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浙江宁波六校联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科 试题
一、单选题
1．已知为实数，集合，若，则（ ）
A．0 B． C．2 D．3
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，点在一次函数的图象上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（ ）
2 3 4 5 6
0.67 0.56 0.47 0.39 0.31
A． B．0.08 C． D．0.09
5．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他至少得等待（ ）小时后（结果取整数）开车才不构成酒驾（参考数据：）.
A．7 B．8 C．9 D．10
7．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
B．样本相关系数越大，则线性相关性越强
C．随机变量X的方差，期望，则
D．若随机变量X服从正态分布，且，则
10．下列结论正确的是（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．不等式的解集
C．函数的定义域是
D．函数过定点
11．设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．当时，的取值范围为
C．为奇函数 D．方程有6个不同的实数解
三、填空题
12．若角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且，则__________．
13．已知，则______．
14．已知，，，则的最大值为____.
四、解答题
15．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)求的值；
(2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
16．已知函数.
(1)用定义证明函数在上是增函数；
(2)解不等式.
17．.
(1)求的值；
(2)求在上的值域；
(3)将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的最大值.
18．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求，，的值；
(2)求的值（用n表示）；
(3)求的数学期望.
19．已知函数，其中a为实数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若在上为严格增函数，求实数a的取值范围；
(3)对于，若存在两个不相等的实数使得，求的取值范围．（结果用a表示）
参考答案
1．A
【详解】.
故选：A.
2．A
【详解】由，解得或，
因为为或的真子集，
则“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
3．C
【详解】∵点在一次函数的图象上，
∴，即，
∵，∴根据基本不等式有，
∴，当且仅当时取“”，
∴的最大值为.
故选：C
4．C
【详解】根据题意可得，，
由，可得，
解得：.
5．B
【详解】由题意得，为的两个根，
故，即，
开口向下，AC选项错误，
对称轴为，D选项错误.
所以B选项正确.
故选：B
6．B
【详解】设他至少得等待小时后开车才不构成酒驾，
依题意可知，即，
所以，即，所以可得，
即，因此，
又因为，所以他至少得等待8小时后开车才不构成酒驾.
故选：B
7．D
【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则，
由全概率公式可得，
所以.
故选：D
8．B
【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下：
设，则有8个不同的零点，
需有两个不同零点，不妨设
同时分别对应4个零点，
若，
即，
则，且，
即，解之得.
若，则仍需，此时，不符合题意，舍去；
综上：.
故选：B
9．ACD
【详解】1，2，4，5，6，12，18，20该组数据共8个数据，又，
因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，所以A正确；
样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，所以B错误；
因为，由方差，期望，可得，所以C正确；
因为且，所以，
所以，所以D正确.
10．BD
【详解】对A，“，”的否定是“，”，所以A错误；
对B，，所以，整理得且，解得，所以解集为，所以B正确；
对C，函数的定义域是，所以C错误；
对D，令，则 ，与的取值无关，所以函数过定点，所以D正确.
11．BCD
【详解】依题意，是偶函数，则有，
则的图象关于直线对称，故，
又，即，因此有，
即，于是有，
所以函数的周期，
对于A，，故A错误；
对于B，由的图象关于直线对称，且当时，，
作图如下，故B正确；
对于C，，
所以为奇函数，故C正确；
对于D，在同一平面作出函数的图象与的图象，如图，
可得方程有6个不同的实数解，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】角终边与单位圆交于点，
，，
，
．
故答案为：．
13．112
【详解】因为，
二项式展开式的通项公式为，
所以二项式展开式的第3项为，
所以由题意.
故答案为：112.
14．/
【详解】令，，所以，
因为，所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
结合，解得，即时，，所以的最大值为.
15．(1)
(2)分布列见解析，1
【详解】（1）依题意可得，解得；
（2）由（1）可得高度在的频率为
，
所以，，
，，
，
所以的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以.
16．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）任取，设，
，
又，，所以，
故，即，
函数在上是增函数.
（2）因为，所以为偶函数，
则由，可得，
即，即，解得.
17．(1)；
(2)；
(3)1.
【详解】（1）；
（2）
.
时，，在取得最大值，在取得最小值，
即在上的值域为；
（3）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数，
则，化简得.
令，因为，令，所以，
在单调递减，所以，，即，
则，所以的最大值为1.
18．(1)，，
(2)
(3)1
【详解】（1）根据题意可得恰有0个黑球的概率为，
根据古典概型可得，，
所以.
（2）由题意得，
进一步整理可以得到下式：
又
故可以确定是以首项为，公比为的等比数列，
所以
；
（3）由题意可得①，
②，
①-②，得，
因为，所以.
所以，的概率分布列为：
0 1 2
，
所以的数学期望为定值1.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，当时，，当时，取得最小值，，当时，在上单调递减，则，综上：的最小值为
（2），当时，当时，，不是严格增函数，不合题意，舍去；
当时，此时对称轴，且分段函数在处函数值相同，故满足在上为严格增函数，符合题意；
当时，此时对称轴且，故在区间上单调递减，不合题意，舍去；
当时，且，此时在上为严格增函数，符合要求.
综上：实数a的取值范围为.
（3）当时，，即在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，且端点处函数值相等，令，解得：，，故要想存在两个不相等的实数使得，则，，且当时，，，此时，当时，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值， 为，故取值范围为，当时，在单调递增，在上单调递减，故在取得最大值，为，故取值范围是，
当时，，此时，即，从而，其中，当时，，综上：的取值范围为.

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