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第十章 概率单元测试试卷
（人教A版必修二第十章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
2．掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（ ）
A． B．出现的点数为6
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
3．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次”
4．已知，，且，则（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2
5．至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
6．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D
7．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合的子集的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
8．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是
C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列事件中，A，B是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3”
D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”
10．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（ ）
A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等
C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是
D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是
11．（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．若，互为对立事件，，则
B．事件，，两两互斥，则事件与互斥
C．事件与对立，则
D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________．
13．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________．
14．小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________．
解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。
15．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，观察它落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间．
16．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：｛出现1点｝，｛出现3点或4点｝，｛出现的点数是奇数｝，｛出现的点数是偶数｝．求，，．
17．一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同.
(1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求；
(2)若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率.
18．玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球：
(1)取得红球或黑球的概率；
(2)取得红球或黑球或白球的概率．
19．某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响．
(1)求小李第2年首次达标的概率；
(2)设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？
第十章 概率单元测试试卷（详解版）
（人教A版必修二第十章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】先判断①是必然事件，③是不可能事件，而②④既有可能发生也有可能不发生，再根据随机事件的定义即可得到答案.
【详解】由于①是物理学定律，从而是必然事件；
由于根据自由落体的相关理论，自由下落的物体做匀加速直线运动，故③是不可能事件；
而明天的天气是不确定的，故②可能发生也可能不发生；
函数在定义域上是增函数当且仅当，所以④可能发生也可能不发生.
根据随机事件的定义，知是随机事件的是②④.
故选：C.
2．掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（ ）
A． B．出现的点数为6
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
【答案】B
【分析】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可．
【详解】出现的点数不小于5出现的点数为，出现的点数为偶数出现的点数为，
则出现的点数为，故B正确，A错误；
因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C，D错误，
故选：B．
3．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（ ）
A．“全部击中” B．“至少击中1次”
C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次”
【答案】D
【分析】由事件的运算即可求解.
【详解】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确.
故选：D．
4．已知，，且，则（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2
【答案】B
【分析】由A与B之间的包含关系可直接得到答案.
【详解】因为，所以,
故选：B.
5．至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
【答案】A
【分析】根据互斥事件的定义判断.
【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件．
其他选项对应的事件均可同时发生，
故选：A
6．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D
【答案】D
【分析】根据已知写出各事件的基本事件，结合互斥事件、对立事件的定义判断各项的正误.
【详解】由题设，样本空间，事件，事件，事件，事件，
所以是互斥事件，也是对立事件，、均不是互斥事件，是互斥事件，但不是对立事件.
故选：D
7．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合的子集的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】求出各集合子集个数，并求出概率即可.
【详解】集合的所有子集有，集合的所有子集有，
故所求概率为．
故选：C.
8．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是
C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是
【答案】C
【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D.
【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，.
对于A，两人都做对的概率为，故A正确；
对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确；
对于C，两人都做错的概率为，故C错误；
对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列事件中，A，B是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3”
D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”
【答案】AC
【详解】对于选项A，可知事件“第一次为反面朝上，且第二次为正面朝上”，
可知，
所以，所以相互独立，选项A正确；
对于选项B，可知第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为，
第一次没有摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为，
可知第一次的结果对第二次摸球有影响，所以事件不相互独立，选项B错误；
对于选项C，可知事件“出现点数为2”，
可知，
所以，所以相互独立，选项C正确；
对于选项D，可知事件互斥，即，所以事件不相互独立，选项D错误；
10．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（ ）
A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等
C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是
D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是
【答案】BD
【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断BCD.
【详解】对A，由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，
所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；
对B，记2个红球分别为，3个白球分别为1，2，3，
不放回地从中取2个球的样本空间
共20种，
记事件为“第1次取到红球”，事件为“第2次取到红球”，
则，
所以，故B正确；
对C，有放回地从中取2个球的样本空间
，共25种；
记事件为“取出1个红球和1个白球”，则
，共12种，
所以，故C错误；
对D，记事件为“取出2个白球”，则，共9种；
所以，
所以至少取出1个红球的概率为，故D正确.
故选：BD
11．（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．若，互为对立事件，，则
B．事件，，两两互斥，则事件与互斥
C．事件与对立，则
D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥
【答案】ABC
【分析】通过互斥事件和对立事件的定义与概率性质，逐一分析各选项即可.
【详解】若，互为对立事件，则，已知，可得，故A正确；
事件两两互斥，则事件不能同时发生，则事件与也不可能同时发生，
则事件与互斥，故B正确；
事件与对立，则，故C正确；
若，互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率为_____________．
【答案】0.45
【分析】根据给定条件，利用频率的定义求解.
【详解】正面向上的频率为：.
故答案为：
13．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________．
【答案】10
【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可.
【详解】根据题意，
从袋中随机摸出一个红球的概率是，
所以.
故答案为：10
14．小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________．
【答案】
【分析】先求，再根据即可求解.
【详解】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件，参加乙款游戏闯关成功为事件，
则，
所以，
又，
所以.
解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。
15．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，观察它落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间．
【答案】答案见解析
【分析】列出所有可能结果，并用集合表示即可.
【详解】第一次抛掷可能的基本结果用表示，第二次抛掷可能的基本结果用表示，
那么试验的样本点可用表示，
则样本空间（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上．”，
则样本空间．
16．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：｛出现1点｝，｛出现3点或4点｝，｛出现的点数是奇数｝，｛出现的点数是偶数｝．求，，．
【答案】，｛出现点数1，3或5｝，｛出现点数3｝．
【分析】根据积事件与和事件的概念得到答案．
【详解】由已知条件可得{出现1点，3点或5点}，{出现2点，4点或6点},
所以，｛出现点数1，3或5｝，｛出现点数3｝．
17．一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同.
(1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求；
(2)若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用古典概型的概率公式，直接根据“红球数量/总球数=给定概率”建立方程，即可求解未知的红球个数.
（2）利用不放回抽样和等可能样本点的计数原理，通过列出所有可能的两次抽球结果并统计第二次抽到绿球的样本数，根据古典概型的概率公式进行计算.
【详解】（1）从盒子中随机抽取1个球，
抽到红球的概率为，解得.
（2）设3个绿球分别为，个红球分别为，
采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球，
不同情况有，
共20种，
其中第二次抽到的球为绿球，即第二个字母为或或的情况共有12种，
故第二次抽到的球是绿球的概率为.
18．玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球：
(1)取得红球或黑球的概率；
(2)取得红球或黑球或白球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用互斥事件或对立事件的知识来求得所求概率.
【详解】（1）记事件表示“任取1球为红球”，表示“任取1球为黑球”，表示“任取1球为白球”，表示“任取1球为绿球”，
则，，，．
解法一：利用互斥事件求概率．
根据题意知，事件，，，彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
取出1球为红球或黑球的概率为．
解法二：利用对立事件求概率．
由解法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，
即的对立事件为．所以取得1球为红球或，黑球的概率为：
．
（2）解法一：利用互斥事件求概率．
取出1球为红球或黑球或白球的概率为．
解法二：利用对立事件求概率．
的对立事件为，则．
19．某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试．假设技工小李每年都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不受往年影响．
(1)求小李第2年首次达标的概率；
(2)设小李第n年首次达标的概率为，则当n为多少时，最大？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在第2年首次达标，意味着第1年未达标，第2年达标．
第1年达标的概率为，未达标的概率为，
第2年达标的概率为．
故所求概率为．
（2）当时，．
当时，，
，
令，即，化简得，因为，所以，
即时，，当时，，所以当时，最大．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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