图，∠AED=90°，过点B作BQ⊥AE于点Q
∴∠BQE=∠AED=∠BDE=90°
∴四边形BDEQ为矩形
∴EQ=BD=6
∵AB=BE，BQ⊥AE
∴AE=2EQ=12
∴
综上所述，AD的长是 或
【分析】（1）根据勾股定理可得AB=BE=10，由旋转得： ∠CBD=∠ABE，根据等边对等角可得∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）延长CD交AE于H，连接BH交DE于M，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CF=AF=BF=5，根据等边对等角可得∠BCF=∠FBC，根据角之间的关系可得∠FBC=∠BAE，再根据全等三角形判定定理可得△AFH≌△BFC (ASA)，则CF=FH，根据矩形判定定理可得四边形ACBH是矩形，则∠AHB=90°， BH=AC=8，设MH=x，根据相似三角形判定定理可得△AEG∽△HEM，则，即AG=2x，再根据全等三角形判定定理可得△EHM≌△BDM (AAS)，则BM=EM=8-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①∠EAD=90°，过点B作BQ⊥AE于点Q，过点D作DP⊥BQ于点P，根据矩形判定定理可得四边形ADPQ是矩形，则∠ADP=90°，AQ=PD，AD=PQ，设AQ=b，根据等腰三角形三线合一性质可得AQ=EQ=b=PD，AE=2b，根据相似三角形判定定理可得△DAE∽△DPB，则，代值计算可得PB，根据勾股定理建立方程，解方程可得b值，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案；②∠AED=90°，过点B作BQ⊥AE于点Q，根据矩形判定定理可得四边形BDEQ为矩形，则EQ=BD=6，根据等腰三角形三线合一性质可得AE=2EQ=12，再根据勾股定理即可求出答案.
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