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湖南省长沙市博才实验中学联考2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．下面四个图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（　　）
A． B． C． D．
5．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象与y轴交于点
B．y随x的增大而增大
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、四象限
6．如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，点在双曲线上，轴于点，，则的值为（　　）
A．1.5 B．3 C．18 D．6
8．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（　　）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
9．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在二次根式中，字母a的取值范围是　 　．
12．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得点的坐标为　 　．
13．在一次湖南旅游景点推荐活动中，主持人从长沙、张家界、岳阳、娄底四个地市中，随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍．假设长沙的代表景点是橘子洲头，张家界的代表景点是武陵源风景名胜区，岳阳的代表景点是岳阳楼，娄底的代表景点是紫鹊界梯田．那么，被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是　 　．
14．圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为　 　（结果保留）．
15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则　 　．
16．下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“”表示上升，“”表示下降，“—”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排在第，，名的区县依次是　 　．
名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
区县
变化情况 — — —
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
20．某校为提高学生体育运动能力，进一步增强学生的身体素质，现决定开设篮球、足球、排球、乒乓球、游泳5门运动课程．为了解学生需求，学校随机抽取部分学生进行调查（每人限选1门），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生一共有　 　人；
（2）请补全条形图；
（3）扇形统计图中，“排球”所在扇形圆心角的度数为　 　；
（4）若全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数．
21．如图，点D在上，，交于点F，，，．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
22．电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下：
“哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元）
1 2 210
3 4 480
（1）该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？
（2）某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？
23．如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积．
24．如图，在中，以为直径的上半圆上有一动点（不与、重合），连接并延长至点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）记、、的面积为、、，若，求的值；
（3）已知，平分分别交、于点、，连并延长交于点，与的延长线交于点，的值是否为定值？如果是，定值是多少？如果不是，请说明理由．
25．将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍位似图象”．例如：对于，求它的“3倍位似图象”的解析式．求法：不妨记上的任意点，则变换之前的点在的图象上，则：，即，所以的解析式为．
（1）判断：下列三组函数图象，是否为的“2倍位似图象”？对的打“√”，错的打“×”；
①和（　　）
②和（　　）
③和（　　）
（2）已知二次函数（，为常数），是的“倍位似图象”．若的顶点落在图象上，求的值；
（3）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数），记的“倍位似图象”为抛物线．抛物线与轴交于，两点，顶点为点．抛物线与轴交于，两点，顶点为点，若，且，求线段的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘及合并同类项，逐项判断即可求解．
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4500万即45000000，
，
故选：D．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A．当时，，则它的图象与y轴交于点，故本选项符合题意；
B．因为，则y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
C．当时，，则当时，，故本选项不符合题意；
D．它的图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：A.
【分析】
需根据一次函数的性质，依次判断函数与y轴交点、增减性、特定x值对应的y值范围及经过的象限.
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵是的直径，，
∴，
根据勾股定理：
解得，
故选：B．
【分析】
利用垂径定理，求出弦的一半长度，通过连接半构造直角三角形，最后利用勾股定理求解线段长度即可．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∵图象在一、三象限，
∴，
∴；
故选：D．
【分析】
根据反比例函数值的几何意义，得到，求解即可．
8．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断求解；
B、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
C、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
D、一组对边平行、另一组对边相等的四边形可以是平行四边形，也可以是等腰梯形．
10．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】由题意可知，AD是∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=2CD=6，∠B=∠BAD，
∴BD=AD=6.
故选B.
【分析】
确定AD为的角平分线，利用三角形内角和定理求出，进而推出与的关系，利用“30°所对直角边等于斜边一半”的性质即可解答.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可求解．
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，则其横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为；
故答案为：．
【分析】
根据平移法则：左减右加，上加下减即可求解．
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：用A、B、C、D分别表示橘子洲头、武陵源风景名胜区、岳阳楼、紫鹊界梯田，列表得，
A B C D
A
B
C
D
随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍，共有12种等可能的情况，其中被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的有6种，
∴被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是，
【分析】
根据题意列出表格求概率即可．
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据侧面积公式计算即可．
15．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴；
故答案为：3．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
16．【答案】E，I，G
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵每个区县的名次变化都不超过两位，
∴A区县只能从去年的2、3名而来，
但第2名的B区县维持去年名次不变，则A区县只能是去年的第3名上升到今年的第1名，
∴A区县是去年的第3名；B区县去年是第2名；
∵C区县是去年的1、2名下降而来，而第2名的B区县维持去年名次不变，
∴C区县是去年的第1名；
∵F区县今年名次下降，去年应该是第4，5名，而D区县维持去年的第4名不变，
∴F区县去年是第5名；
∵J区县维持去年的第10名不变；而H区县今年名次升了，
∴H区县一定是去年的第9名；
∴G区县一定是去年的第8名；
∴第6名是E区县，第7名是I区县；否则第6名的I区县降了3个名次，与已知矛盾；
综上，去年的名次从第1名到第10名分别为C，B，A，D，F，E，I，G，H，J，则去年第6、7、8名的区县分别为E，I，G；
故答案为：E，I，G．
【分析】
首先理解“变化情况”符号的含义并结合“名次不超过两位”这一限制条件，通过排除法和逻辑推导还原上一年度的排名顺序即可解答．
17．【答案】解：原式
．

【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
分别计算出绝对值，二次根式，特殊角的三角函数及负整数指数幂，最后相加减即可．
18．【答案】解：
，
当，时，．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项，最后代入计算即可．
19．【答案】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】过点D作DG⊥AH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，由矩形对边相等得GH=CD=1.6m，DG=CH，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得出四边形EFGH是矩形，由矩形的对边相等（四个角都是直角）得FG=HE，∠HGF=90°，则可证D、G、F三点共线，得到DF=DG+FG=CH+HE=182cm；设AG=xm，在Rt△ADG中，由∠ADG的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出DG=xm，在Rt△AFG中，由∠AFG的正切函数求出，然后根据DG+FG=182建立方程，求解得出x的值，从而得到AG的长，最后根据AH=AG+HG即可得到答案.
20．【答案】（1）40
（2）解：选乒乓球的人数为：（人）；
补全的条形统计图如下：

（3）72
（4）解：（人）；
答：全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数为275人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人）；
即抽取的总人数为40人；
故答案为：40；
（3）解：；
故答案为：；
【分析】
（1）根据选足球的人数及其占比，可求得抽取的学生数；
（2）用学生总数减去篮球、足球、排球、游泳的人数，得选乒乓球的人数，即可补充条形统计图；
（3）与选排球的百分比的积即可解答；
（4）全校学生数与乒乓球所占的百分比的积即可解答．
（1）解：（人）；
即抽取的总人数为40人；
故答案为：40；
（2）解：选乒乓球的人数为：（人）；
补全的条形统计图如下：
（3）解：；
故答案为：；
（4）解：（人）；
答：全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数为275人．
21．【答案】（1）证明 ：，
.
在与中，
（2）解：由（1）知，，
则.
，，
.
.
.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先根据角度的运算得到，再由SAS证，即可解答．
（2）根据全等三角形的性质：对应角相等得到，再由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据补角的定义计算，解答即可.
（1），
.
在与中，
（2）由（1）知，，
则.
，，
.
.
.
22．【答案】（1）解：设该商店销售的“哪吒”玩偶的单价分别是元/件，“太乙真人”玩偶的单价是元/件，根据题意，得
，
解得：，
答：“哪吒”玩偶的单价分别是60元/件，“太乙真人”玩偶的单价是75元/件.
（2）解：设公司应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件，根据题意，得：，
解得：，
则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该商店销售的“哪吒”玩偶的单价分别是元/件，“太乙真人”玩偶的单价是元/件，根据题意得等量关系“1个哪吒+2个太乙真人=210”，“3个哪吒+4个太乙真人=480”，据此列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设公司应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
（1）解：设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是元/件和元/件．
根据题意，得，
解得：，
答：“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件．
（2）解：设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．
根据题意，得：，
解得，
则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件．
23．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．

【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分判定四边形BDEF为平行四边形，再结合菱形性质证明对角线相等，从而判定为矩形．
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义证明为等腰三角形，求出DE的长，再利用勾股定理求出BD的长，最后计算矩形面积．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
24．【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
为的切线．
（2）解：，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
在中，．

（3）解：如图，作于，作于，
平分，，，
，，
设，则，
由（1）得，，
，
又，
，
，即，
，
同理可证得：，
，即，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
整理得：，
，，
，
，
，
，
，
的值是定值，定值是8．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可推出，再利用直角三角形的性质和切线的判定定理即可证明；
（2）先分析面积关系从而建立方程求解，然后再将面积关系转化为边长关系，再利用相似求出BD的长，最后根据三角函数求值即可；
（3）作于，作于，利用角平分线的性质定理得到，设，通过证明和得到，，利用线段的和差得到，在和中利用勾股定理得出，再证明得到，表示出，再计算的值即可得出结论．
（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
为的切线．
（2）解：，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
在中，．
（3）解：如图，作于，作于，
平分，，，
，，
设，则，
由（1）得，，
，
又，
，
，即，
，
同理可证得：，
，即，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
整理得：，
，，
，
，
，
，
，
的值是定值，定值是8．
25．【答案】（1）①；②√；③√
（2）解：设上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
而，
∴抛物线的顶点坐标为；
由题意得：，
整理得：；
∵，
∴，
∴，
∴；

（3）解：设M，N的横坐标分别为，则是的两个实数根，
∴，
∴；
设上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
设两点的横坐标分别，同理得；
∵，且，
∴，
即；
∴，
∴，
∴
；
当时，，，
当时，；当时，；
∴；
当时，，，，
当时，；当时，；
∴；
综上，当时，；当时，．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（1）解：①记上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则不是的“2倍位似图象”；
故：；
②上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则是的“2倍位似图象”；
故：√；
③上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则是的“2倍位似图象”；
故：√；
【分析】
（1）根据“k倍位似图象”定义，设C2上点p(x，y)，求变换前点Q（，)代入解析式，验证即可；
（2）先求出的解析式，确定其顶点坐标，代入解析式中即可求解；
（3）设M，N的横坐标分别为，利用根与系数的关系求得，根据已知等式求得a的值；再求出两抛物线的顶点坐标，求得，根据b的范围求得的范围．
（1）解：①记上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则不是的“2倍位似图象”；
故：；
②上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则是的“2倍位似图象”；
故：√；
③上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则是的“2倍位似图象”；
故：√；
（2）解：设上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
而，
∴抛物线的顶点坐标为；
由题意得：，
整理得：；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设M，N的横坐标分别为，则是的两个实数根，
∴，
∴；
设上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
设两点的横坐标分别，同理得；
∵，且，
∴，
即；
∴，
∴，
∴
；
当时，，，
当时，；当时，；
∴；
当时，，，，
当时，；当时，；
∴；
综上，当时，；当时，．
1 / 1湖南省长沙市博才实验中学联考2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．下面四个图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合．
3．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘及合并同类项，逐项判断即可求解．
4．2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4500万即45000000，
，
故选：D．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
5．对于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象与y轴交于点
B．y随x的增大而增大
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、四象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A．当时，，则它的图象与y轴交于点，故本选项符合题意；
B．因为，则y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
C．当时，，则当时，，故本选项不符合题意；
D．它的图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：A.
【分析】
需根据一次函数的性质，依次判断函数与y轴交点、增减性、特定x值对应的y值范围及经过的象限.
6．如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵是的直径，，
∴，
根据勾股定理：
解得，
故选：B．
【分析】
利用垂径定理，求出弦的一半长度，通过连接半构造直角三角形，最后利用勾股定理求解线段长度即可．
7．如图，点在双曲线上，轴于点，，则的值为（　　）
A．1.5 B．3 C．18 D．6
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴，
∵图象在一、三象限，
∴，
∴；
故选：D．
【分析】
根据反比例函数值的几何意义，得到，求解即可．
8．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（　　）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
9．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断求解；
B、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
C、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
D、一组对边平行、另一组对边相等的四边形可以是平行四边形，也可以是等腰梯形．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，若CD＝3，则BD的长是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】由题意可知，AD是∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=2CD=6，∠B=∠BAD，
∴BD=AD=6.
故选B.
【分析】
确定AD为的角平分线，利用三角形内角和定理求出，进而推出与的关系，利用“30°所对直角边等于斜边一半”的性质即可解答.
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在二次根式中，字母a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可求解．
12．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，则其横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为；
故答案为：．
【分析】
根据平移法则：左减右加，上加下减即可求解．
13．在一次湖南旅游景点推荐活动中，主持人从长沙、张家界、岳阳、娄底四个地市中，随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍．假设长沙的代表景点是橘子洲头，张家界的代表景点是武陵源风景名胜区，岳阳的代表景点是岳阳楼，娄底的代表景点是紫鹊界梯田．那么，被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：用A、B、C、D分别表示橘子洲头、武陵源风景名胜区、岳阳楼、紫鹊界梯田，列表得，
A B C D
A
B
C
D
随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍，共有12种等可能的情况，其中被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的有6种，
∴被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是，
【分析】
根据题意列出表格求概率即可．
14．圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据侧面积公式计算即可．
15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴；
故答案为：3．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
16．下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“”表示上升，“”表示下降，“—”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排在第，，名的区县依次是　 　．
名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
区县
变化情况 — — —
【答案】E，I，G
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵每个区县的名次变化都不超过两位，
∴A区县只能从去年的2、3名而来，
但第2名的B区县维持去年名次不变，则A区县只能是去年的第3名上升到今年的第1名，
∴A区县是去年的第3名；B区县去年是第2名；
∵C区县是去年的1、2名下降而来，而第2名的B区县维持去年名次不变，
∴C区县是去年的第1名；
∵F区县今年名次下降，去年应该是第4，5名，而D区县维持去年的第4名不变，
∴F区县去年是第5名；
∵J区县维持去年的第10名不变；而H区县今年名次升了，
∴H区县一定是去年的第9名；
∴G区县一定是去年的第8名；
∴第6名是E区县，第7名是I区县；否则第6名的I区县降了3个名次，与已知矛盾；
综上，去年的名次从第1名到第10名分别为C，B，A，D，F，E，I，G，H，J，则去年第6、7、8名的区县分别为E，I，G；
故答案为：E，I，G．
【分析】
首先理解“变化情况”符号的含义并结合“名次不超过两位”这一限制条件，通过排除法和逻辑推导还原上一年度的排名顺序即可解答．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
分别计算出绝对值，二次根式，特殊角的三角函数及负整数指数幂，最后相加减即可．
18．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项，最后代入计算即可．
19．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
【答案】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】过点D作DG⊥AH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，由矩形对边相等得GH=CD=1.6m，DG=CH，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得出四边形EFGH是矩形，由矩形的对边相等（四个角都是直角）得FG=HE，∠HGF=90°，则可证D、G、F三点共线，得到DF=DG+FG=CH+HE=182cm；设AG=xm，在Rt△ADG中，由∠ADG的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出DG=xm，在Rt△AFG中，由∠AFG的正切函数求出，然后根据DG+FG=182建立方程，求解得出x的值，从而得到AG的长，最后根据AH=AG+HG即可得到答案.
20．某校为提高学生体育运动能力，进一步增强学生的身体素质，现决定开设篮球、足球、排球、乒乓球、游泳5门运动课程．为了解学生需求，学校随机抽取部分学生进行调查（每人限选1门），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生一共有　 　人；
（2）请补全条形图；
（3）扇形统计图中，“排球”所在扇形圆心角的度数为　 　；
（4）若全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数．
【答案】（1）40
（2）解：选乒乓球的人数为：（人）；
补全的条形统计图如下：

（3）72
（4）解：（人）；
答：全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数为275人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人）；
即抽取的总人数为40人；
故答案为：40；
（3）解：；
故答案为：；
【分析】
（1）根据选足球的人数及其占比，可求得抽取的学生数；
（2）用学生总数减去篮球、足球、排球、游泳的人数，得选乒乓球的人数，即可补充条形统计图；
（3）与选排球的百分比的积即可解答；
（4）全校学生数与乒乓球所占的百分比的积即可解答．
（1）解：（人）；
即抽取的总人数为40人；
故答案为：40；
（2）解：选乒乓球的人数为：（人）；
补全的条形统计图如下：
（3）解：；
故答案为：；
（4）解：（人）；
答：全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数为275人．
21．如图，点D在上，，交于点F，，，．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明 ：，
.
在与中，
（2）解：由（1）知，，
则.
，，
.
.
.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先根据角度的运算得到，再由SAS证，即可解答．
（2）根据全等三角形的性质：对应角相等得到，再由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据补角的定义计算，解答即可.
（1），
.
在与中，
（2）由（1）知，，
则.
，，
.
.
.
22．电影《哪吒之魔童闹海》的热播，促进了文创市场的发展．经了解，某商店销售“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的数量和金额如下：
“哪吒”玩偶（个） “太乙真人”玩偶（个） 金额（元）
1 2 210
3 4 480
（1）该商店“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的销售单价分别是多少元/件？
（2）某公司为庆祝“六一儿童节”，准备到该商店购买“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶共100件，总费用不超过6500元，则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶多少件？
【答案】（1）解：设该商店销售的“哪吒”玩偶的单价分别是元/件，“太乙真人”玩偶的单价是元/件，根据题意，得
，
解得：，
答：“哪吒”玩偶的单价分别是60元/件，“太乙真人”玩偶的单价是75元/件.
（2）解：设公司应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件，根据题意，得：，
解得：，
则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该商店销售的“哪吒”玩偶的单价分别是元/件，“太乙真人”玩偶的单价是元/件，根据题意得等量关系“1个哪吒+2个太乙真人=210”，“3个哪吒+4个太乙真人=480”，据此列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设公司应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
（1）解：设该商店销售的“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是元/件和元/件．
根据题意，得，
解得：，
答：“哪吒”和“太乙真人”两种文创玩偶的单价分别是60元/件和75元/件．
（2）解：设公司至少应购买“哪吒”文创玩偶m件，则应购买“太乙真人”文创玩偶件．
根据题意，得：，
解得，
则公司至少应购买“哪吒”文创玩偶67件．
23．如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．

【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分判定四边形BDEF为平行四边形，再结合菱形性质证明对角线相等，从而判定为矩形．
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义证明为等腰三角形，求出DE的长，再利用勾股定理求出BD的长，最后计算矩形面积．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
24．如图，在中，以为直径的上半圆上有一动点（不与、重合），连接并延长至点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）记、、的面积为、、，若，求的值；
（3）已知，平分分别交、于点、，连并延长交于点，与的延长线交于点，的值是否为定值？如果是，定值是多少？如果不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
为的切线．
（2）解：，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
在中，．

（3）解：如图，作于，作于，
平分，，，
，，
设，则，
由（1）得，，
，
又，
，
，即，
，
同理可证得：，
，即，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
整理得：，
，，
，
，
，
，
，
的值是定值，定值是8．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可推出，再利用直角三角形的性质和切线的判定定理即可证明；
（2）先分析面积关系从而建立方程求解，然后再将面积关系转化为边长关系，再利用相似求出BD的长，最后根据三角函数求值即可；
（3）作于，作于，利用角平分线的性质定理得到，设，通过证明和得到，，利用线段的和差得到，在和中利用勾股定理得出，再证明得到，表示出，再计算的值即可得出结论．
（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
为的切线．
（2）解：，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
在中，．
（3）解：如图，作于，作于，
平分，，，
，，
设，则，
由（1）得，，
，
又，
，
，即，
，
同理可证得：，
，即，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
整理得：，
，，
，
，
，
，
，
的值是定值，定值是8．
25．将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍位似图象”．例如：对于，求它的“3倍位似图象”的解析式．求法：不妨记上的任意点，则变换之前的点在的图象上，则：，即，所以的解析式为．
（1）判断：下列三组函数图象，是否为的“2倍位似图象”？对的打“√”，错的打“×”；
①和（　　）
②和（　　）
③和（　　）
（2）已知二次函数（，为常数），是的“倍位似图象”．若的顶点落在图象上，求的值；
（3）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数），记的“倍位似图象”为抛物线．抛物线与轴交于，两点，顶点为点．抛物线与轴交于，两点，顶点为点，若，且，求线段的取值范围．
【答案】（1）①；②√；③√
（2）解：设上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
而，
∴抛物线的顶点坐标为；
由题意得：，
整理得：；
∵，
∴，
∴，
∴；

（3）解：设M，N的横坐标分别为，则是的两个实数根，
∴，
∴；
设上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
设两点的横坐标分别，同理得；
∵，且，
∴，
即；
∴，
∴，
∴
；
当时，，，
当时，；当时，；
∴；
当时，，，，
当时，；当时，；
∴；
综上，当时，；当时，．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（1）解：①记上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则不是的“2倍位似图象”；
故：；
②上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则是的“2倍位似图象”；
故：√；
③上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则是的“2倍位似图象”；
故：√；
【分析】
（1）根据“k倍位似图象”定义，设C2上点p(x，y)，求变换前点Q（，)代入解析式，验证即可；
（2）先求出的解析式，确定其顶点坐标，代入解析式中即可求解；
（3）设M，N的横坐标分别为，利用根与系数的关系求得，根据已知等式求得a的值；再求出两抛物线的顶点坐标，求得，根据b的范围求得的范围．
（1）解：①记上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则不是的“2倍位似图象”；
故：；
②上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则是的“2倍位似图象”；
故：√；
③上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
则是的“2倍位似图象”；
故：√；
（2）解：设上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
而，
∴抛物线的顶点坐标为；
由题意得：，
整理得：；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设M，N的横坐标分别为，则是的两个实数根，
∴，
∴；
设上的任意点，则变换之前的点在的图象上，
则有，整理得：；
设两点的横坐标分别，同理得；
∵，且，
∴，
即；
∴，
∴，
∴
；
当时，，，
当时，；当时，；
∴；
当时，，，，
当时，；当时，；
∴；
综上，当时，；当时，．
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