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广东省汕头市潮南区2025年中考三模数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在下列4个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．据国家电影局统计：截至2025年3月14日《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿，将150亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．主视图和左视图
4．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（　　）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C．且 D．且
8．如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（　　）
A． B． C． D．
9．如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数为(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．函数中自变量x的取值范围是　 　．
12．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为　 　．
13．如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为1，则k的值为　 　．
14．如图，在中，， ，，则图中阴影部分的面积为 　 　．
15．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．有一个两位数，它的十位上的数字是个位上的数字的一半，且个位上的数字x满足条件则这个两位数是多少？
17．先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
18．如图，中，点为的中点．
（1）过点作；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在线段上任意找一点（不与、重合），连接并延长，交于点连接，．求证：四边形是平行四边形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩如下表所示：
应聘者 专业知识 讲课 答辩
甲 70 85 80
乙 90 85 75
丙 80 90 85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．
①小厉参加实验D考试的概率是　 　；
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
20．利用以下素材解决问题．
商品利润问题
素材1 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现： ①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系为：．
素材2 ②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示．
任务1 经计算得，当时，y关于t的函数关系式为______；则当时，y关于t的函数关系式为______．
任务2 请预测未来40天中哪一天的单价是26元？
任务3 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
21．如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点．点是第一象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如左图，连接，当时，求点的坐标；
（3）如右图，过点作于点，求的最大值．
23．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【尝试初探】
（1）如图①，在四边形中，若，，，求的长；
【深入探究】
（2）如图②，在四边形中，若，，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较；零指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，，，，
∴，
∴最小的数是：．
故答案为：A．
【分析】根据，，，，再结合实数的大小比较方法即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿．
故选：C．
【分析】科学记数法表示的一般形式为，其中，是正整数.
3．【答案】C
【知识点】平移的性质；简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：C．
【分析】根据平移的性质，结合组合体的三视图即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【分析】根据积的乘方，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】延长交于点，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠BKE、∠CBK的度数，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠KBE的度数，然后由角的和差即可求解．
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB=AB=0.8，
在Rt△OCB中，sin∠OBC=，
∴OC=OB sin∠OBC=0.8sin20°，
故答案为：B．
【分析】根据线段中点可得OB=AB=0.8，再根据正弦定义即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴且，
故选：C．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
故答案为：B ．
【分析】连接，根据童虎所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两锐角互余解题．
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，
由图②得，，，
当点到达点时，的面积为，
，
∴，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据函数图象，结合点的运动得，，当点到达点时，的面积为，根据三角形面积公式列式可计算出即可得答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∵与轴的交点在，之间包含端点，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵顶点坐标 ，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为n，
∴对于任意实数m，，
∴，故③正确；
∵顶点坐标，且开口向下
∴直线与抛物线没有交点，
∴关于的方程没有实数根，故④错误；
故选：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴，解得且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式，分式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和比外角和多，
∴多边形的内角和为，
设多边形的边数为，
则，
解得：．
故答案为：8．
【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和与外角和建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段的中点
【解析】【解答】解：如图，
过点作轴于，
，
∵点B是的中点，
∴
在和中，
，
，
，
，
，
根据反比例函数的几何意义得：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
过点作轴于，则等于，根据点B是的中点，得相等，根据对顶角相等得，即可证明全等，即可求得，进一步得的面积等于的面积，都为1，再根据反比例函数的的几何意义得，求出即可.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接、、，设交于点M，交于点N，
，
是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
在与中，
，
，
，即
，
，
．
故答案为：。
【分析】连接OC、OD、OE，设OA交CD于点M，OB交DE于点N，根据圆周角的逆定理，可推出 CE是是的直径；根据，，根据三线合一的性质，可得，进而可得，又根据，易证，进而得到，即，代入数据即可求解。
15．【答案】
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：取线段的中点E，连接，
∵，矩形，，，
∴，
∴，
∵，
∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大．
∴点D到点O的最大距离，
故答案为：．
【分析】取线段的中点E，连接，根据矩形性质可得，根据勾股定理看可得DE，根据边之间的关系可得，当点D，点E，点O共线时，的长度最大，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵两位数的十位上的数字是个位上的数字（x）的一半，
∴x是偶数，
∴，
∴十位数为2，
∴这个两位数为24．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】需先解不等式组求出个位数x的取值范围，再根据十位数字使个位数字一半的条件确定x的值，最后组成两位数即可．
17．【答案】解：
，
解不等式得：，
∵a为正整数，
∴，，，
∵要使分式有意义，
∴，
∵当时，，
∴，
∴把代入得：原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再解不等式，求出正整数解，结合分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
18．【答案】解：（1）根据尺规作图作平行线的方法作如下：
（2）如图，
∵
∴
∵点为的中点
∴
在和中
∴≌（ASA）
∴
∵
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图作平行线的方法，结合“内错角相等，两直线平行”作即可.
（2）根据平行，得相等，根据为的中点得相等，即可证明
、全等，即可得相等，即可证明四边形是平行四边形．
19．【答案】解：（1）根据题意得：（分）
（分）
（分）
∵乙的平均成绩最高，
∴应该录取乙.
（2）①
②列表如下：
　 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
由表得：所有等可能的情况有16种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，
∴小王、小张抽到同一个实验的概率为=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（2）①根据题意得小厉参加实验考试有 A、B、C、D四个实验 可选择，有4种情况，其中选择Ｄ的有1种，则：小厉参加实验D考试的概率是.
故答案为：.
【分析】(1)由加权平均数公式分别求出甲、乙、丙的平均数，比较大小即可得答案.
（2）①根据题意得小厉参加实验考试有 A、B、C、D四个实验 可选择，有4种情况，其中选择Ｄ的有1种，根据概率公式计算即可.
②根据题目情境列出所有结果的表格，根据表格得所有等可能的情况有16种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，代入概率公式计算即可.
20．【答案】任务1：，；
任务2：①当时，令，
解得：，
②当时，令，
解得：，
∴未来40天中第4天和第28天的单价是26元；
任务3：设前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，
①由题意得：，
∴当时，取最大值450，
即当时，第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
②由题意得：，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，随t的增大而减小，
∴当时，取最大值405，
即当时，第21天的日销售利润最大，最大日销售利润是405元；
综上，第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：任务1：当时，设y关于t的函数关系式为，
代入得：，
解得：，
∴y关于t的函数关系式为；
当时，设y关于t的函数关系式为，
代入，得：，
解得：，
∴y关于t的函数关系式为；
故答案为：，；
【分析】任务1：当时，设y关于t的函数关系式为，根据待定系数法将点代入解析式即可；当时，设y关于t的函数关系式为，根据待定系数法将点代入即可.
任务2：分别令，，解方程即可求出答案.
任务3：设前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线．
（2）解：如图，
连接
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
∴ y关于x的函数解析式为.
【知识点】函数解析式；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据是的直径，得到等于即可得加等于，根据等于即，等量代换得，即可得，进一步即可证明是的切线．
(2)连接根据相等，为公共角，即可证明相似，根据相似三角形的性质得，根据条件进一步得相等，进一步得相等，即可证明相似，即可得，设，则，可得，求出，进一步得即可.
（1）证明：如图所示
∵是的直径，
∴，
∴，
∵由题意得：，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线解析式为：
（2）过点作，则，过点作于点，
当，则，
则，则
，则，
又，则，
则
设，则，
，
解得：舍去或
当时，
（3）过点作轴于点，交于点，作于点，
设，，
，
设直线的表达式为，代入，
，
解得：
直线的表达式为，
设点，则点
则
又
，当时，有最大值，
的最大值为
【知识点】解直角三角形—边角关系；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用点A、B的坐标可知设函数解析式为交点式，由此可求出二次函数解析式.
（2）过点作，则，过点作于点，，则，同时可得到点C的坐标，利用解直角三角形可得到PF与CF的比值；设，利用函数解析式可表示出PF、CF的长，据此可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可得到点P的坐标
（3）过点作轴于点，交于点，作于点，设，得出，利用勾股定理求出BC的长，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，设点，则点，进而分别表示出，根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线解析式为：；
（2）过点作，则，过点作于点，
当，则，
则，则
，则，
又，则，
则
设，则，
，
解得：舍去或
当时，
；
（3）过点作轴于点，交于点，作于点，
设，，
，
设直线的表达式为，代入，
，
解得：
直线的表达式为，
设点，则点
则
又
，当时，有最大值，
的最大值为．
23．【答案】解：（1）∵，，；
∴；
∴，
∴，
∴．
（2）如图②，取的中点O，连接、，
∵，
∴，，
∴，，
∴，；
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
（3）如图③，过点A作，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过点A作交于点Q，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M，
∴，，
∴，，
∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为，
∴的最小值为，
∴最小值为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（2）取的中点O，连接、，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，则，，根据角之间的关系可得=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点A作，根据角之间的关系可得∠DCB，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得∠ACD=∠ACB，根据三角形内角和定理可得∠CAF，∠CAD，过点A作交于点Q，根据角之间的关系可得∠AQD，∠QAC，根据含30°角的直角三角形性质可得DQ，根据勾股定理可得AQ，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得CD，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M，则，，根据边之间的关系可得DP+PH，根据正弦定义可得DN，根据边之间的关系可得，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为，即可求出答案.
1 / 1广东省汕头市潮南区2025年中考三模数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在下列4个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较；零指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，，，，
∴，
∴最小的数是：．
故答案为：A．
【分析】根据，，，，再结合实数的大小比较方法即可得答案.
2．据国家电影局统计：截至2025年3月14日《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿，将150亿用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿．
故选：C．
【分析】科学记数法表示的一般形式为，其中，是正整数.
3．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．主视图和左视图
【答案】C
【知识点】平移的性质；简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：C．
【分析】根据平移的性质，结合组合体的三视图即可求出答案.
4．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【分析】根据积的乘方，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法逐项进行判断即可求出答案.
5．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】延长交于点，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠BKE、∠CBK的度数，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠KBE的度数，然后由角的和差即可求解．
6．如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB=AB=0.8，
在Rt△OCB中，sin∠OBC=，
∴OC=OB sin∠OBC=0.8sin20°，
故答案为：B．
【分析】根据线段中点可得OB=AB=0.8，再根据正弦定义即可求出答案.
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴且，
故选：C．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
8．如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
故答案为：B ．
【分析】连接，根据童虎所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两锐角互余解题．
9．如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，
由图②得，，，
当点到达点时，的面积为，
，
∴，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据函数图象，结合点的运动得，，当点到达点时，的面积为，根据三角形面积公式列式可计算出即可得答案.
10．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数为(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∵与轴的交点在，之间包含端点，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵顶点坐标 ，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为n，
∴对于任意实数m，，
∴，故③正确；
∵顶点坐标，且开口向下
∴直线与抛物线没有交点，
∴关于的方程没有实数根，故④错误；
故选：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．函数中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数有意义，
∴，解得且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式，分式有意义的条件即可求出答案.
12．若一个多边形的内角和比外角和多，则这个多边形的边数为　 　．
【答案】8
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和比外角和多，
∴多边形的内角和为，
设多边形的边数为，
则，
解得：．
故答案为：8．
【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和与外角和建立方程，解方程即可求出答案.
13．如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为1，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段的中点
【解析】【解答】解：如图，
过点作轴于，
，
∵点B是的中点，
∴
在和中，
，
，
，
，
，
根据反比例函数的几何意义得：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
过点作轴于，则等于，根据点B是的中点，得相等，根据对顶角相等得，即可证明全等，即可求得，进一步得的面积等于的面积，都为1，再根据反比例函数的的几何意义得，求出即可.
14．如图，在中，， ，，则图中阴影部分的面积为 　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接、、，设交于点M，交于点N，
，
是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
在与中，
，
，
，即
，
，
．
故答案为：。
【分析】连接OC、OD、OE，设OA交CD于点M，OB交DE于点N，根据圆周角的逆定理，可推出 CE是是的直径；根据，，根据三线合一的性质，可得，进而可得，又根据，易证，进而得到，即，代入数据即可求解。
15．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：取线段的中点E，连接，
∵，矩形，，，
∴，
∴，
∵，
∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大．
∴点D到点O的最大距离，
故答案为：．
【分析】取线段的中点E，连接，根据矩形性质可得，根据勾股定理看可得DE，根据边之间的关系可得，当点D，点E，点O共线时，的长度最大，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．有一个两位数，它的十位上的数字是个位上的数字的一半，且个位上的数字x满足条件则这个两位数是多少？
【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵两位数的十位上的数字是个位上的数字（x）的一半，
∴x是偶数，
∴，
∴十位数为2，
∴这个两位数为24．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】需先解不等式组求出个位数x的取值范围，再根据十位数字使个位数字一半的条件确定x的值，最后组成两位数即可．
17．先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
【答案】解：
，
解不等式得：，
∵a为正整数，
∴，，，
∵要使分式有意义，
∴，
∵当时，，
∴，
∴把代入得：原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再解不等式，求出正整数解，结合分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
18．如图，中，点为的中点．
（1）过点作；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．）
（2）在线段上任意找一点（不与、重合），连接并延长，交于点连接，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】解：（1）根据尺规作图作平行线的方法作如下：
（2）如图，
∵
∴
∵点为的中点
∴
在和中
∴≌（ASA）
∴
∵
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图作平行线的方法，结合“内错角相等，两直线平行”作即可.
（2）根据平行，得相等，根据为的中点得相等，即可证明
、全等，即可得相等，即可证明四边形是平行四边形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩如下表所示：
应聘者 专业知识 讲课 答辩
甲 70 85 80
乙 90 85 75
丙 80 90 85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？
（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．
①小厉参加实验D考试的概率是　 　；
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
【答案】解：（1）根据题意得：（分）
（分）
（分）
∵乙的平均成绩最高，
∴应该录取乙.
（2）①
②列表如下：
　 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
由表得：所有等可能的情况有16种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，
∴小王、小张抽到同一个实验的概率为=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（2）①根据题意得小厉参加实验考试有 A、B、C、D四个实验 可选择，有4种情况，其中选择Ｄ的有1种，则：小厉参加实验D考试的概率是.
故答案为：.
【分析】(1)由加权平均数公式分别求出甲、乙、丙的平均数，比较大小即可得答案.
（2）①根据题意得小厉参加实验考试有 A、B、C、D四个实验 可选择，有4种情况，其中选择Ｄ的有1种，根据概率公式计算即可.
②根据题目情境列出所有结果的表格，根据表格得所有等可能的情况有16种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，代入概率公式计算即可.
20．利用以下素材解决问题．
商品利润问题
素材1 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现： ①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系为：．
素材2 ②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示．
任务1 经计算得，当时，y关于t的函数关系式为______；则当时，y关于t的函数关系式为______．
任务2 请预测未来40天中哪一天的单价是26元？
任务3 请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【答案】任务1：，；
任务2：①当时，令，
解得：，
②当时，令，
解得：，
∴未来40天中第4天和第28天的单价是26元；
任务3：设前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，
①由题意得：，
∴当时，取最大值450，
即当时，第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
②由题意得：，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，随t的增大而减小，
∴当时，取最大值405，
即当时，第21天的日销售利润最大，最大日销售利润是405元；
综上，第18天的日销售利润最大，最大日销售利润是450元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：任务1：当时，设y关于t的函数关系式为，
代入得：，
解得：，
∴y关于t的函数关系式为；
当时，设y关于t的函数关系式为，
代入，得：，
解得：，
∴y关于t的函数关系式为；
故答案为：，；
【分析】任务1：当时，设y关于t的函数关系式为，根据待定系数法将点代入解析式即可；当时，设y关于t的函数关系式为，根据待定系数法将点代入即可.
任务2：分别令，，解方程即可求出答案.
任务3：设前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
21．如图，是的直径，点D为上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式．
【答案】（1）证明：如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线．
（2）解：如图，
连接
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
∴ y关于x的函数解析式为.
【知识点】函数解析式；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据是的直径，得到等于即可得加等于，根据等于即，等量代换得，即可得，进一步即可证明是的切线．
(2)连接根据相等，为公共角，即可证明相似，根据相似三角形的性质得，根据条件进一步得相等，进一步得相等，即可证明相似，即可得，设，则，可得，求出，进一步得即可.
（1）证明：如图所示
∵是的直径，
∴，
∴，
∵由题意得：，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点．点是第一象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如左图，连接，当时，求点的坐标；
（3）如右图，过点作于点，求的最大值．
【答案】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线解析式为：
（2）过点作，则，过点作于点，
当，则，
则，则
，则，
又，则，
则
设，则，
，
解得：舍去或
当时，
（3）过点作轴于点，交于点，作于点，
设，，
，
设直线的表达式为，代入，
，
解得：
直线的表达式为，
设点，则点
则
又
，当时，有最大值，
的最大值为
【知识点】解直角三角形—边角关系；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用点A、B的坐标可知设函数解析式为交点式，由此可求出二次函数解析式.
（2）过点作，则，过点作于点，，则，同时可得到点C的坐标，利用解直角三角形可得到PF与CF的比值；设，利用函数解析式可表示出PF、CF的长，据此可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可得到点P的坐标
（3）过点作轴于点，交于点，作于点，设，得出，利用勾股定理求出BC的长，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，设点，则点，进而分别表示出，根据二次函数的性质即可求解．
（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线解析式为：；
（2）过点作，则，过点作于点，
当，则，
则，则
，则，
又，则，
则
设，则，
，
解得：舍去或
当时，
；
（3）过点作轴于点，交于点，作于点，
设，，
，
设直线的表达式为，代入，
，
解得：
直线的表达式为，
设点，则点
则
又
，当时，有最大值，
的最大值为．
23．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【尝试初探】
（1）如图①，在四边形中，若，，，求的长；
【深入探究】
（2）如图②，在四边形中，若，，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值．
【答案】解：（1）∵，，；
∴；
∴，
∴，
∴．
（2）如图②，取的中点O，连接、，
∵，
∴，，
∴，，
∴，；
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
（3）如图③，过点A作，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过点A作交于点Q，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M，
∴，，
∴，，
∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为，
∴的最小值为，
∴最小值为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（2）取的中点O，连接、，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，则，，根据角之间的关系可得=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点A作，根据角之间的关系可得∠DCB，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得∠ACD=∠ACB，根据三角形内角和定理可得∠CAF，∠CAD，过点A作交于点Q，根据角之间的关系可得∠AQD，∠QAC，根据含30°角的直角三角形性质可得DQ，根据勾股定理可得AQ，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得CD，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M，则，，根据边之间的关系可得DP+PH，根据正弦定义可得DN，根据边之间的关系可得，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为，即可求出答案.
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