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第三章一元一次不等式（组）单元检测培优卷湘教版2025—2026学年七年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．若，以下一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．当时，对于的每一个值，的值都大于的值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价100元，出售时标价为140元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．七点五折 D．八折
4．一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B． C． D．
5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，且，则的最小整数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ）
A．13 B．16 C．19 D．22
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________．
10．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全．
11．关于的不等式组无解，则的取值范围是___________．
12．若关于x的不等式组．
（1）解集为，则a的值为_____________．
（2）不等式组的正整数解之和为6，则a的取值范围为____________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出解集的非负整数解．
14．为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
A型 B型
价格（万元/台） x y
处理污水量（吨/月） 240 200
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
(1)求x、y的值；
(2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案．
15．已知关于x，y的方程组的解满足以下条件：
(1)若，求m的值．
(2)若y为负数，求m的取值范围．
16．在实验中学春季阅读月“书香校园”活动中，初一学部计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，购买书柜的预算为4400元．调查发现，若购买甲种书柜1个，乙种书柜1个，共需资金360元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜5个，共需资金1480元．
(1)求甲、乙两种书柜的单价分别是多少元；
(2)若购买的甲种书柜不超过10个，在购买预算全部用完的情况下，购买乙种书柜至少有多少个？
(3)若初一学部计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，在不超出购买预算的情况下，请问有几种购买方案供学部选择？并说明哪种方案花费最少．
17．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”．
(1)在不等式：，，中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）；
(2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围；
(3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
18．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”．
(1)方程与不等式的“梦想解”是______；
(2)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式______的“梦想解”；（填序号）
(3)若关于x，y的二元一次方程组与有“梦想解”，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．C
4．A
5．D
6．C
7．B
8．B
二、填空题
9．
10．64
11．
12． 6
三、解答题
13．【详解】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
所以解集的非负整数解为．
14．【详解】（1）解：依题意得，解得；
（2）解：设购买m台A型设备，则购买台B型设备，
依题意，解得．
∵m为非负整数，
∴m可以为0，1，2，
∴该治污公司有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备；方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；方案3：购买2台A型设备，8台B型设备．
15．【详解】（1）解：
①②得，
两边同除以得，
解得；
（2）解：
①②得：
两边同除以得
为负数
解得．
16．【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜单价为元，
由题意得：，
由第一个方程得，
代入第二个方程得，
去括号，得：，
合并，得：，
解得：，
将代入，得：，
答：甲种书柜单价为160元，乙种书柜单价为200元．
（2）设购买甲种书柜m个，购买乙种书柜个，m，n均为非负整数，
由题意得：，
化简，得：，
变形，得：，
，
要使最小，需取最大值，
将代入，得：，
答：购买乙种书柜至少有14个．
（3）解：设购买甲种书柜a个，则购买乙种书柜个，为非负整数，
由题意得：，
解第一个不等式，得：，
解第二个不等式，得：，
，
不等式组的解集为，
为整数，
的取值为10，11，12，对应共有种购买方案，
当时，，花费为元，
当时，，花费为元，
当时，，花费为元，
∵ ，
∴ 当时花费最少，
答：共有种购买方案，购买甲种书柜12个、乙种书柜12个时花费最少．
17．【详解】（1）解：解不等式，得，与有公共整数解2，是的“云不等式”；
不等式与有公共整数解2，是的“云不等式”；
解不等式，得，与没有公共整数解，不是的“云不等式”；
（2）解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵关于的不等式不是的“云不等式”，
∴与没有公共整数解，
分两种情况：
当与没有公共解时，
可得，
解得；
当与有公共解，但公共解里没有整数时，
可得
解得，
综上可得，的取值范围为；
（3）解：当时，即时，不等式即的解集为，
不等式的解集为，
∵关于的不等式与不等式互为“云不等式”，
∴，即，此时两个不等式至少存在整数解1，
∴．
18．【详解】（1）解：由方程得：，
当时，，
∴方程与不等式的“梦想解”是．
（2）解：解方程得，
解不等式得，故方程与不等式①没有梦想解；
解不等式得，故方程与不等式②没有梦想解；
解不等式得，故方程与不等式③的梦想解为﹒
（3）解：解二元一次方程组，
得，
∴，
∵方程组和不等式有“梦想解”，
∴，
∴﹒
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