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21.3.2菱形培优同步自主达标训练题人教版2025—2026学年八年级数学下册（含参考答案）
一、选择题
1．矩形和菱形都具有的性质（ ）
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直 C．四个角都相等 D．对角线互相平分
2．在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形的对角线交于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是菱形
B．若，则是菱形
C．若，则是矩形
D．若，则是矩形
5．已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若得到一个钝角为的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．48
8．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题
9．如果菱形的两条对角线长分别为和，那么这个菱形的周长是______．
10．如图，在菱形中，已知，交于点，且，则菱形的面积用含，的式子表示为_____．
11．如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______．
12．如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的四边形（不重叠、无缝隙），已知，若有，则的长为______．
三、解答题
13．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求菱形的面积．
14．如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）．
15．如图1，在四边形中，，将线段平移得到，且为垂直平分线上一点，连接与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，连接交于点，连接，若，求证：四边形是菱形．
16．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，求菱形的面积．
17．如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．
(1)试判断四边形的形状并说明理由；
(2)若，求证：．
18．四边形中，是的中垂线，．
(1)如图1，求证：四边形是菱形．
(2)如图2，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点，且．
①当时，求的长．
②求的最小值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．D
4．D
5．A
6．C
7．B
8．D
二、填空题
9．52
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
∴（），
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：设菱形的边长为，则，
∵，
∴
∵四边形是矩形，
∴
在中，由勾股定理得：
，即，
解得．
∴，
∴菱形的面积：．
14．【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵四边形的面积为120，与的和34，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
15．【详解】（1）证明：∵将线段平移得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵为垂直平分线上一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
16．【详解】（1）证明：在中，，点为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，
，
平分，
，
，
，
在中，，点为中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：在上取点，使，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
18．【详解】（1）证明：∵是的中垂线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：①如图，设交于点，
∵四边形是菱形，且，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点作于点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，
∵与关于直线对称，
∴此时，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为．

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