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2026年广州市中考命题信息卷数学试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）有理数的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用倒数的定义求解即可．
【解答】解：的倒数是．
故选：D．
2．（3分）下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥
【分析】根据主视图和左视图为矩形可得这个几何体是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形可得这个几何体是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．
C．（2ab2）3＝6a3b5 D．
【分析】根据合并同类项法则、算术平方根、幂的乘方与积的乘方法则、单项式除以单项式法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道AB∥CD，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点E在AB上，G在CD上，且EF⊥FG，若∠AEF＝25°，则∠CGF的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】过F作FM∥AB，推出FM∥CD，得到∠EFM＝∠AEF＝25°，∠MFG＝∠CGF，推出∠AEF+∠CGF＝∠EFG＝90°，即可求解．
【解答】解：过F作FM∥AB，
∵AB∥CD，
∴FM∥CD，
∴∠EFM＝∠AEF＝25°，∠MFG＝∠CGF，
∴∠EFG＝∠EFM+∠MFG＝∠AEF+∠CGF＝25°+∠CGF，
∵EF⊥FG，
∴25°+∠CGF＝∠EFG＝90°，
∴∠CGF＝65°．
故选：C．
5．（3分）如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（　　）
A．发 B．现 C．之 D．美
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形或“Z”字的首尾端即为相对面，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以“数”与“美”是相对面，
故选：D．
6．（3分）某款AI助手的用户有10万人，随机抽取其中的200人对这款AI助手使用满意度进行评分（满分100分，每人评出一个分值），得到如图所示的频数分布直方图（评分x（分）分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），下列说法正确的是（　　）
A．本次调查是全面调查
B．a＝53
C．若用扇形统计图表示调查结果，则50≤x＜60这组所在扇形的圆心角的度数为57.6°
D．若所有用户都参与评分，则评分为70分及以上的用户约有6.65万人
【分析】根据全面调查与抽样调查的概念可判断A；根据抽取了200人减去其它评分的人数即可判断B；根据即可计算C；先计算出70分及以上的用户占抽取人数的百分比，然后用总用户数乘以该百分比即可计算D．
【解答】解：根据全面调查与抽样调查，求条形统计图的相关数据，扇形统计图的圆心角，由样本所占百分比估计总体的数量的知识点，逐项分析判断如下：
A、根据“某款AI助手的用户有10万人，随机抽取其中的200人对这款AI助手使用满意度进行评分”，可知本次调查是抽样调查，故该选项错误；
B、由200﹣12﹣32﹣24﹣68﹣12＝52，可知a＝52，故该选项错误；
C、由评分50≤x＜60的人数为32人，可知这组所在扇形的圆心角的度数为，故该选项正确；
D、由评分为70分及以上的用户有52+68+12＝132人，可知若所有用户都参与评分，则评分为70分及以上的用户约有（万人），故该选项错误；
故选：C．
7．（3分）如图，B，C两点在数轴上，点C所对应的数是﹣1，若AC的长为3个单位长度，AB的长为7个单位长度，则点B对应的数可能是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先理解题意得AC＝3，AB＝7，再结合三角形的三边关系得4＜BC＜10，根据每个选项的具体数值进行分析，即可作答．
【解答】解：B，C两点在数轴上，点C所对应的数是﹣1，
由三角形的三边关系可得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB，
∴7﹣3＜BC＜3+7，
∴4＜BC＜10，
∵点C所对应的数是﹣1，
当点B对应的数是4，BC＝4﹣（﹣1）＝5，满足4＜BC＜10；
当点B对应的数是3，BC＝3﹣（﹣1）＝4，不满足4＜BC＜10；
当点B对应的数是2，BC＝2﹣（﹣1）＝3，不满足4＜BC＜10；
当点B对应的数是1，BC＝1﹣（﹣1）＝2，不满足4＜BC＜10．
故选：A．
8．（3分）如图，△ABC的三边中点分别为D，E，F，随机地往△ABC内投一粒米，落在四边形DECF区域内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用阴影部分与三角形的面积比即可．
【解答】解：设三角形面积为1，
∵△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，
∴阴影部分的面积为，即米粒落到阴影区域内的概率是，
故选：D．
9．（3分）如图，⊙O的直径AB＝4，C为中点，点D在上，，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是（　　）
A．2 B．2+2 C．3 D．4+4
【分析】作直径CC′，连接DC′交AB于P，连接PC，OD，判定C的对称点是C′，得到此时△PCD的周长最小，判定△COD是等边三角形，由勾股定理求出CD＝2，由C和C′关于AB对称，得到PC′＝PC，因此△PCD周长的最小值＝CD+DC′＝2+2．
【解答】解：作直径CC′，连接DC′交AB于P，连接PC，OD，
∵C为中点，
∴CC′⊥AB，
∴C的对称点是C′，
∴此时△PCD的周长最小，
∵，
∴∠COD＝90°×（1）＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OCAB4＝2，
∵CC′是圆的直径，
∴∠CDC′＝90°，
∴C'D2，
∵C和C′关于AB对称，
∴PC′＝PC，
∴△PCD的周长＝CD+PC+PD＝CD+PC′+PD＝CD+DC′＝2+2，
∴△PCD周长的最小值是2+2．
故选：B．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣5ax﹣1（a＞0）经过点A（3t，y1），B（t，y2），若A，B两点均在直线y＝﹣4a﹣1的下方，且y1＜y2，则t的取值范围是（　　）
A．1＜t＜4 B． C．0＜t＜1 D．
【分析】根据题意，抛物线开口向上，点A、B在直线y＝﹣4a﹣1下方，且y1＜y2．通过代入点坐标建立不等式，求解t的范围．
【解答】解：由条件可知a（9t2﹣15t）﹣1＜﹣4a﹣1，
解得．
∵点B（t，y2）在直线下方，
∴a（t2﹣5t）﹣1＜﹣4a﹣1，
解得1＜t＜4．
∵y1＜y2：
∴a（9t2﹣15t）﹣1＜a（t2﹣5t）﹣1，
解得．
∴．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）请写出一个大于零小于2的无理数　（答案不唯一）　 （写出一个即可）；
【分析】根据无理数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵，
∴，
写出的无理数是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
12．（3分）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为　6.18cm ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：根据黄金分割的定义可得：AC≈0.618AB＝6.18（cm），
故答案为：6.18cm．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点M（m，﹣1）和N（n，1）都在函数的图象上，则m+n的值是　0　 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵点（m，﹣1）和（n，1）在函数的图象上，
∴（﹣1）×m＝n×1＝k即m＝﹣n，
∴m+n＝0．
故答案为：0．
14．（3分）若|b﹣1|0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0　 ．
【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．
【解答】解：∵|b﹣1|0，
∴b＝1，a＝4，
∴原方程为kx2+4x+1＝0，
∵该一元二次方程有实数根，
∴Δ＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4，
∵方程kx2+ax+b＝0是一元二次方程，
∴k≠0，
k的取值范围是：k≤4且k≠0，
故答案为：k≤4且k≠0．
15．（3分）如图1，塔式太阳能电站把地面上多个平面镜（定日镜）反射的太阳光汇聚到吸热塔塔顶，从而利用太阳能发电．如图2，下午某时刻，一条与水平方向成80°角的太阳光线，以20°的入射角射向定日镜上的点C处，点C到吸热塔AB（垂直于水平面）的距离为220米，定日镜支撑柱的高CD＝3米，则估计吸热塔AB的高为 　187.8　 米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【分析】根据题意，结合图形，在Rt△ACM中，利用三角函数求出AM的长，结合已知条件中MB的长，得到结果．
【解答】解：如图2，过点C作CM⊥AB于M点，
依题意，∠FCE＝∠ECA＝20°，∠FCM＝80°，MC＝220米，
∴∠ACM＝∠FCM﹣∠FCE﹣∠ECA＝40°，
∴在Rt△ACM中，AM＝MC tan∠ACM＝220×tan40°≈184.8（米），
∵CD＝3米，
∴MB＝3米，
∴AB＝AM+MB＝184.8+3＝187.8（米），
故答案为：187.8．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　1.2　 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　3≤S≤4　 ．
【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得DEAM＝1.2；设AM＝x，从而DEx，由DE∥AM，且DEAM，又FG∥AM，FGAM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4x），故四边形DEFG面积S＝4xx2，进而利用二次函数的性质可得S的取值范围．
【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，
∴DE是三角形ABM的中位线．
∴DEAM＝1.2．
如图，
设AM＝x，
∴DEAMx．
由题意得，DE∥AM，且DEAM，
又FG∥AM，FGAM，
∴DE∥FG，DE＝FG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形DEFG是矩形．
由题意，GF到AC的距离是x，BC8，
∴DE边上的高为（4x）．
∴四边形DEFG面积S＝2xx2，（x﹣4）2+4．
∵2.4＜x≤6，
∴3≤S≤4．
故答案为：1.2；3≤S≤4．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程：．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x＝6x﹣15，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x（2x﹣5）≠0，
故原方程的解为x＝3．
18．（4分）（1）计算：．
（2）教材改编题改编自人教版八下P47如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，求证：△ABE≌△CDF．
【分析】（1）先计算立方根，乘方，绝对值，再计算加减即可；
（2）由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，进而由中点可得BE＝DF，从而根据“SAS”证明△ABE≌△CDF．
【解答】（1）解：
．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．
∵E，F 分别是BC，AD的中点，
∴，，
∴BE＝DF．
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，再将m的值代入求出答案．
【解答】解：，
，
当 时，
原式 ．
20．（6分）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示：
选手 内容 能力 效果
甲 98 84 88
乙 88 85 97
（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．
【分析】（1）根据算术平均数计算即可；
（2）根据加权平均数公式解答即可；
（3）将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各人的测试成绩（答案不唯一）．
【解答】解：（1）甲的平均成绩为：90（分），
乙甲的平均成绩为：90（分），
所以不能以此确定两人的名次；
（2）甲的平均成绩为：90.8（分），
乙的平均成绩为：89.8（分），
∵90.8＞89.8，
∴甲排第一，乙排第二；
（3）将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，因为能力比内容更重要（答案不唯一）．
21．（8分）在Rt△ABC中，AB＝4，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC放在平面直角坐标系中（如图），使点C与坐标原点O重合，A，B分别在y轴和x轴的正半轴上．
（1）分别求点A，B的坐标；
（2）将△ABC向左平移，使平移距离等于线段BC的长度，此时点A刚好落在反比例函数的图象上，求k的值．
【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义求出OA、OB的长，故可得出A、B两点的坐标；
（2）先求出平移后A点坐标，再根据此点在反比例函数y的图象上求出k的值即可．
【解答】解：（1）∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴OA＝ABsin30°＝2，OB＝ABcos30°＝2，
∴A（0，2），B（2，0）；
（2）∵BC＝2，平移距离等于线段BC的长度，
∴平移距离为2，
∴平移后A的坐标为（﹣2，2），
∴k＝﹣22＝﹣4．
22．（10分）配餐公司为某学校中学生提供营养早餐，每份早餐质量为410克，包括一个鸡蛋、一份牛奶和100克谷物食品，蛋白质总含量占早餐总质量的5%．研读《中国居民膳食指南》后，学校建议每天蛋白质的摄入量男生为75克，女生为60克，且早餐蛋白质的摄入量占全天蛋白质摄入量的25%～30%．下表是鸡蛋、牛奶和谷物食品中蛋白质的含量．
鸡蛋（每100克） 牛奶（每100克） 谷物食品（每100克）
蛋白质/克 15 3 4
（1）求配餐公司提供的每份营养早餐中鸡蛋和牛奶的质量；
（2）配餐公司提供的营养早餐中蛋白质的含量是否在学校对男生、女生建议的蛋白质摄入量范围内？
【分析】（1）设鸡蛋质量为x克，牛奶质量为（310﹣x）克，依据早餐中各部分蛋白质含量之和等于早餐总质量的5%，列方程求解即可；
（2）先算出早餐中蛋白质含量，再分别算出男生、女生早餐蛋白质摄入量的建议范围，将早餐蛋白质含量与之比较，判断是否在范围内．
【解答】解：（1）设每份营养早餐中鸡蛋的质量为x克，则牛奶的质量为（310﹣x）克，
∵每份早餐质量为410克，包括一个鸡蛋、一份牛奶和100克谷物食品，蛋白质总含量占早餐总质量的5%，
∴
解得x＝60，
则310﹣x＝250．
答：每份营养早餐中鸡蛋和牛奶的质量分别为60克，250 克；
（2）每份营养早餐中蛋白质的含量：
5%×410＝20.5（克）．
25%×75＝18.75（克），
30%×75＝22.5（克），
25%×60＝15（克），
30%×60＝18（克）．
∵18.75＜20.5＜22.5，
20.5＞18，
∴配餐公司提供的营养早餐中，男生蛋白质的摄入量在学校建议的范围内，女生蛋白质的摄入量超出了学校建议的范围．
23．（10分）综合与实践
学行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动．
勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E，点A的对应点为F，延长EF交BC于点G．
（1）任务1：初步探究．
求证：GB＝GE．
创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E，点A的对应点恰好落在BD的中点O处．
（2）任务2：猜想与验证．
猜想AE，DE之间的数量关系，并加以证明．
开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片ABCD（AB＝6，∠A＝60°）沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E，点A的对应点为F，直线BF与直线AD交于点M，直线EF与直线BC交于点N．
（3）任务3：求两线段的比值．过点B作BP⊥AD于点P，若EP＝2，请直接写出的值．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠AEB＝∠EBG，根据折叠得出∠AEB＝∠GEB，等量代换得出∠EBG＝∠GEB，等边对等角即可得证；
（2）取ED的中点F，连接OF，则OF是△BED的中位线，得出EF＝EO，即可得证；
（3）过点E作EG⊥BC于点G，证明△EFM∽△NFB得出，设FN＝a，则BN＝EF+FN＝5+a，进而得出，在Rt△EGN中，EN2＝EG2+GN2，根据勾股定理求得a的长，进而即可求解；点E在点P左侧，同理解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG，
∵平行四边形纸片ABCD 沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E，点A的对应点为F，延长EF交BC于点G，
∴∠AEB＝∠GEB，
∴∠EBG＝∠GEB，
∴GB＝GE；
（2）；理由如下：
如图2，取ED的中点F，连接OF，
∵O是BD的中点，
∴OF是△BED的中位线，
∴OF∥BE，
∴∠AEB＝∠EFO，∠BEO＝∠EOF，
由折叠的性质得：∠BEO＝∠AEB，AE＝EO，
∴∠EOF＝∠EFO，
∴EF＝EO，
∴；
（3）解：的值为或；理由如下：
如图3，过点E作EG⊥BC于点G，
同理（1）可得EN＝BN，
∵AB＝6，∠A＝60°，BP⊥AD，
∴AP＝3，
∵PE＝2，
∴AE＝EF＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，则EM∥BN，
∴△EFM∽△NFB，
∴，
设FN＝a，则BN＝EF+FN＝5+a，
∴，
∴，
∵BP⊥AD，EG⊥BC，AD∥BC，
∴∠PBG＝∠BGE＝∠BPE＝90°，
∴四边形PBGE是矩形，
∴BG＝PE＝2，
由勾股定理得：，
∴GN＝5+a﹣2＝3+a，
在Rt△EGN中，由勾股定理得：EN2＝EG2+GN2，
∴，
解得：，
∴；
当点E在点P左侧，且 EP＝2 时，如图（4），
由折叠可得，BF＝AB＝6，∠AEB＝∠FEB，EF＝AE＝3﹣2＝1，
又∵∠AEN＝∠FEM，
∴∠NEB＝∠MEB．
同（1）可得 NE＝NB．过点B作BQ⊥NF于点Q，
∵∠F＝∠A＝60°，
∴FQBF＝3，
设NB＝NE＝b，则NQ＝b+1﹣3＝b﹣2，
由勾股定理，得NQ2+BQ2＝NB2，
∴b2，
解得：b，
∴FN＝b+1，
∵AD∥BC，
∴△FEM∽△FNB，
∴，
综上所述，的值为或．
24．（12分）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为OH＝1.6m，把绿化带截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度DE＝2m，竖直高度EF＝1m，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为y1，y2．上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，求上边缘抛物线y1的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程OC；
②下边缘抛物线y2可以看作由上边缘抛物线y1向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标；
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），利用上述信息直接写出OD的取值范围．
【分析】（1）①由题意可知上边缘抛物线y1的顶点A的坐标为（2，2），利用待定系数法求抛物线y1的解析式，并求出y1与x轴的交点C的坐标，即可得OC；
②令y1＝1.6，求出对应的两个x的值，即可求出为抛物线y1向左平移的距离，根据平移的规律与点C的坐标可求出点B的坐标；
（2）令y1＝1，求出对应的x的值为，当矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内时，OE最大值为2，又OD＝OE﹣DE，DE＝2，故OD最大值为，当点D与B重合时，OD最小，故OD的取值范围为．
【解答】解：（1）①根据题意得，上边缘抛物线y1的最高点A的坐标为（2，2），且经过点H（0，1.6），
设上边缘抛物线y1的解析式为，（a≠0），
∴4a+2＝1.6，
解得a＝﹣0.1，
∴上边缘抛物线y1的函数解析式为，
令y1＝0得：﹣0.1（x﹣2）2+2＝0，
解得：，
∴点C坐标为（2+2，0），
∴洒水车喷出水的最大射程OC为（2+2）m；
②令y1＝1.6得：﹣0.1（x﹣2）2+2＝1.6，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴根据题意可得，上边缘抛物线y1向左平移4个单位得到下边缘抛物线y2，
∴上边缘抛物线y1与x轴交点C向左平移4个单位到下边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B处，
∴点B坐标为（，0）；
（2）由题意可得，当点D与B重合时，OD最小，最小值为，
∵OD＝OE﹣DE，DE＝2m，
当点F在抛物线y1上时，OE最大，
∵矩形DEFG的竖直高度EF＝1m，
∴令y1＝1得：﹣0.1（x﹣2）2+2＝1，
解得：，
∴OE最大值为2，
∴OD最大值为，
∴OD的取值范围为．
25．（12分）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法是：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（1）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　　 ；
（2）如图3，已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　　 ；
（3）如图4，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB、BC上作出点M、N，使△PMN的周长最小，求出这个最小值（用含m、α的代数式表示）．
【分析】（1）如图2，只需利用等边三角形的性质及勾股定理就可求出CE的长．
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．连接PB、OA、OB′，如图3，根据条件可求出的度数为90°，从而得到∠AOB′的度数也为90°，然后运用勾股定理求出AB′的长，就可解决问题．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．由对称性可得：BE＝BF＝BP＝m，∠EBF＝2∠ABC＝2α．根据等腰三角形的性质可得：，EH＝FH．然后在Rt△BEH中运用三角函数就可求出EH，进而求出EF，就可解决问题．
【解答】解：（1）如图2，
∵△ABC是等边三角形，点E为AB中点，AB＝2，
∴AC＝AB＝2，AEAB＝1，CE⊥AB．
∴CE．
故答案为：．
（2）过点B作直径CD的对称点B′，由圆的对称性可知：点B′必在⊙O上．
连接AB′，与CD的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
连接PB、OA、OB′，如图3，
∵点B与点B′关于CD的对称，
∴．
∵点B是的中点，的度数为60°，
∴的度数为30°．
∴的度数为30°．
∴的度数为90°．
∴∠AOB′＝90°．
∵OA＝OB′CD2＝1，
∴AB′．
故答案为：．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN，如图4，
则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．
连接BE、BF，过B作BH⊥EF于H．
∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，
∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝m．
∴∠EBF＝2∠ABC＝2α．
∵BE＝BF，BH⊥EF，
∴，EH＝FH．
在Rt△BEH中，
∵，
∴EH＝BE sinα＝m sinα．
∴EF＝2m sinα．
∴△PMN周长的最小值为2m sinα．中小学教育资源及组卷应用平台
2026年广州市中考命题信息卷数学试题
(满分：120分 时间：120分钟)
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）有理数的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．
C．（2ab2）3＝6a3b5 D．
4．（3分）如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道AB∥CD，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点E在AB上，G在CD上，且EF⊥FG，若∠AEF＝25°，则∠CGF的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
5．（3分）如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（　　）
A．发 B．现 C．之 D．美
6．（3分）某款AI助手的用户有10万人，随机抽取其中的200人对这款AI助手使用满意度进行评分（满分100分，每人评出一个分值），得到如图所示的频数分布直方图（评分x（分）分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），下列说法正确的是（　　）
A．本次调查是全面调查
B．a＝53
C．若用扇形统计图表示调查结果，则50≤x＜60这组所在扇形的圆心角的度数为57.6°
D．若所有用户都参与评分，则评分为70分及以上的用户约有6.65万人
7．（3分）如图，B，C两点在数轴上，点C所对应的数是﹣1，若AC的长为3个单位长度，AB的长为7个单位长度，则点B对应的数可能是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）如图，△ABC的三边中点分别为D，E，F，随机地往△ABC内投一粒米，落在四边形DECF区域内的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，⊙O的直径AB＝4，C为中点，点D在上，，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是（　　）
A．2 B．2+2 C．3 D．4+4
10．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣5ax﹣1（a＞0）经过点A（3t，y1），B（t，y2），若A，B两点均在直线y＝﹣4a﹣1的下方，且y1＜y2，则t的取值范围是（　　）
A．1＜t＜4 B． C．0＜t＜1 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）请写出一个大于零小于2的无理数　 　 （写出一个即可）；
12．（3分）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为　 　 ．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点M（m，﹣1）和N（n，1）都在函数的图象上，则m+n的值是　 　 ．
14．（3分）若|b﹣1|0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是　 　 ．
15．（3分）如图1，塔式太阳能电站把地面上多个平面镜（定日镜）反射的太阳光汇聚到吸热塔塔顶，从而利用太阳能发电．如图2，下午某时刻，一条与水平方向成80°角的太阳光线，以20°的入射角射向定日镜上的点C处，点C到吸热塔AB（垂直于水平面）的距离为220米，定日镜支撑柱的高CD＝3米，则估计吸热塔AB的高为 　 　 米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　 　 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程：．
18．（4分）（1）计算：．
（2）教材改编题改编自人教版八下P47如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，求证：△ABE≌△CDF．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示：
选手 内容 能力 效果
甲 98 84 88
乙 88 85 97
（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．
21．（8分）在Rt△ABC中，AB＝4，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC放在平面直角坐标系中（如图），使点C与坐标原点O重合，A，B分别在y轴和x轴的正半轴上．
（1）分别求点A，B的坐标；
（2）将△ABC向左平移，使平移距离等于线段BC的长度，此时点A刚好落在反比例函数的图象上，求k的值．
22．（10分）配餐公司为某学校中学生提供营养早餐，每份早餐质量为410克，包括一个鸡蛋、一份牛奶和100克谷物食品，蛋白质总含量占早餐总质量的5%．研读《中国居民膳食指南》后，学校建议每天蛋白质的摄入量男生为75克，女生为60克，且早餐蛋白质的摄入量占全天蛋白质摄入量的25%～30%．下表是鸡蛋、牛奶和谷物食品中蛋白质的含量．
鸡蛋（每100克） 牛奶（每100克） 谷物食品（每100克）
蛋白质/克 15 3 4
（1）求配餐公司提供的每份营养早餐中鸡蛋和牛奶的质量；
（2）配餐公司提供的营养早餐中蛋白质的含量是否在学校对男生、女生建议的蛋白质摄入量范围内？
23．（10分）综合与实践
学行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动．
勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E，点A的对应点为F，延长EF交BC于点G．
（1）任务1：初步探究．
求证：GB＝GE．
创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E，点A的对应点恰好落在BD的中点O处．
（2）任务2：猜想与验证．
猜想AE，DE之间的数量关系，并加以证明．
开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片ABCD（AB＝6，∠A＝60°）沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E，点A的对应点为F，直线BF与直线AD交于点M，直线EF与直线BC交于点N．
（3）任务3：求两线段的比值．过点B作BP⊥AD于点P，若EP＝2，请直接写出的值．
24．（12分）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为OH＝1.6m，把绿化带截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度DE＝2m，竖直高度EF＝1m，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为y1，y2．上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，求上边缘抛物线y1的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程OC；
②下边缘抛物线y2可以看作由上边缘抛物线y1向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标；
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），利用上述信息直接写出OD的取值范围．
25．（12分）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法是：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
（1）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　 　 ；
（2）如图3，已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　 　 ；
（3）如图4，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB、BC上作出点M、N，使△PMN的周长最小，求出这个最小值（用含m、α的代数式表示）．

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