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二次函数专项训练1
选择题
1．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b图象大致是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），下列判断正确的是（　　）
A．该抛物线的开口方向向下
B．该抛物线与y轴交点可能在y轴负半轴上
C．该抛物线与x轴一定有交点
D．点P（m+2，y1）、点Q（m﹣2，y2）在该函数图象上，则y1＝y2
3．某文创店销售一种珍珠饰品，每个进价为15元．调查发现，当售价为20元时，平均每天能售出100个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个珍珠饰品的售价降低x元，则这种珍珠饰品平均每天的销售利润w与x的关系式为（　　）
A．w＝5×（100+5x） B．w＝（5﹣x）（100+5x）
C．w＝（5+x）（100+5x） D．w＝（5﹣x）（100﹣5x）
4．已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在抛物线y＝a（x﹣1）2（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0
6．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（1，n），经过点（﹣1，0），且c＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．4a+2b+c＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当﹣1≤t≤3时，总有（1+t）（at﹣a+b）≤0
D．一元二次方程ax2+bx+c+3＝0一定有两个不相等的实数根
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于A，B两点，若反比例函数 （x ＞0 ） 的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（　　）
A．2≤k≤8 B．2≤k≤9 C．5≤k≤8 D．5≤k≤9
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点）．下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③ —1≤ a ≤ —；④3a+c＝0．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
第6题图 第9题图 第10题图
二．填空题
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），且其对称轴是直线x＝1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　 　 ．
12．已知P（x1，2），Q（x2，2）两点都在抛物线y＝x2﹣5x+1上，那么x1+x2＝　 　 ．
13．将抛物线y＝﹣x2+2x﹣9向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 　 　．
14．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用29m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的AB边为　 　 m时，猪舍面积最大（AB为整数）．
15．某景点的“喷水巨龙”喷嘴C处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则AD的长为　 　 ．
第11题图 第14题图 第15题图
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞1）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有下列结论：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2＜x1＜x2＜4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．其中，正确的结论是　 　 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 　 　 ．
18．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，y的取值范围是　 　 ．
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为M，与x轴交于A，B两点，OA＝1，OB＝OC＝3，则CM的长为　 　 ．
20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0；③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则．其中一定正确的是　 　 ．
第17题图 第19题图 第20题图
三．解答题
21．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，3）．
（1）求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标．
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0．
（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的值最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．
22．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：
（1）设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；
（2）超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？
（3）设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．
23．已知二次函数y＝m（x+3m﹣1）（x﹣m+3）（m是常数，m≠0）．
（1）当m＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）若此函数图象对称轴为直线x＝2，求函数的最大值；
（3）若此二次函数的顶点坐标为（s，t），当m≠1时，求的最小值．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．
25．如图，二次函数 +bx +c （b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，求点P的坐标．
（3）将抛物线沿射线CA的方向平移2个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
26．如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+c与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点P在x轴上，直线DP将△BCD的面积分成1：2两部分，请求出点P的坐标；
（3）如图2，作DM⊥x轴于M点，点Q是BD上方的抛物线上一点，作QN⊥BD于N点，是否存在Q点使得△DQN∽△DBM？若存在，请 直接写出Q坐标；若不存在，请说明理由．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；
（3）点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．
28．如图1，抛物线y＝ax2﹣9ax﹣36a（a≠0）与x轴交于A，B两点，与Y轴交于点C，且OC＝OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问△PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．
（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由．
答案
一．选择题
1．C．2．D．3．B．4．A．5．D．6．B．7．C．8．C．9．B．10．C．
二．填空题
11．x1＝﹣3，x2＝5．12．5．13．y＝﹣x2﹣2x﹣8．14．9．15．9m．16．①③④．
17．4．18．﹣5≤y≤4．19．．20．①③④．
三．解答题
21．解：（1）将A（﹣1，0）和C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得
，解得，
∴抛物线对应的函数表达式是y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）；
（2）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴点A、B关于直线x＝1对称，
连接BC，交抛物线的对称轴于一点即为点P，此时AP+CP的值最小，且AP+CP＝BC，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC 3，
设直线BC的解析式为y＝kx+a，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴P（1，2），
∴PA+PC的最小值为3，此时点P的坐标为（1，2）．
22．解：（1）由题意知，设一次函数y＝kx+b过点（38，160），（35，280）
则，
解得，
∴y＝40x+160．
（2）设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29（元），
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元；
（3）设降低x元，由题得y＝（38﹣x﹣22）（160120），
∴y＝﹣40x2+480x+2560＝﹣40（x﹣6） 2+4000，
当x＝6时，y最大＝4000．
∴售价为38﹣6＝32（元），
答：水果的销售价为每千克32元时，超市每天一天获利最大为4000元．
23．解：（1）已知二次函数y＝m（x+3m﹣1）（x﹣m+3），m＝1，
∴y＝（x+3﹣1）（x﹣1+3）＝（x+2）2，
∴函数图象的顶点坐标为（﹣2，0）；
（2）当y＝0时，得：m（x+3m﹣1）（x﹣m+3）＝0，
解得：x1＝1﹣3m，x2＝m﹣3，
∴函数图象与x轴交于点（1﹣3m，0），（m﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝2，
∴ = 2，
解得：m＝﹣3．
∴y＝﹣3（x﹣10）（x+6）＝﹣3（x﹣2）2+192．
∵﹣3＜0，
∴当x＝2时，函数有最大值192；
（3）当y＝0时，得：m（x+3m﹣1）（x﹣m+3）＝0，
解得：x1＝1﹣3m，x2＝m﹣3．
∴函数图象与x轴交于点（1﹣3m，0），（m﹣3，0），
∵顶点坐标为（s，t）．
∴ S = = -m - 1 ，
此时t ＝﹣4m（m﹣1）2，
∴．
∴当 时，函数有最小值﹣1．
24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴ ，
解得：，
∴抛物线表达式为 ；
（2）①对于抛物线表达式，
当x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC表达式为：y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
∴直线BC： ，
∵DE⊥AB，
∴D（t， ）， E（ t, -t +3 ），
∴ DE= - + t +3 -（-t + 3 ）= -+t，
∴ DE= - + t （0＜t＜6） ；
②存在，
CD= =，
而 CE== t ，
当DE＝CE时，—+t = t ，
解得： t = 6 －2或t＝0（舍），
∴，
∴ D（6—2，4—5），
当CD＝DE时，，
整理得：t2（﹣t+1）＝0，
解得：t＝1或t＝0（舍），
∴，
∴D（ 1 ，） ，
当CD＝CE时，，
整理得：，
解得：t＝2或t＝6（舍）或t＝0（舍），
∴，
∴D（2，4），
综上：△CDE是等腰三角形时，D（2，4）或D（ 1 ，）或 D （6—2，4—5）；
（3）在y轴负半轴取点N（0，﹣6），连接NG并延长交x轴于点M，连接AN，
由旋转得：OE＝OG，∠EOG＝90°，
∵B（6，0），
∴OB＝ON，
∴∠BON＝90°，
∴∠EOM＝∠GON＝90°﹣∠MOG，
∴△BOE≌△NOG（SAS），
∴∠CBO＝∠MNO，
∴点G在线段MN上运动（不包括端点），
∴当AG⊥MN时，AG最小，
∵∠CBO＝∠MNO，OB＝ON，∠COB＝∠MON，
∴△COB≌△MON（ASA），
∴OM＝OC＝3，
∴ MN= = 3，
∴当AG⊥MN时， =AM.×ON= MNAG
∴ ×5×6= ×3×AG，∴ AG= ；
当t＝2时，AG的最小值为．
∴线段AG长度的最小值．
25．解：（1）把B（9，0），C（0，﹣3）代入到+bx +c 中，
得： ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 -x -3 ；
（2）如图所示，当点P在BC下方时，
∵∠PCB＝∠OBC，
∴PC∥OB，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线 x= - = 4 ，
∴点P的坐标为（8，﹣3）；
如图所示，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于H，
∵∠PCB＝∠OBC，
∴CH＝BH，
∴CH2＝BH2，
设H（m，0），
∴（0﹣m）2+（﹣3﹣0）2＝（9﹣m）2，
解得m＝4，
∴H（4，0）；
设直线PC解析式为y＝k1x+b1，
∴ ，
∴ ，
∴直线PC解析式为 y = x - 3 ，
联立 ，
解得 或 （舍去），
∴点P的坐标为( , )；
综上所述，点P的坐标为（8，﹣3）或( , )；
（3）由（2）可得原抛物线对称轴为直线x＝4，
∵B（9，0），
∴由对称性可得A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴ AC= =；
∵将抛物线沿射线CA的方向平移2个单位长度后得到新抛物线，
∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为 y = -(x+2)-3+6 = -x-1，
当BE为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴BE，CF的中点坐标相同，
∴ = ，
∴xE＝﹣5，
∴，
∴此时点E的坐标为（﹣5，14）；
当BF为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴BF，CE的中点坐标相同，
∴ = ，
∴xE＝13，
∴，
∴此时点E的坐标为（13，38）；
当BC为对角线时，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴BC，EF的中点坐标相同，
∴ = ，
∴xE＝5，
∴，
∴此时点E的坐标为(5 , )；
综上所述，点E的坐标为（﹣5，14）或（13，38）或 (5 , )．
26．解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+kx+c得：
，解得：，
∴抛物线表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则点D的坐标为（1，4）；
（2）取BC的三等分点E、F，作EG⊥x轴于点G，FH⊥x轴于点H，
∵B（3，0）
∴由平行线分线段成比例的性质可得：OG＝GH＝HB＝1．
由B（3，0）、C（0，3）可得BC的直线表达式为：y＝﹣x+3，
∴E（1，2）、F（2，1），
∴P1坐标为（1，0），
由D（1，4）、F（2，1）得DF的直线表达式为：y＝﹣3x+7，
当y＝0时，x＝，即点P坐标为（，0），
故点P的坐标为（1，0）或（，0）；
（3）存在，理由：设点Q坐标为（m，n），n＝﹣x2+2x+3，
延长QN交DM于点Q′，
∵△DQN∽△DBM，
∴∠MDB＝∠BDQ，而DN⊥QN，
∴DQ′＝DQ，
直线BD表达式中的k值为：﹣2，故直线QQ′表达式中的k值为，
将点Q的坐标代入一次函数表达式并解得，
直线QQ的表达式为：y＝x+（n﹣m），
则点Q′的坐标为（1，+n﹣m），
DQ2＝（m﹣1）2+（n﹣4）2＝（m﹣1）2（m2﹣2m+2），
DQ′＝4﹣﹣n+m，
由DQ′＝DQ，
解得：m＝，
故点Q的坐标为（，）．
27．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．
∵∠OPD+∠ODP＝90°，∠ODP+∠FDE＝90°，
∴∠OPD＝∠FDE．
在△ODP和△FED中，，
∴△ODP≌△FED（AAS），
∴DF＝OP，EF＝DO．
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点D的坐标为（1，0），
∴EF＝DO＝1．
当y＝1时，﹣x2+2x+3＝1，
解得：x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，
∴DF＝OP＝1+﹣1＝，
∴点P的坐标为（0，）．
（3）∵点M（m，n）是抛物线上的一个动点，
∴n＝﹣m2+2m+3，
∴m2﹣2m＝3﹣n．
∵点D的坐标为（1，0），
∴MD2＝（m﹣1）2+（n﹣0）2＝m2﹣2m+1+n2＝3﹣n+1+n2＝n2﹣n+4．
∵n2﹣n+4＝（n﹣）2+，
∴当n＝时，MD2取得最小值，此时﹣m2+2m+3＝，
解得：m1＝，m2＝．
∴MD2＝n2﹣n+4，当MD2取得最小值时，点M的坐标为（，）或（，）．
28．解：（1）当y＝0时，ax2﹣9ax﹣36a＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝12．
即A（﹣3，0），B（12，0），
由OC＝OA，得
﹣36a＝×3，解得a＝﹣
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+5；
（2）如图2，设P（m，﹣m2+m+5）
∵直线BC经过B（12，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则 解得：
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，
则D（m，﹣m+5），PD＝﹣m2+m，
S＝（﹣m2+m）×12
S＝﹣m2+10m＝﹣（m﹣6）2+30
∴当m＝6时，S最大＝30．
（3）PD＝CD，翻折后PD＝CD＝CQ＝PQ，
PDCQ是菱形．
设P（n，﹣n2+n+5），则D（n，﹣n+5），
CD＝＝|n|
而PD＝﹣n2+n
∵PD＝CD，
﹣n2+n＝n①
﹣n2+n＝﹣n②，
解方程①得：n＝或0（不符合条件，舍去），
解方程②得：n＝或0（都不符合条件，舍去），
当n＝时，P（ ，），
综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（ ，）．
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