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第2课时　轻绳、轻杆模型　平衡中的临界极值问题
课时作业
(分值:80分)
(选择题每题6分)
知识点一　轻绳、轻杆模型
1.(多选)(2024·广东广州期末)如图所示,在一倾角为α、顶端带有定滑轮的固定斜面上有一质量为M的物体甲.现将一不可伸长的轻绳一端连接物体甲,另一端绕过定滑轮后悬挂一质量为m的物体乙.已知重力加速度为g,轻绳与斜面平行,物体甲在斜面上保持静止,不计一切摩擦.下列说法正确的有(　　)
[A]绳子拉力大小等于Mg
[B]绳子拉力大小等于mg
[C]M=m
[D]M>m
【答案】 BD
【解析】 物体甲静止在斜面上,所以物体乙处于静止状态,对物体乙受力分析可知,绳子拉力大小等于mg,故A错误,B正确;对物体甲受力分析,由平衡条件知Mgsin α=mg,可得M>m,故C错误,D正确.
2.如图所示的四幅图中,AB、BC均为轻质杆,各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接,两杆都在B处由铰链相连接.下列说法正确的是(　　)
[A]图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙
[B]图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁
[C]图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丙
[D]图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁
【答案】 B
【解析】 轻绳只能产生拉力,而杆可产生拉力也可产生推力,故只有当杆中产生拉力时绳能代替杆.题图甲、丁中AB杆中是拉力、BC杆中是推力;题图乙中两杆均是推力;题图丙中两杆均是拉力,故B正确.
3.(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上,另一端O光滑,一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物,OB水平;图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动,另一端O′光滑,一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物.已知图甲中∠BOA=30°,已知重力加速度为g,下列说法正确的有(　　)
[A]图甲中轻杆的弹力大小为mg
[B]图乙中轻杆的弹力大小为mg
[C]图甲中轻杆的弹力与细线OB的拉力的合力方向一定沿竖直方向
[D]图乙中∠B′O′C′不可能等于30°
【答案】 AC
【解析】 题图甲中轻杆OA为“定杆”,其O端光滑,可以视为“活结”,两侧细线拉力大小相等,都等于mg,如图a所示.由力的平衡条件可知,题图甲中轻杆的弹力大小为F甲==
mg,故A正确;题图乙中轻杆可绕A′点自由转动,为“动杆”,另一端O′光滑,可以视为活结,O′两侧细线的拉力相等,“动杆”的弹力方向沿“动杆”方向,“动杆”O′A′的弹力F大小等于两侧细线的拉力的合力大小,
当∠B′O′C′=30°时,如图b所示,两侧细线之间的夹角为30°+90°=120°,则有 2Tcos =F,
T=mg,解得 F=mg,故B、D错误;根据共点力的平衡条件,题图甲中轻杆弹力与细线OB拉力的合力方向一定竖直向上,故C正确.
知识点二　平衡中的临界极值问题
4.(多选)(2025·四川成都期中)用绳AC和BC吊起一重物处于静止状态,如图所示.若AC能承受的最大拉力为 150 N,BC能承受的最大拉力为105 N.取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.那么,下列说法正确的有(　　)
[A]当重物的重力为150 N时,开始瞬间AC、BC都不断,AC拉力比BC拉力大
[B]当重物的重力为150 N时,开始瞬间AC、BC都不断,AC拉力比BC拉力小
[C]当重物的重力为175 N时,开始瞬间AC不断,BC刚好断
[D]当重物的重力为175 N时,开始瞬间AC断,BC也断
【答案】 AC
【解析】 取C点为研究对象进行受力分析,如图所示,当重物的重力为150 N时,AC拉力为T1=Gcos 37°=120 N<150 N,BC拉力为T2=Gcos 53°=90 N<105 N,可知,当重物的重力为 150 N 时,AC、BC都不断,且AC拉力比BC拉力大,故A正确,B错误;当重物的重力为
175 N时,假设绳子不断时,AC拉力为T1′=G′cos 37°=140 N<150 N,BC拉力为 T2′=
G′cos 53°=105 N,所以AC不断,BC刚好断,故C正确,D错误.
5.北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒,某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象,为避免倾倒,在左侧用木棍支撑,如图所示.若支撑点距水平地面的高度为m,木棍与水平地面间的动摩擦因数为,木棍重力不计,粮仓对木棍的作用力沿木棍方向,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,为使木棍下端一定不发生侧滑,则木棍的长度最长为(　　)
[A]1.5 m [B] m
[C]2 m [D]2 m
【答案】 C
【解析】 设木棍与竖直方向夹角为θ,木棍长度为L,粮仓对木棍的作用力为F.为使木棍下端一定不发生侧滑,则有 Fsin θ≤μFcos θ,即μ≥tan θ,由几何知识有tan θ=,联立解得L≤2 m,即木棍的长度最长为2 m,故C项正确.
6.如图所示,滑块A置于水平地面上,滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直),此时A恰好不滑动,B刚好不下滑.已知A与B间的动摩擦因数为μ1,A与地面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.A与B的质量之比为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 A恰好不滑动,B刚好不下滑,说明A此时受到地面的静摩擦力为最大静摩擦力,B受到A的静摩擦力为最大静摩擦力,对A、B整体受力分析,在竖直方向上,A对地面的压力大小等于A、B重力之和,在水平方向上,推力F和地面对A的最大静摩擦力大小相等,即F=fmax,又因为最大静摩擦力等于滑动摩擦力,有F=f=μ2(mA+mB)g,B的重力和A对B的最大静摩擦力大小相等,有μ1F=mBg,联立解得=,B正确.
7.(12分)(2024·广东江门期末)如图所示,解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练,运动过程中保持绳子与水平面间的夹角θ恒为53°,轮胎质量m为 50 kg,g取10 m/s2,取
sin 53°=0.8,cos 53°=0.6.
(1)(5分)当轮胎做匀速直线运动时,若地面对轮胎的阻力大小为150 N,求绳中的拉力T大小和地面对轮胎的支持力大小;
(2)(7分)若训练的过程中,为确保轮胎不飞离地面,求绳中拉力的最大值Tm大小.
【答案】 (1)250 N　300 N　(2)625 N
【解析】 (1)轮胎做匀速直线运动,根据平衡条件可得Tcos θ=F阻,
FN+Tsin θ=mg,
联立解得T=250 N,FN=300 N.
(2)为确保轮胎不飞离地面,有
FN+T′sin θ=mg,FN≥0,
可得T′≤625 N,
绳中拉力的最大值大小为Tm=625 N.
(选择题每题9分)
8.(2024·广东广州期末)如图所示,重力为G的小球用轻绳悬于O点,用力F拉住小球,使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变,当F与竖直方向的夹角为θ时F最小,则θ、F的值分别为(　　)
[A]0°,G [B]30°,G
[C]30°,G [D]60°,G
【答案】 B
【解析】 当力F与轻绳垂直时,即θ=30°时,F取得最小值,由平衡条件可得Fmin=Gsin 60°
=G,故选B.
9.(多选)(2024·广东东莞期中)如图所示,将质量为m的物体A轻放在倾角为θ的固定斜面上,恰好保持静止,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,下列说法错误的有(　　)
[A]物体与斜面间的动摩擦因数μ=tan θ
[B]只要对A施加竖直向下的推力F,A将一定沿斜面下滑
[C]若对A施加水平向右的推力F,A仍保持静止,则F最大为2mgsin θ
[D]若斜面光滑,对A施加任意方向的推力F,A仍保持静止,则F最小为mgsin θ
【答案】 BC
【解析】 将物体A轻放在倾角为θ的固定斜面上,恰好保持静止,则说明mgsin θ=μmg
cos θ,解得 μ=tan θ,故A不符合题意;若对A施加竖直向下的推力F,仍满足(mg+F)sin θ=
μ(mg+F)cos θ,A不会沿斜面下滑,故B符合题意;若对A施加水平向右的推力F,A仍保持静止,摩擦力达到最大时,推力最大,Fmcos θ=mgsin θ+μ(mgcos θ+Fmsin θ),解得Fm=,故C符合题意;若斜面光滑,对A施加任意方向的推力F,A仍保持静止,当F沿斜面向上时最小,Fmin=mgsin θ,故D不符合题意.
10.(14分)如图甲所示,三条不可伸长且结实的轻绳系于O点,OC绳将质量为m的重物悬挂起来,已知系在竖直墙上的OA绳与墙成37°角,保持O点位置不变,可改变OB绳拉力的方向(g取 10 m/s2,取 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8).
(1)(4分)若m=1 kg,OB绳的拉力沿水平方向,求OB绳和OA绳拉力的大小;
(2)(5分)若m=1 kg,改变OB绳拉力方向,求OB绳拉力的最小值;
(3)(5分)如图乙所示,如果OB绳沿水平方向,B端固定于静止在倾角为37°粗糙斜面上的质量为M=12 kg的物体上,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,已知物体M和斜面间的动摩擦因数μ=0.8,若要保持M静止,则m的值最大为多少
【答案】 (1)7.5 N　12.5 N　(2)6 N　(3)0.5 kg
【解析】 (1)依题意,对结点O受力分析,如图a所示,根据三力平衡可得
FOB=FOCtan 37°,
FOA=,
又FOC=mg,
联立解得FOB=7.5 N,
FOA=12.5 N.
(2)根据力的矢量三角形判断知,当OB绳拉力方向与OA绳垂直时,OB绳拉力为最小,可得最小值FOB′=FOCsin 37°=6 N.
(3)若要保持M静止且m的值最大,则此时M的受力分析如图b所示,M受到的摩擦力f恰好达到最大静摩擦力,由平衡条件及正交分解法可得
FOB″cos 37°+Mgsin 37°=f,
FN+FOB″sin 37°=Mgcos 37°,
又f=μFN,
FOB″=FOC′tan 37°=mmaxgtan 37°,
联立解得mmax=0.5 kg.第2课时　轻绳、轻杆模型　平衡中的临界极值问题
课时作业
(分值:80分)
(选择题每题6分)
知识点一　轻绳、轻杆模型
1.(多选)(2024·广东广州期末)如图所示,在一倾角为α、顶端带有定滑轮的固定斜面上有一质量为M的物体甲.现将一不可伸长的轻绳一端连接物体甲,另一端绕过定滑轮后悬挂一质量为m的物体乙.已知重力加速度为g,轻绳与斜面平行,物体甲在斜面上保持静止,不计一切摩擦.下列说法正确的有(　　)
[A]绳子拉力大小等于Mg
[B]绳子拉力大小等于mg
[C]M=m
[D]M>m
2.如图所示的四幅图中,AB、BC均为轻质杆,各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接,两杆都在B处由铰链相连接.下列说法正确的是(　　)
[A]图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙
[B]图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁
[C]图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丙
[D]图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁
3.(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上,另一端O光滑,一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物,OB水平;图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动,另一端O′光滑,一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物.已知图甲中∠BOA=30°,已知重力加速度为g,下列说法正确的有(　　)
[A]图甲中轻杆的弹力大小为mg
[B]图乙中轻杆的弹力大小为mg
[C]图甲中轻杆的弹力与细线OB的拉力的合力方向一定沿竖直方向
[D]图乙中∠B′O′C′不可能等于30°
4.(多选)(2025·四川成都期中)用绳AC和BC吊起一重物处于静止状态,如图所示.若AC能承受的最大拉力为 150 N,BC能承受的最大拉力为105 N.取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.那么,下列说法正确的有(　　)
[A]当重物的重力为150 N时,开始瞬间AC、BC都不断,AC拉力比BC拉力大
[B]当重物的重力为150 N时,开始瞬间AC、BC都不断,AC拉力比BC拉力小
[C]当重物的重力为175 N时,开始瞬间AC不断,BC刚好断
[D]当重物的重力为175 N时,开始瞬间AC断,BC也断
5.北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒,某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象,为避免倾倒,在左侧用木棍支撑,如图所示.若支撑点距水平地面的高度为m,木棍与水平地面间的动摩擦因数为,木棍重力不计,粮仓对木棍的作用力沿木棍方向,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,为使木棍下端一定不发生侧滑,则木棍的长度最长为(　　)
[A]1.5 m [B] m
[C]2 m [D]2 m
6.如图所示,滑块A置于水平地面上,滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直),此时A恰好不滑动,B刚好不下滑.已知A与B间的动摩擦因数为μ1,A与地面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.A与B的质量之比为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
7.(12分)(2024·广东江门期末)如图所示,解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练,运动过程中保持绳子与水平面间的夹角θ恒为53°,轮胎质量m为 50 kg,g取10 m/s2,取
sin 53°=0.8,cos 53°=0.6.
(1)(5分)当轮胎做匀速直线运动时,若地面对轮胎的阻力大小为150 N,求绳中的拉力T大小和地面对轮胎的支持力大小;
(2)(7分)若训练的过程中,为确保轮胎不飞离地面,求绳中拉力的最大值Tm大小.
8.(2024·广东广州期末)如图所示,重力为G的小球用轻绳悬于O点,用力F拉住小球,使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变,当F与竖直方向的夹角为θ时F最小,则θ、F的值分别为(　　)
[A]0°,G [B]30°,G
[C]30°,G [D]60°,G
9.(多选)(2024·广东东莞期中)如图所示,将质量为m的物体A轻放在倾角为θ的固定斜面上,恰好保持静止,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,下列说法错误的有(　　)
[A]物体与斜面间的动摩擦因数μ=tan θ
[B]只要对A施加竖直向下的推力F,A将一定沿斜面下滑
[C]若对A施加水平向右的推力F,A仍保持静止,则F最大为2mgsin θ
[D]若斜面光滑,对A施加任意方向的推力F,A仍保持静止,则F最小为mgsin θ
10.(14分)如图甲所示,三条不可伸长且结实的轻绳系于O点,OC绳将质量为m的重物悬挂起来,已知系在竖直墙上的OA绳与墙成37°角,保持O点位置不变,可改变OB绳拉力的方向(g取 10 m/s2,取 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8).
(1)(4分)若m=1 kg,OB绳的拉力沿水平方向,求OB绳和OA绳拉力的大小;
(2)(5分)若m=1 kg,改变OB绳拉力方向,求OB绳拉力的最小值;
(3)(5分)如图乙所示,如果OB绳沿水平方向,B端固定于静止在倾角为37°粗糙斜面上的质量为M=12 kg的物体上,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,已知物体M和斜面间的动摩擦因数μ=0.8,若要保持M静止,则m的值最大为多少

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