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2026年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区九年级适应性测试样卷 数学（问卷）
一、单选题
1．下表是我省四个地级市三月份某天的最低气温记录：
城市 乌鲁木齐市 克拉玛依市 吐鲁番市 哈密市
气温（） 0 2
这一天气温最低的城市是（ ）
A．乌鲁木齐市 B．克拉玛依市 C．吐鲁番市 D．哈密市
2．如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．根据中国人民银行最新公布的数据，截至2026年2月末，中国黄金储备为盎司（盎司≈克）较1月末增加盎司，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，液体表面与底部平行，一束光线从空气射入液体．入射光线为，折射光线为．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．在某中学举办的“青春逐梦”校园知识竞赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．98，98 B．98，97 C．98，96 D．97，98
6．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于点和点，并与正比例函数的图像平行，下列说法不正确的是（ ）
A．点的坐标是
B．点在函数图像上
C．的周长是
D．关于的方程的解是
8．如图，在菱形中，对角线，交于点，，现以点为旋转中心，将所在的直线绕点逆时针旋转，旋转之后的直线与边，所在的直线分别交于点，，连接、，要使四边形是矩形，则的大小可以是（ ）
A． B． C． D．
9．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．计算：_____．
11．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则________________．
12．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是______．
13．如图，四边形内接于，为直径，，，则_______________．

14．如图，正方形的边长为，剪去一个边长为1的小正方形，剩余阴影部分与正方形的面积分别为，，则可化简为_____．
15．如图，矩形中，，将该矩形绕着点旋转，得到四边形，使点在直线上，那么线段的长度是_____．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．解答下列各题
(1)解不等式组：；
(2)已知是方程的两个实数根，且满足，求的值．
18．如图，在中，．
(1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线绕点旋转得到，连接，．求证：四边形是菱形．
19．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“中华非遗文化体验”活动，设置“京剧”“剪纸”“书法”“皮影戏”四类体验项目，学校随机抽取部分学生，调查其最想参与的项目（每人限选一项）．将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据以下信息，解答下列问题：
(1)填空：此次共调查了_____名学生；图中学生体验“京剧”所在扇形的圆心角为_____．学校采用的调查方式是_____（选填“全面调查”或“抽样调查”）：
(2)将条形统计图补充完整；
(3)学校计划从最想参与“皮影戏”的4名优秀学生（两男两女）中随机抽取2名，担任非遗文化体验活动志愿者，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生中至少有1名是女生的概率．
20．随着科技发展，无人机已广泛应用于生活与各类活动，凭借灵活便捷的航拍优势，在赛事记录、现场拍摄等场景中发挥着重要作用．某校举办运动会开幕式，一架无人机进行低空拍摄作业．该无人机先在点处保持水平飞行，飞行9米后到达点处，两点距离地面的垂直高度均为15米．在处测得主席台中心位置点的俯角为，在处测得点的俯角为，点、、在同一竖直平面内，且飞行路线与主席台前沿平行．（参考数据：，）
(1)主席台中心点到无人机飞行航线的垂直距离；
(2)在（1）的基础上，求无人机在点时，到主席台中心点的直线距离．（结果保留一位小数）
21．端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于50元/盒时，每天销量稳定在100盒；当售价高于50元/盒时，售价每提高1元，每天少售2盒．
(1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)若设海鲜粽每盒售价为元，每天销售海鲜粽的利润为元，求与之间的关系式；
(3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价．
22．如图，内接于，，连接并延长交于点，连接，直线经过点且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号）
23．解答题
(1)【动手实践】如图1，将正方形纸片沿折叠，使点落在正方形纸片内点处，延长交于点，连接，求的度数．
(2)【深入探究】如图2，先将正方形纸片对折，折痕为，再将正方形纸片沿折叠，使点落在折痕上的点处，延长交于点，连接，．
①求证：是等边三角形：
②若正方形的边长为3，求的面积．
(3)【拓展迁移】如图3，将（2）中的边向左平移至分别交，于点，，且经过点，求的值．
参考答案
1．A
解：四个城市的气温分别为 ，，，，
∵ ，
∴气温最低的值为 ，对应城市为乌鲁木齐市，
故选：A．
2．B
解：该几何体的俯视图为：
故选：B．
3．C
解：．
4．A
解：，
，
，
，
是的一个外角，
．
5．C
解：由图可知：98出现的次数最多，故众数为98，
按照从大到小的顺序，第13个数据为96，故中位数为96．
6．D
解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
7．B
解：∵一次函数的图像与正比例函数的图像平行，
∴，
∵一次函数的图像与轴交于点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
把代入得：，
∴点的坐标是，故A正确，不符合题意；
∵把代入得：，
∴点不在函数图像上，故B不正确，符合题意；
∵，
∴的周长是，故C正确，不符合题意；
∵一次函数的图像与轴交于点，
∴关于的方程的解是，故D正确，不符合题意．
8．B
解：在菱形中，对角线，交于点，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，即
9．A
解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数，
∴排除选项、，
接下来求的立方根：
第一步：确定位数，∵，，且 ，
∴，即是两位数；
第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为，
∴的个位数字是；
第三步：确定十位数字，划去后三位得到，
∵，，且，
∴的十位数字是，即；
∴．
10．
解：．
11．7
解：∵点P（m，m-n）与点Q（-2，3）关于原点对称，
，
解得：，
则点M（m，n）坐标为：（2，5）．
∴m+n=2+5=7．
故答案为：7．
12．
解：因为反比例函数的图象在第二、四象限，
所以，
解得．
故答案为：．
13．/度
解：如图所示，连接．

∵，
∴．
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴，
故答案为：．
14．
解：由题意可得，，
∴，
即可化简为．
15．或
解：在矩形中，，，
由旋转性质可知：，
当点在线段上时，如图 1，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点D在线段的延长线上时，如图2，
同理可得：，
则，
，
∴，
，
故答案为：或．
16．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)
（1）解：，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集为；
（2）解：已知是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴无论为何值，，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
∴．
18．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图所示，为所求：
（2）证明：如图，
由（1）知垂直平分，即，
∵，且三点共线，
∴，
∴四边形是菱形．
19．(1)，，抽样调查
(2)见解析
(3)
（1）解：此次调查的学生总人数为（名），
“京剧”所在扇形的圆心角为，
学校采用的调查方式是抽样调查，
（2）解：选择“书法”的学生人数为（名），
选择“剪纸”的学生人数为（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：记两名男生为男1，男2，两名女生为女1，女2，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中抽到至少有1名是女生有10种可能的情况，
则所选2名学生中至少有1名是女生的概率．
20．(1)米
(2)无人机在点时，到主席台中心点的直线距离约为米
（1）解：如图，过点作交的延长线于点，
．
由题意可知，，，米，
，
，
．
设主席台中心点到无人机飞行航线的垂直距离为米，即米，
米，米．
在中，，
即，
解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（米）．
答：主席台中心点到无人机飞行航线的垂直距离为米．
（2）解：由（1）可知，（米），
（米），
在中，（米）．
答：无人机在点时，到主席台中心点的直线距离约为米．
21．(1)海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元
(2)
(3)最大利润为1750元，此时海鲜粽每盒售价为65元
（1）解：设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；
（2）解：当时，此时销量固定为100盒．单盒利润为元．
则总利润：
当时，售价比50元提高了元，销量减少盒．此时销量为：（盒）．单盒利润为元．
则总利润：
；
∴与之间的关系式
（3）解：根据题意得：，
解得：，
∴，
当时，，
因为，
所以随的增大而增大．
当时，取得最大值，为：，
当时：
∵
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
当时，y取得最大值，，
∵，
该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润为元，此时海鲜粽每盒售价为65元．
22．(1)见详解
(2)为
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，，，过点作于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴,
∴，
∴在等腰中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴.
23．(1)
(2)①见解析；②
(3)
（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠可得：，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）证明：①根据折叠可得：，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
②根据折叠可得垂直平分
∵是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
∴，，
根据解析（1）可知：，
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：根据解析（2）可知：为等边三角形，
∴，，
∴，
根据平移可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．

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