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浙教版2024 七年级下册
第五章 分式 单元测试·提升卷
试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 最简分式
2 0.85 分式有意义的条件
3 0.8 分式方程的行程问题
4 0.65 异分母分式加减法；加减消元法
5 0.65 含乘方的分式乘除混合运算
6 0.65 分式乘法；分式除法；分式乘方
7 0.65 判断分式变形是否正确
8 0.65 已知式子的值，求代数式的值；绝对值非负性；分式值为零的条件
9 0.65 分式的求值；分式化简求值
10 0.65 解分式方程（化为一元一次）；数字类规律探索
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 分式值为零的条件；分式有意义的条件
12 0.85 分式的求值
13 0.65 分式加减乘除混合运算；数字类规律探索
14 0.65 分式化简求值；平方差公式分解因式
15 0.65 利用分式的基本性质判断分式值的变化
16 0.65 分式方程的经济问题
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 计算单项式乘多项式及求值；分式乘法
18 0.65 分式化简求值；分式有意义的条件
19 0.85 分式除法；分式加减的实际应用
20 0.85 分式除法
21 0.74 有理数四则混合运算的实际应用；分式方程的经济问题
22 0.65 异分母分式加减法；数字类规律探索
23 0.65 （x+p）（x+q）型多项式乘法；约分
24 0.4 解分式方程（化为一元一次）；根据分式方程解的情况求值；分式方程无解问题2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第五章 分式 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列分式：，，，，其中最简分式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．湖南省地质博物馆迅速成了巡展的热门打卡地．某学校九年级学生去距学校的湖南省地质博物馆参观，一部分学生骑自行车先走20分钟，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则常数和的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．下列计算不正确的题是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．由于式子“…”较长，书写不方便，我们可以将其表示为，这里“”是求积符号．例如：…可表示为，又如…可表示为，阅读上述材料后请计算 （ ）
A． B． C． D．
10．观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若分式的值为零，则的值为_____．
12．已知，那么的值为_____．
13．观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式_______．
14．实数a，b，c满足，，则________．
15．已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ____．
16．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．
甲种糖 乙种糖 丙种糖
千克数 　 　 　
单价（元/千克） 　 　 　
商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖____千克．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：
，其中可在，，三个数中任选一个合适的数．
19．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件．
(1)求小王两次共采购了多少件该商品；
(2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？
20．对，定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)化简：；
(2)若令，且，求的值．
21．飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元．
(1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？
22．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：____________；
(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）；
(3)证明（2）中的等式．
23．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值．
24．已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D C A D C B C
1．D
解：，，，只有是最简分式，
∴其中最简分式有1个．
2．A
本题考查分式有意义的条件，关键点是分母不能为零．
分式有意义的条件是分母不为零，因此需使分母 ，求解即可．
解：∵分式 有意义，
∴分母 ，
即 ，
∴．
故选：A．
3．D
本题为行程问题的分式方程应用，利用时间差列方程，需要统一单位，根据骑车总时间比汽车多先走的时间列出方程即可．
解：设骑车学生速度为，则汽车速度为，
∵骑车总时间为，汽车总时间为，
可列方程为．
4．D
本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，将方程左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，
∴分子相等，
∴，解得，
故选：．
5．C
根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案．
解：A、，原计算正确，本选项不符合题意；
B、，原计算正确，本选项不符合题意；
C、，原计算错误，本选项符合题意；
D、，原计算正确，本选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
6．A
本题考查分式的乘除与乘方运算，需依据分式相关运算法则逐一计算各选项并判断正误．
分式乘法法则为分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分，
选项A：，运算正确；
分式乘方需分子、分母分别乘方，
选项B：，运算错误；
，
选项C：，运算错误；
分式除法需转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数，
选项D：，运算错误；
综上，正确答案为A．
7．D
本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可．
解：A、，则该选项不符合题意；
B、，则该选项不符合题意；
C、无法约分，则该选项不符合题意；
D、，则该选项符合题意；
故选：D．
8．C
本题主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出，是关键．根据分式等于0的条件可得，，再代入分式求值即可．
解：∵，
∴且，
∴且，
∴，，
∴
．
故选：C．
9．B
本题考查数式规律问题，分式的加减法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
根据题意列式为…，然后利用平方差公式计算即可．
解：原式…
…
…
，
故选：B．
10．C
本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键.
根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案.
∵
解得：
经检验，是分式方程的解，
故选：C．
11．
本题考查分式值为零的条件，关键是牢记“分式值为零，需要分子为零且分母不为零”这一核心规则．
解：要使分式的值为零，需同时满足：
分子为零：，解得或；
分母不为零：，解得．
综上，的值为．
故答案为：．
12．/0.125
本题考查分式的求值，利用设参法进行求解即可．熟练掌握设参法，是解题的关键．
解：设，则：，
∴；
故答案为：．
13．
本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析归纳出存在的规律．
根据所给的等式的形式进行分析归纳第n个等式为：，然后将代入即得．
解：第1个等式：；
第2个等2式；
第3个等式；
第4个等式；
……，
第n个等式，
当时，．
．
14．72
由得到，，，代入所求式子，运用平方差公式将各分子分解后与分母约分，即可求解．
解：∵，
∴，，，
∵，
∴
．
15．6
本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质成为解题的关键．
根据分式的基本性质进行计算即可解答．
解：∵，
∴．
故答案为：6．
16．　
设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，用总价除以总量就是什锦糖的单价，根据题意列方程求解即可．
设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，根据题意得：
，解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴需再加入丙种糖千克，
故答案为：．
此题考查了分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
17．(1)
(2)
本题考查了单项式乘多项式，分式的乘法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．
（1）根据单项式乘多项式法则计算，即可解题；
（2）根据分式的乘法运算法则计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．，取，原式
先将分子分母因式分解，再约分，然后括号内进行通分，将除法计算转化为乘法计算，约分化简即可，再根据分式有意义的条件确定的值代入进行计算即可．
解：原式
，
，，
，，，
取，原式．
19．(1)两次共采购的件数为件
(2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍
本题考查分式运算的实际应用：
（1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可；
（2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可．
（1）解：第一次采购该商品的件数为，
第二次采购该商品的件数为，
所以，两次共采购的件数为（件）．
（2），
第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍．
20．(1)
(2)
本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；
（1）根据题中所给新定义运算及分式的除法运算进行求解即可；
（2）先根据新定义运算进行求解，然后再利用整体思想进行求值即可
（1）解：∵，
∴
．
（2）解：．
∵，
∴，
∴，
∴．
21．(1)每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元
(2)该航模店共获利润1050元
（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可；
（2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解．
（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元；
（2）解：“天宫”模型数量：个，
“神舟”模型数量：个，
“天宫”模型销售额：元，
“神舟”模型前个销售额：元，
剩下5个“神舟”模型打八折：元，
∴总销售额：元，
总成本为3000元，所以总利润：元．
22．(1)
(2)
(3)见解析
本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，分式加法运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
（1）观察前几个等式即可写出第7个等式；
（2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第个等式；
（3）计算等式右边，验证其结果等于左边即可．
（1）解：第1个等式：，即：，
第2个等式：，即：，
第3个等式：，即：，
第4个等式：，即：，
第5个等式：，即：，
……
按照以上规律，
第6个等式：，即：；
故答案为：；
（2）解：根据（1）可知，第个等式：，
故答案为：；
（3）证明：∵等式右边
；
∴左边右边．
即：．
23．(1)①③
(2)，
（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可；
（2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可．
（1）解：①；②无法进一步约分；③，
∴是“巧分式”的有①③；
（2）解：由题意，得，
∵
，
∴，
∴，，
∴，．
24．(1)
(2)或
(3)3，55
（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；
（2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可；
（3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值．
（1）解：把，代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入，
所以原分式方程的解是；
（2）解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵，且为正整数，为整数，
∴必为65的因数，，
∵，
∴65的因数有1，5，13，65，
1，5小于11，
可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55，
满足条件的可取3，55这两个数．
本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．

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