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21.3.2菱形自主训练检测卷人教版2025—2026学年八年级数学下册（含答案）
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列条件中，不能判定为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．两组对边分别相等
C．对角线垂直 D．两组对角分别相等
3．如图，菱形中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，菱形的两条对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
7．如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________．
10．如图，菱形中，点、、、分别是菱形各边的中点，连接、、、，若菱形的对角线之和为20，则四边形的周长为__________．
11．已知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两个角的度数之比为，则这个菱形的较大内角为________．
12．如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______．
三．解答题（共7小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，菱形，过点，分别作，交，的延长线于点，．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)连接，交于点，若，求菱形的周长．
14．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接交于点，连接
(1)求证：；
(2)已知，若，求的长．
15．如图，在平行四边形中，点分别在边上，，与相交于点．
(1)求证：．
(2)如果．求证：四边形是一个菱形．
16．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积．
17．如图，在中，，D，O分别为的中点，延长至点E，使，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的两直角边之和为14，之差为2（），求四边形的边长．
18．如图，在矩形中，点P、Q分别是上一点，（a是常数），平分．
(1)求证：；
(2)若
①当，，判断点Q与点C是否重合？说明理由；
②连接，当，当四边形是菱形时，求长；
(3)设，，是否存在常数a，使得无论m、n取何值，恒成立？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．
19．如图，把一张矩形纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合，
(1)连接，求证：四边形是菱形；
(2)若为9，为3，求EF的长．
参考答案
一、选择题
1．A
【详解】解：如图所示，
当时，可以判定为矩形，不能判定为菱形，选项A符合要求；
当时，由平行四边形对边平行得与平行，可得，因此，推出，可判定为菱形，B不符合要求；
当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定为菱形，C不符合要求；
当，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定为菱形，D不符合要求．
2．A
【详解】解：A选项：对角线相等，是矩形具有而菱形不具有的性质，故本选项符合题意；
B选项：两组对边分别相等，矩形和菱形都具有该性质，故本选项不符合题意；
C选项：对角线垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故本选项不符合题意；
D选项：两组对角分别相等，矩形和菱形都具有该性质，故本选项不符合题意；
3．B
【详解】解：四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴．
4．B
【详解】解：过点A作于点G，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．A
【详解】解：四边形是菱形， ，
，，
在中，，
，
，
，
在中，．
6．D
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
如图所示：
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，则，
当时，的值最小，即的值最小，
∴，
∴，
∴的最小值为．
7．C
【详解】解：过作于，过作于，
∵边长为2的菱形，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
整理得，
即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是．
8．A
【详解】解：如图，连接交于点，
∵四边形和都是菱形，
，，，，，．
，
，为等边三角形．
为等边三角形，，．
，，
．
∵点是的中点，
．
．
．
．
．
二、填空题
9．或
【详解】解：设菱形中，，对角线，交于点，
由菱形的性质可得：，，，，平分，平分，，
分两种情况讨论：
当长度为的对角线是较短对角线时，如图所示，，
，，
是等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
菱形面积，
当长度为的对角线是较长对角线时，如图所示，，
，
设，在中，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得（舍去负根），
，，
菱形面积，
10．20
【详解】解：如图，连接，
∵点、、、分别是菱形各边的中点，
∴，
∴四边形的周长为，
∵菱形的对角线之和为20，
∴，
∴四边形的周长为20．
11．/120度
【详解】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
设，则，
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
∴菱形的较大角．
12．
【详解】解:四边形是菱形，边长为5，
，，，
在中，，
作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值为的长度，
点与点关于对称，，
点在上，且，
是的中点，
，
，
，
连接，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
在中，，
的最小值为.
三、解答题
13．【详解】（1）证明：四边形为菱形，
．
，，
，，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
．
设，（），
∵四边形是矩形．
∴，
在中，，
∵
∴
解得：
∴菱形的周长是．
14．【详解】（1）证明：四边形为菱形，
，
，即，
；
又，
∴四边形为平行四边形，
；
（2）解：如图所示，连接，
四边形为菱形，
，，
，即，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∵，
为矩形，
；
∵，
为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
，
在中，由勾股定理得．
15．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵ ，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
16．【详解】（1）证明：是的垂直平分线，
，；
∵四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
（），
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，
∵四边形的周长是40，
∴，
设、，
则有，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
整理可得：，
∴．
17．【详解】（1）证明：∵D，O分别为的中点，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：设，，
∵的两直角边之和为14，之差为2（），
∴
解得
即，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴四边形的边长为5．
18．【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①点Q与点C重合，理由如下：
如图所示，过点作于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
假设，则，，
由勾股定理得，
即，
解得，
即点Q与点C重合；
②如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
由勾股定理得；
（3）解：当时，无论m、n取何值，恒成立，理由如下：
如图所示，过点作于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
即，
整理得，
要使恒成立，
∴，且，
解得，
∴当时，无论m、n取何值，恒成立．
19．【详解】（1）证明：连接，
∵矩形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，四边形为菱形；
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得，
∴，
∴，
∴．
试卷第1页，共3页
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