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2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第五章 分式 单元测试·提高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．当时，分式的值为（ ）
A．1 B． C． D．3
2．在代数式，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（ ）
A．1 B． C． D．
4．某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．把分式，和通分，下列结论错误的是（ ）
A．最简公分母是 B．
C． D．
10．小海解分式方程的过程如图所示，他从某一步开始出现了错误，则出现错误的是（ ）
解：方程整理，得，第一步 去分母，得，第二步 移项，合并同类项，得，第三步 经检验是原分式方程的解．第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．分式有意义，则的值不可能是______．
12．如果是正数，且满足，，那么的值为__．
13．有下列各式：①；②；③；④．其中计算结果正确的是_______（填序号）．
14．若为整数，则能使分式的值为整数的为______．
15．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______．
16．已知关于x的方程的解为和，则关于x的方程的解为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．解方程：
(1)．
(2)．
19．已知（，是常数，）．①
(1)若，，求；
(2)试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
(3)若的取值与无关，试求与的数量关系．
20．观察下列等式的规律，并回答下列问题：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
(1)请写出第个等式：__________________；
(2)请你写出第个等式，并证明．
21．一艘轮船在相距100千米的甲、乙两港航行．
(1)若轮船从甲港顺流航行到乙港所用的时间是从乙港到甲港逆流航行的时间的，水流的速度为10千米/小时，求船在静水中的速度．（注：逆水船速静水船速水速，顺水船速静水船速水速）
(2)若船在静水中的速度为v千米/小时，水流的速度为a千米/小时（）．该船从甲港顺流航行到乙港，再从乙港逆流返回到甲港所需的时间为；若该船从甲港航行到乙港再返回甲港都处于静水航行，且所用时间为，试比较与的大小，说明理由．
22．观察下列各式：；
；
；
请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题：
(1)________；
(2)请你按利用发现的规律计算：；
(3)利用上面规律解方程：．
23．请阅读如下材料，并解决问题：
材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”．
材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以．
(1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）．
②已知，则_________，_________．
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
(3)如果，，请用含有a和b的式子表示．
24．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如．
解决下列问题：
(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式；
(3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C C A A B D B
1．C
本题考查了分式求值，正确计算是解题的关键．
直接将代入求解即可．
解：当时，，
故选：C．
2．B
根据分式定义逐一判断每个代数式，注意π是常数，不是字母．
解：∵的分母a含字母，是分式；
的分母m含字母，是分式；
的分母是常数，不是分式；
中π是常数，分母不含字母，不是分式；
的分母含字母，是分式；
∴ 分式共有3个．
3．C
先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为．
解：∵ 原式 =
=
又 ∵
∴ 原式 =
=
= ．
又 ∵ 化简结果为 ．
∴
∴ ．
故选：C．
本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解．
4．C
根据题意，找到等量关系列出分式方程即可．
解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，
．
5．C
本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题．
解：，
故选：C．
6．A
本题考查了分式方程的变形与求解，核心是通过逆向推导还原被撕去的表达式；解题的关键是利用等式性质，将已知部分变形为方程并求解未知项；设撕坏的部分为未知数（即 ■），根据图片信息列出方程，求解即可．
解：设撕坏的一角 ■，则原式可表示为：
故选A．
7．A
本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变是解题关键．
逐个选项运用分式的基本性质和符号法则，判断变形是否正确．
解：A、∵ ，∴A正确，符合题意；
B、∵ ，∴B错误，不符合题意；
C、∵ 的分子分母同乘以得，∴C错误，不符合题意；
D、∵ ，∴D错误，不符合题意．
故选：A．
8．B
①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，．
本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键．
①∵，
∴，
∴不论a为何值都有意义，
故此结论正确；
②当时，，此时分式无意义，
故此结论不正确；
③若的值为负，
∵，
∴，
∴，
故此结论正确；
④∵有意义，
∴有意义，
∴，
解得，且，
故此结论不正确．
综上所述，其中正确的个数是2．
故选：B．
9．D
本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键．
先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确．
解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意；
故选：D．
10．B
本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
小海在去分母时未将方程左边的常数项乘以公分母，导致错误．
解：∵原方程整理后为，去分母时两边应同乘，
∴左边：，
右边：，
得，
但小海第二步写为，错误在于未将乘以，
∴出现错误的是第二步，
故选：B．
11．0
本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为零是解题的关键．
根据分母不能为零列不等式求解，进而完成解答．
解：由题意，得，
解得，
所以，即的值不可能是0．
故答案为：0．
12．/
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可．
解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．③
本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题．
解：①，
故①计算结果错误；
②，
故②计算结果错误；
③，
故③计算正确；
④，
故④计算结果错误．
故答案为：③．
14．
本题主要考查了分式的除法，分式的值，根据分式的除法进行计算，进而根据分式的值以及为整数，即可求解．
解：
∵分式的值为整数即为整数，为整数，
又∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
15．②④
本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可.
分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断：
①，当时，该变形不成立，故①错误；
②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确；
③，当时，该变形不成立，故③错误；
④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确.
16．和
本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法，利用换元法求解方程是解题的关键
令代入方程，整理得到，则和是方程的解，由此可求关于x的方程的解．
解：令，
方程可化为，
整理得，
方程的解为和，
和，
关于x的方程的解为和，
经检验，和是方程的解，
方程的解为和，
故答案为：和
17．(1) 6x3+4x2
(2)4a2 4ab+b2
(3)
(4)
本题考查了计算单项式乘多项式，运用完全平方公式进行运算，同分母分式加减法，分式乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
（1）利用单项式乘多项式求解；
（2）运用完全平方公式进行运算；
（3）利用同分母分式加减法运算；
（4）利用分式乘除混合运算求解．
（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
．
18．(1)
(2)
本题考查了分式方程的解法，掌握先化简或因式分解分母确定最简公分母，去分母转化为整式方程求解，检验解是否使分母不为零是解题的关键．
（1）先化简分母，确定最简公分母为，去分母转化为整式方程，求解后检验；
（2）先因式分解分母，确定最简公分母为，去分母转化为整式方程，求解后检验．
（1）解：方程两边同乘，得，
解得．
检验：当时，．
故原分式方程的解为．
（2）解：方程两边同乘，得，
解得．
检验：当时，．
故原分式方程的解为．
19．(1)
(2)，
(3)
本题主要考查了约分，等式的性质，正确理解题意是解题的关键。
（1）把，代入中并约分即可得到答案；
（2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可；
（3）由的取值与无关，可得，进而得到，即，得出结论．
（1）解：当，时，；
（2）解；将两边都乘以得，，
去括号得，，
移项得，，
即，
，；
（3）解：的取值与无关，
，即，
，即，
2．
20．(1)
(2)，证明见解析
本题主要考查数字的变化规律，分式的化简，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
（1）根据前4个等式即可得出答案；
（2）根据（1）中得出规律，进行通分证明等式的左边等于右边即可．
（1）解：因为第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
所以 ，
故答案为：；
（2）解：由（1）得出规律为：
第个式子为，
等式左边为，
等式右边为，
因为等式左边等式右边，
所以此等式成立．
21．(1)千米/小时
(2)，理由见解析
（1）设船在静水的速度为x千米/时，则顺水中的速度为千米/时，逆水中的速度为千米/时，利用时间关系列方程，解方程，再进行检验得到x的值即可；
（2）由时间等于路程除以速度可得：，，然后利用求差法比较大小即可．
（1）解：设船在静水中的速度为x千米/时，则
根据题意得，
解得，经检验是原方程的解，
答：船在静水的速度为50千米/时．
（2）解：，，
，
因为，，，
所以，
即．
22．(1)
(2)
(3)
本题主要考查了解分式方程和数字的变化类．
（1）根据已知条件中的等式，找出规律即可；
（2）按照（1）中的规律进行计算即可；
（3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：原式
；
（3）解：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
原方程的解是．
23．(1)①“非和谐分式”；②3；
(2)或或或
(3)
（1）①由，可知该分式不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可判断是“非和谐分式”；
②由，可得，，求出M、N即可；
（2）由的值是整数，可得或或或，求出x的值即可；
（3）由题分别得到，，两个式子消去可得，即可求．
本题考查分式的运算，根据所给的材料，能够将所给的分式进行拆解是解题的关键．
（1）解：①，不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，
分式是“非和谐分式”，
故答案为：“非和谐分式”；
②∵，
∴，，
解得，；
故答案为：3，；
（2）解：，
分式的值是整数，
∴或或或，
解得或或或；
（3）解：∵，
，
①，
∵，
∴②，
由得：，
∴．
24．(1)真
(2)
(3)．
本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
（1）利用真分式和假分式的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；
（3）利用整数和整除的意义讨论解答即可．
（1）解：由题意得：分式是真分式，
故答案为：真；
（2）解：
；
（3）解：；
∵分式的值为整数，x为整数．
∴或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴整数的值是．(共5张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第五章 分式 单元测试·提高卷
试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 分式的求值
2 0.85 分式的判断
3 0.65 分式乘除混合运算
4 0.65 分式方程的经济问题
5 0.65 含乘方的分式乘除混合运算
6 0.65 分式加减乘除混合运算
7 0.65 判断分式变形是否正确
8 0.65 分式值为零的条件；分式有意义的条件
9 0.65 最简公分母；通分
10 0.65 解分式方程（化为一元一次）
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 分式有意义的条件
12 0.65 分式化简求值
13 0.65 分式乘除混合运算
14 0.65 求使分式值为整数时未知数的整数值；分式除法；分式有意义的条件
15 0.65 判断分式变形是否正确
16 0.4 解分式方程（化为一元一次）；根据分式方程解的情况求值
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 计算单项式乘多项式及求值；分式乘除混合运算；同分母分式加减法；运用完全平方公式进行运算
18 0.65 解分式方程（化为一元一次）
19 0.85 等式的性质1；等式的性质2；约分
20 0.85 分式乘法；异分母分式加减法；数字类规律探索
21 0.62 分式加减的实际应用；分式方程的行程问题
22 0.65 解分式方程（化为一元一次）；数字类规律探索
23 0.65 分式化简求值；异分母分式加减法
24 0.65 求使分式值为整数时未知数的整数值；分式的判断

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