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2026年广东省广州市初中学业水平数学考试第二次全真模拟试卷
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷共6页.考试时间120分钟，满分120分.
3.作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分 选择题
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列数是负无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．中芯国际在2025年春季宣布成功研制出全球首个芯片，已知为米，用科学记数法表示为（ ）米
A． B． C． D．
4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百：恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田亩价值钱；劣田亩价值钱．今合买良、劣田顷（亩），价值钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为亩，劣田为亩，则可列方程组为（）
A． B．
C． D．
8．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，于D，，交于E，交于F，四边形的面积为9，则长为（　　）

A．6 B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（ ）
A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则
C．若，则的图像关于轴对称 D．当时，
二．填空题（每小题3分，满分18分）
11．如图，，若，则_____．
12．若代数式有意义，则x的取值范围______．
13．已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为__________．
14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=8，BC=6，则sin∠ABD=___．
15．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则_______．
16．如图，点为等边三角形边上一动点，，连接，以为边作正方形，连接、，则当________时，的面积为最小值________．
三、解答题（9小题，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（4分）解不等式组：
18．（4分）如图，中，，求证：．
19．（6分）已知．
(1)化简T；
(2)若，求T的值．
20．（6分）某校开展“共享阅读·向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A体育类，B科技类，C文学类，D艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题：
(1)本次抽取调查的学生共有__________人，估计该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为__________人．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率．
21．（8分）如图，菱形的顶点A在y轴正半轴上，边在x轴上，且，，反比例函数的图象分别与交于点M、点N，点N的坐标是，连接．
(1)求直线的解析式；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)判断的形状，并说明理由．
22．（10分）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．（10分）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，于F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
24．（12分）已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离．
25．（12分）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．

（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．

（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．

参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A C A D A A A B
二、填空题
11．
12．且
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【详解】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
18．【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴．
19．【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴．
20．【详解】（1）解：本次抽取调查的学生共有（人），
该校2000名学生喜爱“B科技类”书籍的人数约为：（人），
故答案为：200，800；
（2）解：C文学类的人数为：（人），
则补全条形统计图为：
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种.
（恰好选中甲和乙）．
21．【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，把，代入，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
（2）解：∵点N在上，且点N的坐标是，
∴，
∴，
∵点N在反比例函数图形上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（3）解：是等腰三角形，理由如下：
由（2）知，反比例函数的解析式为，
∵点M在上，
∴M点的纵坐标为4，
当时，，
∴点M的横坐标为1，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
22．【详解】（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件，
根据题意得：，
解得
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得：
，
随m的增大而增大，
，
当时，W有最大值，
此时件
答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元．
23．【详解】（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）连接交于M，过O作于N，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
即，
同理四边形是矩形，
∴，
∵为半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为R，
则在中，由勾股定理得：，
解得： ，
则，
∴．
24．【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当，解得或，
∴；
（2）解：设直线解析式为，直线交直线于H，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
设，则，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴时，有最大值，最大值为4，
∴此时点D的坐标为；
（3）解：设，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
联立得，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点；
设点D到直线得距离为h，
由垂线段最短可得，
∴当时，h最大，最大值为．
25．【详解】解：（1）①∵四边形是矩形，则，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
②由①可得，
∴
∴，
又∵
∴,
故答案为：．
（2）∵在菱形中，，
∴，，
则，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴,
又，
∴，∴，
∴；
（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，

∵平行四边形中，，，
∴，,
∵，
∴
∴，
∴
∴
在中，，
则，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
设，则，，，
∴
解得：或，
即或，
②当点在边上时，如图所示，

连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，
设，则，，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
过点作于点，
在中，，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
，
∴
∴，
即，
∴
即
解得：（舍去）
即；
③当点在边上时，如图所示，

过点作于点，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点不可能在边上，
综上所述，的长为或或．
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