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浙教版2024 七年级下册
第五章 分式 单元测试·基础卷
试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 分式有意义的条件
2 0.85 分式方程和差倍分问题；由样本所占百分比估计总体的数量
3 0.85 已知分式恒等式，确定分子或分母；加减消元法
4 0.85 异分母分式加减法
5 0.85 分式除法
6 0.85 将分式的分子分母各项系数化为整数
7 0.85 利用分式的基本性质判断分式值的变化
8 0.65 分式方程无解问题
9 0.85 分式方程的其它实际问题
10 0.65 列分式方程
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 列分式方程；分式方程的工程问题
12 0.85 分式的求值
13 0.65 分式加减乘除混合运算；通过对完全平方公式变形求值
14 0.65 有理数的乘方运算；数字类规律探索；利用算术平方根的非负性解题；分式有意义的条件
15 0.65 分式除法
16 0.65 分式方程无解问题
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 分式除法；含乘方的分式乘除混合运算
18 0.65 分式化简求值；分式有意义的条件
19 0.65 行程问题(一元一次方程的应用)；解分式方程（化为一元一次）；分式方程的行程问题
20 0.85 分式加减乘除混合运算；数字类规律探索
21 0.65 分式加减的实际应用；整式加减的应用
22 0.65 负整数指数幂；有理数的乘方运算；含乘方的分式乘除混合运算
23 0.65 分式方程的其它实际问题；其他问题(二元一次方程组的应用)
24 0.4 求使分式值为整数时未知数的整数值；分式加减乘除混合运算；分式化简求值2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第五章 分式 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．可以取任意实数
2．为了估计池塘里有多少条鱼，先从湖里捕捞条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞条鱼，发现有2条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
3．若，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．x
6．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的
8．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．某县政府在创建文明城市的进程中，着力美化城市环境，改造绿化涡河北岸，建设绿地公园，计划种植树木30万棵．由于青年志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划多，结果提前5天完成任务．设实际每天植树万棵，可列方程为___________．
12．若，则分式的值为________．
13．已知，，则_____．
14．已知，则的个位数字是_____．
15．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______．
16．若关于的方程无解，则的值为_____．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，再从，，，中选一个合适的整数作为的值代入求值．
19．甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
(1)求乙骑自行车的速度；
(2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？
20．观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第6个等式∶ ；
(2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明．
21．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．
(1)已知，，请你用作差法比较A与B的大小．
(2)甲、乙两人两次都同时到某米店买米，甲每次买米，乙每次买米100元，由于市场因素，虽然这两次米店售出同样的米，但单价却不同．若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算．问甲、乙两人谁的购粮方式更合算？为什么？
22．（1）你发现了吗？，．由上述计算，我们发现 （填“>”“<”或“=”）．
（2）比较与的大小．
（3）我们可以发现： （，填“>”“<”或“=”）．
（4）利用以上的发现计算：．
23．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍．
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 m 120
长方形木板 300
(1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值．
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？
(3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板．
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）．
②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？
24．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”；
(2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．
①_______（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______；
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C A B C B A
1．B
本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
2．C
本题考查了分式方程的应用，样本估计总体，解题关键是列出分式方程求解．
根据标记鱼的比例在样本中的比例等于在总体中的比例建立分式方程求解．
解：设池塘中鱼的总数为条，
可得方程：，
解得：，
因此，池塘中鱼的总数估计为条，
故选：C．
3．D
本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则．
先根据分式的通分求出，再求解即可．
解：，
，
，
解得．
故选：．
4．B
本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算的法则，通过通分将整式与分式化为同分母分式，再进行分子的运算与化简．
解：
故选B．
5．C
除法转化为乘法，约分即可求解．
解：，
故选：C．
本题考查了分式的除法，掌握分式除法法则是解题的关键．
6．A
本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解．
解：，
故选：A．
7．B
本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可．
解：∵代数式中的a与b都扩大2倍，
∴，
∴这个代数式的值扩大2倍．
故选：B．
8．C
分式方程无解，说明该分式方程存在增根，增根是使分式分母为0的x的值.，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值．
解：原方程为，
∵方程无解则存在增根，
令，得增根.
将原方程两边同乘去分母，得，
整理得，
∵方程无解，
∴为增根，代入得，
∴．
9．B
本题主要考查了分式方程的应用，根据题意，绫布和罗布总长丈（即尺），设绫布有尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均收入文，因此每尺绫布价格为文，每尺罗布价格为文，根据“每尺绫布和罗布共值120文”的条件，即可列方程．
解：设绫布有尺，则罗布有尺，
根据题意可得：
故选：B．
10．A
根据“实际总阅读时间原计划总阅读时间多花的10天”这一等量关系，分别表示出各段时间即可列出方程．
解：∵设总页数为，原计划每天读页，
∴原计划总阅读时间为天．
∵实际先读页，每天读页，剩余页数阅读量降为原来的一半，
∴读前页的时间为天，剩余页数为，后续每天阅读量为，读完剩余页数的时间为天．
∵ 实际比原计划多花天读完，
∴可得方程．
因此A选项正确．
11．
本题考查了分式方程在工程类问题中的应用，掌握根据实际与计划的效率关系表示出原计划效率，再通过天数差的等量关系列方程是解题的关键．
根据题意，实际每天植树比原计划多，设实际每天植树万棵，可得原计划每天植树，再根据总树木万棵和提前天完成任务，列出分式方程．
解：设实际每天植树万棵，则原计划每天植树为，原计划天数为，实际天数为，
由提前天可得方程．
故答案为：．
12．
首先得到，然后代入求解即可．
解：∵
∴
∴．
13．2
利用完全平方公式，将两边平方后，结合已知的的值，建立关于的方程求解．
解：对两边同时平方，根据完全平方公式得，
展开得，
将代入上式得，
移项得，
解得．
14．4
先根据算术平方根的非负性，列出关于的方程，解方程求出，再根据分式的分母不能为，确定的值，从而求出，最后再根据乘方的意义，求出答案即可．
解：由题意可知：，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴，
，，，，，…，
∴个位数字分别为2，4，8，6循环，
又∵，
∴的个位数字为4．
15．
根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可．
解：根据新运算定义可得：，
16．3
先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解：∵，
∴，
两边同时乘以，得，
整理得，
∵关于的方程无解，
∴方程有增根，增根为，
把代入，
得，
解得．
17．(1)
(2)
本题考查分式的乘除运算，掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键．
（1）先计算分式的乘方，然后将分式的除法转化为分式乘法，最后进行约分化简；
（2）先将分式分子、分母进行因式分解，同时将除法转化为乘法，最后进行约分化简；
（1）解：
；
（2）
．
18．，当时，原式
先根据分式的加法法则进行计算，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，分子分母能因式分解的因式分解并进行约分，最后算减法，然后根据分式有意义的条件求出可取的值，代入计算即可．
解：原式
，
要使分式有意义，即且，
不能为，，，
取，
当时，原式．
19．(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟
(2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等
本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系．
（1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），根据题意列方程即可得到结论；
（2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所需时间（分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，然后分类讨论列方程求解即可．
（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），
根据题意得
解得：，
经检验是方程的根，且符合题意
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟
甲步行600米所需时间（分钟）
设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，
当时，甲与学校的距离为米，
设
解得（不合题意，舍去）
当时，甲与学校的距离为（米）
设
解得
∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等．
20．(1)
(2)第n个等式为，见解析
本题考查了数字类规律探索、分式的混合运算，正确得出规律是解此题的关键．
（1）观察各等式即可得出第个等式；
（2）观察各等式即可得出第个等式，将左边式子括号内先通分，再约分进行化简，右边式子进行通分化简，比较左右两边是否相等即可得解．
（1）解：观察各等式可得，第个等式为；
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
证明：左边，
右边，
∵左边右边，
∴原等式成立．
21．(1)
(2)乙的购买粮食更划算，理由见详解
本题考查了整式加减运算的应用，分式加减的运算的应用；
（1）作差，即可求解；
（2）设第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元，则有甲两次大米的平均价格为元，乙两次大米的平均价格为，化简后，作差法比较大小，即可求解；
会用作差法比较代数式大小是解题的关键．
（1）解：
，
，
；
（2）解：乙的购买粮食更划算；
理由如下：
设第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元，由题意得
甲两次大米的平均价格为元，
乙两次大米的平均价格为
元，
，
，
故乙的购买粮食更划算．
22．（1）=；（2）；（3）=；（4）
本题考查了负整数指数幂的性质和幂的运算法则，掌握将分数的负指数幂转化为其倒数的正指数幂是解题的关键．
（1）分别计算两个幂的值，再比较大小，通过负指数幂的性质，发现二者相等；
（2）利用负指数幂的性质，将负指数幂转化为正指数幂，直接得出二者相等的结论；
（3）通过前两小问的具体例子，归纳出一般规律：一个分数的负指数幂等于其倒数的正指数幂；
（4）先利用负指数幂的性质将转化为，再结合积的乘方逆运算，对进行化简，最后完成计算．
解：（1）∵，
∴，应填“=”．
（2）∵，，
∴．
（3）根据(1)(2)的发现，我们可以总结出规律： (其中)
（4）原式
．
23．(1)，，；
(2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
(3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块．
本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键．
（1）根据题意列出分式方程进行求解即可；
（2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可；
（3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可；
②根据题意，进行求解即可．
（1）解：填写表格如下：
采购清单
单价（元/块） 数量（块） 总价（元）
正方形木板 120
长方形木板 300
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：；
（2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块．
设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，
根据题意，得，
解得，
答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个；
（3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，
得，
，
因为都是非负整数，
所以或．
答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；
②所需正方形木板块，长方形块．
所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块，
所以废旧木板共块．
答：这批废旧木板共70块．
24．(1)是，
(2)①，②
本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键．
（1）先计算，再求出结果即可；
（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案．
解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下：
∵，
∴ ．
∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”；
（2）①∵，，
∴，
∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数，
∴或，
∴（舍去）．

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