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2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第五章 分式 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各式：，，，，其中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
3．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（）
A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多
C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多
5．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大倍
C．不变 D．缩小到原来的
7．下列约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某公路进行施工，为尽量减少施工对市民出行造成的影响，实际施工时工作效率比原计划提高了，结果提前4个月完成这一任务．设原计划个月完成这一任务，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（ ）
A． B． C． D．
10．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）．
姓名 张小亮 得分 ？ 判断题（每小题20分，共100分 （1）当时，分式有意义． （√） （2）当时，分式的值为0． （√） （3）． （×） （4）． （√） （5）． （√）
A．40分 B．60分 C．80分 D．100分
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．为常数，如果，那么_____，
12．分式有意义的条件是______．
13．计算的结果为___________．
14．在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元．
15．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____．
16．阅读材料：
方程的解为，
方程的解为x=2，
方程的解为，
请写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解是_____________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．化简
(1)；
(2)．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．某超市分别用元购进A、B两种糖果，因为A糖果的进价是B糖果的1.5倍，所以进回的A糖果的质量比B糖果少．
(1)如果超市将这两种糖果的销售利润定为，则两种糖果每千克售价分别是多少元？
(2)如果将这两种糖果混合在一起出售，总盈利不变（即仍为），那么混合后的糖果单价应定为多元？
20．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
21．从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为．
(1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？
(2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？
22．定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
(1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出C关于D的“雅中值”．
(2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的的值之和．
23．阅读下列材料，解决问题：
在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式．
例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加．
(1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式．
(2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值．
24．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3．
(1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由．
(2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式．
(3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A D A D B C C
1．A
根据分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式，注意是常数不是字母．
解：根据分式的定义逐一判断：
∵是常数，∴的分母不含字母，是整式；
的分母是常数，不含字母，是整式；
的分母是常数，不含字母，是整式；
中含有分母为字母的分式，因此该式是分式，
综上，只有个分式，故选：A．
2．A
本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解．
解：∵方程的分母，
∴两边同乘，得，
化简得，
移项得，
当，即时，方程无解，
∴，
当时，，
又∵分母不为零，需且，
检验：恒成立，
检验：，解得，即，
∴且，
故选：A．
3．D
本题考查了分式有意义的条件及分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．当分母不为零时，分式有意义；当当分母为零时，分式无意义；当分母不为零且分子为零时，分式的值为零．当时，根据分母为零可求得，当时，根据分母不为零，分子为零，可求得，由此即可求的答案．
当时，分式无意义，
，
解得，
当时，分式的值为0，
，
解得，
．
故选：D．
4．A
分别计算走两条路花费的时间，再作差比较即可得到结果．
解：∵第一条路全长，平路骑车速度为，
∴走第一条路花费的时间为；
∵第二条路有的上坡路，的下坡路，上坡速度为，下坡速度为，
∴走第二条路花费的时间为，
∵，
∴走第一条路花费时间比第二条少．
5．D
本题考查分式的乘方运算，运用指数运算法则：及幂的运算性质是解题的关键．
逐个选项运用分式乘方法则和幂的运算性质计算，判断结果是否正确，注意符号和指数的运算．
解：A、∵，∴A错误，不符合题意；
B、∵， ∴B错误，不符合题意；
C、∵，∴C错误，不符合题意；
D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意．
故选：D．
6．A
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．
先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答．
解：如果把分式中的和都扩大倍可得：
，
那么分式的值缩小到原来的，
故选：A．
7．D
本题考查了分式的约分，掌握分式约分的前提是分子分母有公因式，需先因式分解，注意符号变化和恒等变形是解题的关键．
逐个分析选项，判断分子分母是否有公因式，能否正确约分，注意符号变化和因式分解的正确性．
解：A、分母中与不是同类项，不能约去，A错误，不符合题意；
B、， 原式，不等于，B错误，不符合题意；
C、，不能约分，C错误，不符合题意；
D、分母，，D正确，符合题意．
故选：D．
8．B
本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是找到等量关系式．
根据工作效率提高和提前个月完成，利用工作总量相等列方程．
解：设工作总量为，原计划个月完成，则原工作效率为．
∵ 实际工作效率比原计划提高了，
∴ 实际工作效率为.
又∵ 实际提前个月完成，
∴ 实际完成时间为个月，
∴ 实际工作效率也为．
因此，有方程，
即．
故选：B．
9．C
本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可．
解：撕坏的一角中“”为．
．
故选：C．
10．C
先判断出张小亮答对了几道题，再求出他的得分即可．
解：（1）当时，分式有意义．正确；
（2）当时，分式的值为0．正确；
（3），错误；
（4）当时，，错误；
（5），正确；
∴张小亮答对了4道题，
∴他的得分应是：分；
故选C．
本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的性质以及分式的运算．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
11．6
本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解．
先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值．
解：，
∴。
∴，
，
解得
故，
故答案为：．
12．
根据分式分母不为0求解即可．
解：分式有意义，
，
解得：．
13．
本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键．
先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式．
解：原式
．
故答案为：．
14．60
设第一批鲜花礼盒每盒的进价为元，则第二批每盒进价为元，根据第二批购进盒数是第一批的倍，列分式方程求解检验即可.
解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒元，则第二批每盒进价为元.
第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒.
∵第二批购进的鲜花盒数是第一批购进鲜花盒数的倍，
∴，
交叉相乘化简得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故第一批鲜花礼盒的进价是每盒元.
15．或27
本题考查了代数式求值，求使分式值为整数时未知数的整数值,掌握知识点是解题的关键．
化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解．
解：由题意得
，
均为非零整数，
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
当时，即，，此时；
故答案为：或．
16．;x=n
归纳总结得到一般性规律，写出第n个方程，表示出方程的解即可求出本题答案.
根据题意，能反映上述方程一般规律的方程为，
第一个方程n＝1，＝1；
第二个方程n＝2，＝2；
第三个方程n＝3，＝3；
根据规律得第n个方程＝n.
故＝n.
故答案为；.
本题考查了分式方程的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
17．(1)；
(2)．
（）先算单项式乘以多项式，再算多项式除以单项式即可；
（）先算括号里面的分式减法，再算外面的分式除法即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
（1）解：原方程可化为，
方程两边同乘以最简公分母，得，
展开，得．
解方程，得．
检验：当时，，
所以，原方程的根是．
（2）解：原方程可化为．
方程两边同乘以最简公分母，得，
展开，得．
解方程，得．
检验：当时，，
所以，原方程的根是．
19．(1)甲糖果的售价为元千克，乙糖果的售价为元千克．
(2)混合后的糖果单价应定为元千克
本题主要考查的是分式方程的应用，找出题目的等量关系是解题的关键．
（1）设B糖果的进价为元，A糖果的进价为元，然后依据进回的A糖果的重量比B糖果少列方程求出两种糖果的价格再依据售价进价利润求解即可；
（2）用总售价糖果的总重量即可．
（1）解：设B糖果的进价为元，A糖果的进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验是方程的解且符合题意
．
所以A糖果的进价为元千克，B糖果的进价为千克．
甲糖果的售价元千克，乙糖果的售价为元千克．
答：甲糖果的售价为元千克，乙糖果的售价为元千克．
（2）解：合后的糖果单价（元．
答：混合后的糖果单价应定为元千克．
20．(1)
(2)，证明见解析
本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键．
（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；
（2）通过观察推导出规律，最后通过化简即可证明．
（1）解：根据前面4个等式的规律，得
第5个等式为：；
故答案为：．
（2）第个等式为：；
证明：等式左边
，
等式右边，
左边＝右边．
21．(1)
(2)走第一条路花费时间少，少
本题考查了速度，路程，时间之间的关系，异分母分式的加减运算的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握速度，路程，时间之间的关系．
（1）分别表示出上坡路的时间和下坡路的时间，然后相加即可；
（2）表示出走第一条路所用时间，然后作差求解即可．
（1）解：走第二条路所用时间：；
（2）解：走第一条路所用时间：
∴
∴走第一条路花费时间少，少．
22．(1)不是的“雅中式”，理由见解析
(2)，所有符合条件的的值之和为
本题主要考查了分式的减法，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．
（1）直接计算的值，根据“雅中式”的定义即可得；
（2）根据题意可得，计算分式的减法即可得，代入可得，然后根据的值均为整数求解即可得．
（1）解：不是的“雅中式”，理由如下：
∵，，
∴
，
∴不是的“雅中式”．
（2）解：由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又∵为整数，且“雅中式”的值也为整数，
∴的所有可能的值为，
∴的所有可能的值为（舍去），
∴所有符合条件的的值之和为．
23．(1)
(2)x的值为2或4或16或
本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式；
（1）按照题干的拆分方法进行即可；
（2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解．
（1）解：；
（2）解：；
∵的值为整数，
∴是13的所有整数因数，
即，
∴或或或；
即x的值为2或4或16或．
24．(1)2
(2)
(3)
本题主要查了分式的混合运算，解分式方程，理解新定义是解题的关键．
（1）根据异分母分式减法法则计算即可；
（2）根据新定义，列出方程，即可求解；
（3）根据题意可得，再由新定义，可得，即可求解．
（1）解：∵
，
∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2；
（2）解：由题意可得：，
即，
∴，
即，
∴，
解得：；
（3）解：
；
∵P与Q互为“差离分式”，，
∴，
∴，
∴．(共5张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第五章 分式 单元测试·培优卷
试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.9 分式的判断
2 0.65 根据分式方程解的情况求值；分式方程无解问题
3 0.65 分式值为零的条件；分式有意义的条件
4 0.65 异分母分式加减法
5 0.65 积的乘方运算；含乘方的分式乘除混合运算
6 0.65 利用分式的基本性质判断分式值的变化
7 0.65 约分
8 0.65 列分式方程；分式方程的工程问题
9 0.65 分式加减乘除混合运算
10 0.65 判断分式变形是否正确；分式除法；分式值为零的条件；分式有意义的条件
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 已知分式恒等式，确定分子或分母；加减消元法
12 0.85 分式有意义的条件
13 0.65 分式乘除混合运算
14 0.73 分式方程的经济问题
15 0.65 求使分式值为整数时未知数的整数值；已知字母的值 ，求代数式的值
16 0.65 分式方程和差倍分问题
三、知识点分布
三、解答题
17 0.73 计算单项式乘多项式及求值；分式乘除混合运算；多项式除以单项式
18 0.65 解分式方程（化为一元一次）
19 0.65 有理数乘法的实际应用；有理数的除法运算；分式方程的经济问题
20 0.65 异分母分式加减法；数字类规律探索
21 0.85 分式加减的实际应用
22 0.65 求使分式值为整数时未知数的整数值；异分母分式加减法
23 0.65 求使分式值为整数时未知数的整数值
24 0.4 分式加减乘除混合运算；分式化简求值；异分母分式加减法；解分式方程（化为一元一次）

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