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21.3.3正方形培优同步自主达标训练题人教版2025—2026学年八年级数学下册（含答案）
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
D．一组邻边相等的四边形是菱形
2．四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是菱形
C．当平分时，四边形是菱形
D．当时，四边形是正方形
3．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
6．如图所示，在正方形中，是对角线，的交点，过点作，分别交，于点、．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的对角线为菱形的一边，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____
10．在边长为的正方形中，点在直线上，点到直线的距离为，则线段的长为_____．
11．四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____．
12．如图正方形，点为边上一动点，连接，作于点，连接，以长为横坐标，以长为纵坐标，绘制图象如图所示，则（1）______；（2）的最小值为______．
三、解答题
13．如图，已知为正方形对角线，为线段上一点，连接，过点作，，连接，
(1)求
(2)连接，已知为中点，请写出与的数量关系，并证明．
14．已知在四边形中，，，．
(1)如图1，当时，求证：四边形是正方形；
(2)连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点．
①如图2，如果点在边上，且，求的度数；
②如果，，求的长．
15．如图，在正方形中，分别为上的点，分别为的中点，连接并延长交于点．
(1)求证：为的中点；
(2)若，且，为中点，求的长．
16．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交直线于点．
(1)求证：；
(2)连接，点是的中点，连接，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
17．如图1，点，分别是正方形的边、的中点，连接、
(1)求证：
①；
②；
(2)将沿翻折得到，延长交的延长线于点，如图2，求证：是等腰三角形；
18．如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．B
4．B
5．C
6．C
7．D
8．D
二、填空题
9．20
10．
11．
12． /
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：如图，延长到点，使，连接，
∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵且，
∴，
∴．
14．【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又，
∴矩形是正方形；
（2）解：①过D作，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
②当E在边上，过A作交的延长线于点M，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
当在上，此时，
∵，
∴，，
由①知，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
综上，的长为或．
15．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵为中点，
∴，
∴．
∵为的中点，为的中点
∴是的中位线，
∴．
16．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，即为所求；
②，证明如下：
如图所示，延长分别交于点O，交的延长线于点K，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵点G为的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∴．
17．【详解】（1）证明：①四边形是正方形，
，，
点、分别是、的中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
②由①得，
，
在中，，
，
在中，，
．
（2）证明：四边形是正方形，
，
，
由翻折的性质可知，，
点在的延长线上，
，
，
，
是等腰三角形．
18．【详解】（1）证明：∵正方形的对角线、交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵正方形的对角线、交于点，
∴，
∵，即，
∵，
∴，
∴．

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