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21.3.3正方形同步自主达标训练题人教版2025—2026学年八年级数学下册（含答案）
一、选择题
1．在下列判断中正确的是（ ）
A．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．多边形的内角中至多有3个锐角
2．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．若且，则四边形是矩形
B．若且，则四边形是菱形
C．若且，则四边形是平行四边形
D．若且，则四边形是正方形
3．如图，在平行四边形中，，点为的中点，点为边上一点，直线交于点，连接，．则下列结论不成立的是（ ）
A．若四边形为矩形，则 B．四边形为平行四边形
C．若，则四边形为菱形 D．四边形不可能为正方形
4．如图，在边长为6的正方形中，在边上取一点G使得，连接，点E在边上，作交于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列五个结论：其中正确的结论是（ ）
①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤．
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤
6．如图，在正方形中，点E在边上，作平分交于点F．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．在正方形中，对角线，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在边长为的正方形中，点是边上的动点（不与点，重合），连接，点是点关于的对称点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：点到的距离恒为；；；的面积．正确的结论有（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在正方形中，E为上一点．若，则________．
10．如图，在正方形中，为边上一点，连接，作的垂直平分线交于G，交于，若，，则的长为______．
11．如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交边于点F．若，，则______．
12．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为4，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，给出下列结论：
①；
②正方形的面积是四边形的面积的4倍；
③连接，总有；
④当时，四边形的周长为．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题
13．，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．
(1)的长为______，______；
(2)求证：矩形是正方形；
14．如图1，在正方形中，点E，F是，上两点，，连接，．过点F作交于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，在BF上取一点H，使，交于点P，连接．
①求证：平分；
②若点E是中点，，求的长．
15．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
16．如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点．
(1)与相等吗？证明你的结论：
(2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明；
(3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论．
17．如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点，，，相交于点G，过点C作，交的延长线于点H，且．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)已知，．
①连接，求的长．
②请直接写出与之间的距离．
18．如图，四边形是正方形，点E是延长线上的一点，，且交正方形外角的平分线于点F．
(1)求的度数．
(2)若垂直于射线，垂足为点G．请判断的长是否为定值，若是，请证明；若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．A
4．C
5．A
6．C
7．B
8．C
二、填空题
9．70
10．
11．
12．①②③
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点E作于点M，于点N，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，且，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
14．【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
．
，
．
（2）①证明：过E点作，，垂足分别为M，N，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴平分，垂直平分，
∵，，
∴，
由（1）得，
∴，
平分，
即平分．
②解：∵正方形， ，
∴，
∵点E是中点，
∴，
由①得，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
设，则．
∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴与重合，
∴，
∴，
在中，,
∴，
解得，
即．
15．【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形
∵
∴平行四边形是正方形；
（2）∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
16．【详解】（1）解：，证明如下：
∵直线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
（2）解：当点O是的中点时，四边形是矩形，证明如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（3）解：当满足时，四边形是正方形，证明如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵平行四边形是矩形，
∴，
∴菱形是正方形．
17．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形；
（2）解：①过点D作于点M，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
同理得：，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
在中，根据勾股定理得：；
②过点C作于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即与之间的距离为．
18．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：的长为定值，理由如下：
在的延长线上取点H，使得，
∵在正方形中，，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（1）有，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长等于正方形的边长，为定值．

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