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湖南省长沙市雨花区同升湖学校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
1．若二次根式有意义，则的值不可以是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
2．下列各式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
5．下列函数中，为正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是（　　）
A．10 B．8 C．2 D．10或2
7．在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（　　）
A．6，7 B．7，6 C．7，7 D．7，8
8．下列说法不正确的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
9．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、二、三象限 B．图象与x轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时，
11．计算 的结果等于　 　．
12．若是关于x的一次函数，则　 　．
13．若点是直线上一点，则a的值是　 　．
14．甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是　 　．
15．如图，在中，、分别是、的中点，若，则　 　．
16．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是　 　尺。
17．计算：．
18．如图，，，，，．求：四边形的面积．
19．如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
20．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，与相交于点G．
（1）求证：；
（2）求的度数．
21．甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）．
三人成绩的平均数和中位数统计表
爱好者 甲 乙 丙
平均数 x
中位数 y 8 6
同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8．
乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8．
丙的成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（2）统计表中________，________；
（3）小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁．
22．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，且，
①求和的长．
②求四边形的面积．
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
24．如图一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）点Q为直线上一动点，当点Q运动到何位置时，的面积等于？请求出点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
25．综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点A，B，他们借助此图求出了的面积．
（1）在图1中，所画的的三边长分别是________，________，________，的面积为________；
（2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：，其中；
秦九韶公式：．
（3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
∵题干要求的是x不可以取的值，即不满足的选项，
∴只有A选项符合题意．
故选：A．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，即被开方数必须为非负数。先由 x-2 0 解得 x 2，再找出选项中不符合该范围的数即可。
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，故不符合题意；
B、，原写法错误，等号右边不符合二次根式有意义的条件，故不符合题意；
C、，原写法错误，故不符合题意；
D、，写法正确，符合题意，
故选：D．
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算，需掌握同类二次根式的合并法则以及二次根式的乘除运算法则。逐项判断时，A选项不能直接合并；B选项应注意被开方数非负；C选项应先化简再计算；D选项化简后合并同类二次根式正确。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、因为，所以能构成直角三角形，故C符合题意；
D、因为，所以不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：先应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，逐一判断即可解答．
5．【答案】D
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意；
B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意；
C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意；
D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题以正比例函数的定义为背景，考查了函数解析式的形式判断。根据正比例函数形如 y=kx（k0）的特征，逐项判断各选项是否符合该形式。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当8是斜边时，第三边长= =2 ；
当6和8是直角边时，第三边长= =10；
∴第三边的长为：2 或10，
故选D．
【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
7．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中出现次数最多的是数据7，
所以这组数据的众数为7，
将数据重新排列为4，6，7，7，8，
则这组数据的中位数为7，
故选：C．
【分析】本题以环保实践活动中捡拾塑料袋个数为背景，考查了众数和中位数的概念与求法。找出数据中出现次数最多的数得众数，将数据排序后取中间位置（奇数个）的数得中位数。
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确，不符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】利用矩形和平行四边形的性质，正方形和菱形的判定定理逐一分析即可.
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，，
∴，
∴点C的横坐标，纵坐标点D的纵坐标，
即点C的坐标是，
故选：C．
【分析】本题以平行四边形在平面直角坐标系中的顶点坐标为背景，考查了平行四边形的性质及坐标的平移关系。由A、B坐标得AB在x轴上且长度为5，平行四边形对边平行且相等，故CD∥AB且CD=5，由D坐标向右平移5个单位得点C坐标。
10．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、由题意可得，
图象经过第一、二、三象限，故A正确；
C、函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误；
B、当，可得，解得，
图象与x轴交于点，故B错误；
D、函数值y随自变量x的增大而增大，
当时，，故D错误，
故答案为：A．
【分析】
根据解析式可得图象经过第一、二、三象限；函数值y随自变量x的增大而增大；图象与x轴交于点；当时，；逐一判断选项，即可解答．
11．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】
故答案为2.
【分析】二次根式的乘法法则与整式的相同，这里可运用平方差公式计算.
12．【答案】2
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：2．
【分析】本题主要考查一次函数的定义，形如 y = kx + b（k0）的函数为一次函数。由 y = 3+ 6 是一次函数可知，x 的指数 k-1 = 1，解此方程即可得到 k 的值。
13．【答案】10
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，∵点是直线上一点，
∴．
故答案为：10．
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标性质，将已知点的横坐标代入函数解析式，求出对应的纵坐标即可得到答案。
14．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三名同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，
∴甲的方差最大，
∴这三名同学跳远成绩波动最大，最不稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】本题主要考查方差的意义。方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好。在本题中，通过比较甲、乙、丙三名同学跳远成绩的方差大小，从而判断出成绩最不稳定的同学．
15．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是的边和的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】本题以三角形中位线为背景，考查了三角形中位线定理的应用。根据定理，连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半，由 DE = 3 可得 BC = 2DE = 6.
16．【答案】3.75
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】根据题意可转化为如下图信息，
即AB+AC=10，∠ABC=90°，BC=5，求AB.
故设AB=x，则AC=10-x，
在Rt△ABC中，，
即，解得x=3.75
故答案填：3.75
【分析】将文字信息转化为数学符号，借助几何图形理解更为直观，进而分析信息得出勾股关系解之即可.
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了零指数幂、二次根式的乘除化简以及加减运算。解题时先分别计算各项，将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式并处理零指数幂即可。
18．【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴三角形是直角三角形，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题以四边形面积为背景，考查了勾股定理及其逆定理的应用。先利用勾股定理求出 AB = 5，再根据 AB2+ AD2 = BD2判定△ABD 为直角三角形，最后将两个直角三角形面积相加即可得到四边形面积。
19．【答案】（1）解：把点，分别代入直线的解析式，
得，，
解得，.
∴直线的解析式是.
（2）解：在直线中，
令，得.
∴点C的坐标为.
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A和B的坐标代入，利用待定系数法，即可求解
（2）根据（1）中求出的解析式，然后令y=0，求出C点的坐标，然后再根据三角形的面积公式：，代入数据即可求解
20．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
∴
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题以正方形为背景，考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的角度推理。
（1）利用正方形的边长相等和直角条件，通过“SAS”证明△ADE≌△BAF；
（2）由全等得∠ADE＝∠BAF，结合正方形内角为90°，推出∠DAG＋∠ADE＝90°，从而得到∠AGD＝90°，即∠DGF＝90°。
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
∴．
21．【答案】（1）乙
（2）；9
（3）解：据乙的成绩分析：由于8出现的次数有7次，7出现3次，无论改变其中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，所以乙符合．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：由靶图可知，乙的射击成绩最集中，即稳定性最好；
（2）解：由题意得，甲的平均数为，即
把甲的10次射击成绩按照从低到高排列为4，8，9，9，9，9，10，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9，9，则甲的中位数为，即；
【分析】本题以射击打靶成绩统计为背景，考查了数据稳定性的判断（通过靶图直观分析）、平均数与中位数的计算，以及数据改变对中位数、众数影响的分析。
（1）根据靶图中成绩分布的集中程度判断稳定性。
（2）根据成绩数据计算平均数和排序后取中位数。
（3）分析每人成绩中众数和中位数受数据改变的影响，找出改变一个数值后两者均不变的选手。
（1）解：由靶图可知，乙的射击成绩最集中，即稳定性最好；
（2）解：由题意得，甲的平均数为，即
把甲的10次射击成绩按照从低到高排列为4，8，9，9，9，9，10，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9，9，则甲的中位数为，即；
（3）解：据乙的成绩分析：由于8出现的次数有7次，7出现3次，无论改变其中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，所以乙符合．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：①∵，点M为的中点，，
∴，
∴在中，，
∴平行四边形中，，；
②∵在矩形中，，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题以平行四边形和垂直关系为背景，考查了矩形的判定、直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理的应用。
（1）通过证明四边形 ADEC 有三个直角，得到其为矩形；
（2）①利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 AB，再由勾股定理得 BC，结合平行四边形对边相等得出 CD；②将四边形 ADEB 分割为矩形 ADEC 与△ACB 的面积之和进行计算。
（1）证明：∵，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：①∵，点M为的中点，，
∴，
∴在中，，
∴平行四边形中，，；
②∵在矩形中，，
∴
．
23．【答案】（1）2.5；；
（2）
（3）解：当小明处在去体育馆的途中离家2km时，；
当小明从体育馆去商店途中离家2km时，
∴，
解得；
综上所述，当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min．
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：由函数图象可知小明在离家15分钟时到底体育馆，此时离家的距离为2.5km，∴小明家离体育馆的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为，
故答案为：2.5；；
（2）解：由函数图象可知当时，，当时，此时y是关于x一次函数，设，
∴，
解得，
∴此时，
综上所述，
【分析】本题以函数图象描述行程问题为背景，考查了从图象中获取信息、求运动速度、分段函数表达式及利用函数值求自变量。
（1）从图象中读取体育场的距离及对应时间，计算平均速度。
（2）分两段：路程不变时为常数函数；路程下降时为一次函数，利用待定系数法求解析式。
（3）分去体育馆途中和从体育馆去商店途中两种情况，分别列方程求解时间。
24．【答案】（1）解：∵一次函数与相交于点B，其中点B的横坐标为3，∴，
则点，
将点、的坐标代入一次函数表达式中，得，
解得：，，
所以一次函数的表达式为；
（2）解：设点，则的面积，
解得：或1.5，
故点或；
（3）存在，或或或
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设点，而点A、B的坐标分别为：，
则，，，
当时，，解得：或；
当时，同理可得：（舍去）或2；
当时，同理可得：；
综上点P的坐标为：或或或．
【分析】本题以一次函数图象与几何综合为背景，考查了待定系数法求解析式、三角形面积的计算及等腰三角形的存在性问题。
（1）先由正比例函数求出点B坐标，再将A、B坐标代入一次函数解析式求k、b。
（2）设点Q坐标，用三角形面积公式（以OA为底、Q与B横坐标差为高）列方程求解。
（3）设点P坐标，分别表示出AB、AP、BP的平方，分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况列方程求解。
（1）∵一次函数与相交于点B，其中点B的横坐标为3，
∴，
则点，
将点、的坐标代入一次函数表达式中，得，
解得：，，
所以一次函数的表达式为；
（2）设点，则的面积，
解得：或1.5，
故点或；
（3）设点，而点A、B的坐标分别为：，
则，，，
当时，，解得：或；
当时，同理可得：（舍去）或2；
当时，同理可得：；
综上点P的坐标为：或或或．
25．【答案】解：（1），，，；
（2）如图所示，
的面积；
（3）将，，代入秦九韶公式，
得
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1），，，
的面积，
故答案为，，，；
【分析】本题以“已知三角形三边求面积”为背景，考查了勾股定理、网格中利用割补法求三角形面积以及海伦公式（或秦九韶公式）的运用。
（1）通过勾股定理求出边长，再借助正方形网格用割补法求面积；
（2）根据给定边长在网格中构造三角形，同样用割补法求面积；
（3）选用秦九韶公式代入计算即可。
1 / 1湖南省长沙市雨花区同升湖学校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
1．若二次根式有意义，则的值不可以是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
∵题干要求的是x不可以取的值，即不满足的选项，
∴只有A选项符合题意．
故选：A．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，即被开方数必须为非负数。先由 x-2 0 解得 x 2，再找出选项中不符合该范围的数即可。
2．下列各式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可.
3．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，故不符合题意；
B、，原写法错误，等号右边不符合二次根式有意义的条件，故不符合题意；
C、，原写法错误，故不符合题意；
D、，写法正确，符合题意，
故选：D．
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算，需掌握同类二次根式的合并法则以及二次根式的乘除运算法则。逐项判断时，A选项不能直接合并；B选项应注意被开方数非负；C选项应先化简再计算；D选项化简后合并同类二次根式正确。
4．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、因为，所以能构成直角三角形，故C符合题意；
D、因为，所以不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据勾股定理的逆定理：先应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，逐一判断即可解答．
5．下列函数中，为正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意；
B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意；
C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意；
D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题以正比例函数的定义为背景，考查了函数解析式的形式判断。根据正比例函数形如 y=kx（k0）的特征，逐项判断各选项是否符合该形式。
6．已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是（　　）
A．10 B．8 C．2 D．10或2
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当8是斜边时，第三边长= =2 ；
当6和8是直角边时，第三边长= =10；
∴第三边的长为：2 或10，
故选D．
【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
7．在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（　　）
A．6，7 B．7，6 C．7，7 D．7，8
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中出现次数最多的是数据7，
所以这组数据的众数为7，
将数据重新排列为4，6，7，7，8，
则这组数据的中位数为7，
故选：C．
【分析】本题以环保实践活动中捡拾塑料袋个数为背景，考查了众数和中位数的概念与求法。找出数据中出现次数最多的数得众数，将数据排序后取中间位置（奇数个）的数得中位数。
8．下列说法不正确的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确，不符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【分析】利用矩形和平行四边形的性质，正方形和菱形的判定定理逐一分析即可.
9．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，，
∴，
∴点C的横坐标，纵坐标点D的纵坐标，
即点C的坐标是，
故选：C．
【分析】本题以平行四边形在平面直角坐标系中的顶点坐标为背景，考查了平行四边形的性质及坐标的平移关系。由A、B坐标得AB在x轴上且长度为5，平行四边形对边平行且相等，故CD∥AB且CD=5，由D坐标向右平移5个单位得点C坐标。
10．关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、二、三象限 B．图象与x轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时，
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、由题意可得，
图象经过第一、二、三象限，故A正确；
C、函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误；
B、当，可得，解得，
图象与x轴交于点，故B错误；
D、函数值y随自变量x的增大而增大，
当时，，故D错误，
故答案为：A．
【分析】
根据解析式可得图象经过第一、二、三象限；函数值y随自变量x的增大而增大；图象与x轴交于点；当时，；逐一判断选项，即可解答．
11．计算 的结果等于　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】
故答案为2.
【分析】二次根式的乘法法则与整式的相同，这里可运用平方差公式计算.
12．若是关于x的一次函数，则　 　．
【答案】2
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：2．
【分析】本题主要考查一次函数的定义，形如 y = kx + b（k0）的函数为一次函数。由 y = 3+ 6 是一次函数可知，x 的指数 k-1 = 1，解此方程即可得到 k 的值。
13．若点是直线上一点，则a的值是　 　．
【答案】10
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，∵点是直线上一点，
∴．
故答案为：10．
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标性质，将已知点的横坐标代入函数解析式，求出对应的纵坐标即可得到答案。
14．甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是　 　．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三名同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，
∴甲的方差最大，
∴这三名同学跳远成绩波动最大，最不稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】本题主要考查方差的意义。方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好。在本题中，通过比较甲、乙、丙三名同学跳远成绩的方差大小，从而判断出成绩最不稳定的同学．
15．如图，在中，、分别是、的中点，若，则　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是的边和的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】本题以三角形中位线为背景，考查了三角形中位线定理的应用。根据定理，连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半，由 DE = 3 可得 BC = 2DE = 6.
16．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是　 　尺。
【答案】3.75
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】根据题意可转化为如下图信息，
即AB+AC=10，∠ABC=90°，BC=5，求AB.
故设AB=x，则AC=10-x，
在Rt△ABC中，，
即，解得x=3.75
故答案填：3.75
【分析】将文字信息转化为数学符号，借助几何图形理解更为直观，进而分析信息得出勾股关系解之即可.
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了零指数幂、二次根式的乘除化简以及加减运算。解题时先分别计算各项，将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式并处理零指数幂即可。
18．如图，，，，，．求：四边形的面积．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴三角形是直角三角形，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题以四边形面积为背景，考查了勾股定理及其逆定理的应用。先利用勾股定理求出 AB = 5，再根据 AB2+ AD2 = BD2判定△ABD 为直角三角形，最后将两个直角三角形面积相加即可得到四边形面积。
19．如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：把点，分别代入直线的解析式，
得，，
解得，.
∴直线的解析式是.
（2）解：在直线中，
令，得.
∴点C的坐标为.
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A和B的坐标代入，利用待定系数法，即可求解
（2）根据（1）中求出的解析式，然后令y=0，求出C点的坐标，然后再根据三角形的面积公式：，代入数据即可求解
20．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，且，与相交于点G．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
∴
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题以正方形为背景，考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的角度推理。
（1）利用正方形的边长相等和直角条件，通过“SAS”证明△ADE≌△BAF；
（2）由全等得∠ADE＝∠BAF，结合正方形内角为90°，推出∠DAG＋∠ADE＝90°，从而得到∠AGD＝90°，即∠DGF＝90°。
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
∴．
21．甲、乙、丙三位射击爱好者进行了十次打靶射击，靶图中圆环内每个点代表此次打靶的成绩，从外到内每个圆环内的点依次对应获得1到10分的成绩，脱靶记为0分，圆环上的点算内环成绩（例如，处于9分环和10分环之间圆环上的点算10分）．
三人成绩的平均数和中位数统计表
爱好者 甲 乙 丙
平均数 x
中位数 y 8 6
同时，三人的具体成绩统计如下：甲的成绩：4，9，10，10，10，9，10，9，9，8．
乙的成绩：8，8，7，8，7，8，7，8，8，8．
丙的成绩：3，8，5，3，7，2，7，6，8，10．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）由靶图可知，成绩最稳定的是________（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（2）统计表中________，________；
（3）小明通过研究发现：甲、乙、丙三人的成绩中有一人的成绩，无论对其中哪一个数据进行改变（仅改变一个数值，数据个数不变），此人成绩的中位数和众数都不会变化？请结合数据说明此人是谁．
【答案】（1）乙
（2）；9
（3）解：据乙的成绩分析：由于8出现的次数有7次，7出现3次，无论改变其中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，所以乙符合．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：由靶图可知，乙的射击成绩最集中，即稳定性最好；
（2）解：由题意得，甲的平均数为，即
把甲的10次射击成绩按照从低到高排列为4，8，9，9，9，9，10，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9，9，则甲的中位数为，即；
【分析】本题以射击打靶成绩统计为背景，考查了数据稳定性的判断（通过靶图直观分析）、平均数与中位数的计算，以及数据改变对中位数、众数影响的分析。
（1）根据靶图中成绩分布的集中程度判断稳定性。
（2）根据成绩数据计算平均数和排序后取中位数。
（3）分析每人成绩中众数和中位数受数据改变的影响，找出改变一个数值后两者均不变的选手。
（1）解：由靶图可知，乙的射击成绩最集中，即稳定性最好；
（2）解：由题意得，甲的平均数为，即
把甲的10次射击成绩按照从低到高排列为4，8，9，9，9，9，10，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9，9，则甲的中位数为，即；
（3）解：据乙的成绩分析：由于8出现的次数有7次，7出现3次，无论改变其中哪个数据，8至少有6次，仍然最多，且中间两个数还是8，所以中位数和众数依然还是8，所以乙符合．
22．如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，且，
①求和的长．
②求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：①∵，点M为的中点，，
∴，
∴在中，，
∴平行四边形中，，；
②∵在矩形中，，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题以平行四边形和垂直关系为背景，考查了矩形的判定、直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理的应用。
（1）通过证明四边形 ADEC 有三个直角，得到其为矩形；
（2）①利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 AB，再由勾股定理得 BC，结合平行四边形对边相等得出 CD；②将四边形 ADEB 分割为矩形 ADEC 与△ACB 的面积之和进行计算。
（1）证明：∵，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：①∵，点M为的中点，，
∴，
∴在中，，
∴平行四边形中，，；
②∵在矩形中，，
∴
．
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
【答案】（1）2.5；；
（2）
（3）解：当小明处在去体育馆的途中离家2km时，；
当小明从体育馆去商店途中离家2km时，
∴，
解得；
综上所述，当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min．
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：由函数图象可知小明在离家15分钟时到底体育馆，此时离家的距离为2.5km，∴小明家离体育馆的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为，
故答案为：2.5；；
（2）解：由函数图象可知当时，，当时，此时y是关于x一次函数，设，
∴，
解得，
∴此时，
综上所述，
【分析】本题以函数图象描述行程问题为背景，考查了从图象中获取信息、求运动速度、分段函数表达式及利用函数值求自变量。
（1）从图象中读取体育场的距离及对应时间，计算平均速度。
（2）分两段：路程不变时为常数函数；路程下降时为一次函数，利用待定系数法求解析式。
（3）分去体育馆途中和从体育馆去商店途中两种情况，分别列方程求解时间。
24．如图一次函数的图象经过点，并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）点Q为直线上一动点，当点Q运动到何位置时，的面积等于？请求出点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵一次函数与相交于点B，其中点B的横坐标为3，∴，
则点，
将点、的坐标代入一次函数表达式中，得，
解得：，，
所以一次函数的表达式为；
（2）解：设点，则的面积，
解得：或1.5，
故点或；
（3）存在，或或或
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设点，而点A、B的坐标分别为：，
则，，，
当时，，解得：或；
当时，同理可得：（舍去）或2；
当时，同理可得：；
综上点P的坐标为：或或或．
【分析】本题以一次函数图象与几何综合为背景，考查了待定系数法求解析式、三角形面积的计算及等腰三角形的存在性问题。
（1）先由正比例函数求出点B坐标，再将A、B坐标代入一次函数解析式求k、b。
（2）设点Q坐标，用三角形面积公式（以OA为底、Q与B横坐标差为高）列方程求解。
（3）设点P坐标，分别表示出AB、AP、BP的平方，分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况列方程求解。
（1）∵一次函数与相交于点B，其中点B的横坐标为3，
∴，
则点，
将点、的坐标代入一次函数表达式中，得，
解得：，，
所以一次函数的表达式为；
（2）设点，则的面积，
解得：或1.5，
故点或；
（3）设点，而点A、B的坐标分别为：，
则，，，
当时，，解得：或；
当时，同理可得：（舍去）或2；
当时，同理可得：；
综上点P的坐标为：或或或．
25．综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点A，B，他们借助此图求出了的面积．
（1）在图1中，所画的的三边长分别是________，________，________，的面积为________；
（2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：，其中；
秦九韶公式：．
（3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
【答案】解：（1），，，；
（2）如图所示，
的面积；
（3）将，，代入秦九韶公式，
得
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1），，，
的面积，
故答案为，，，；
【分析】本题以“已知三角形三边求面积”为背景，考查了勾股定理、网格中利用割补法求三角形面积以及海伦公式（或秦九韶公式）的运用。
（1）通过勾股定理求出边长，再借助正方形网格用割补法求面积；
（2）根据给定边长在网格中构造三角形，同样用割补法求面积；
（3）选用秦九韶公式代入计算即可。
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