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19.1 二次根式及其性质
一、选择题（共12小题）
1．（2025秋 福绵区 期末）若在实数范围内有意义，则x的值可以是（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．（2025秋 乳山市期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（　　）
A．16 B．21 C．27 D．32
3．（2025秋 渝中区校级期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2027 B．x≥2027 C．x≤2027 D．x＜2027
4．（2025秋 海阳市期末）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025秋 椒江区期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．﹣22＝4 D．（﹣2）2＝4
6．（2025秋 钱塘区期末）下列各组实数中，相等的一组是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．（2025秋 郫都区校级期末）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025 大理州模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≤3 C．x≥3 D．x≠3
9．（2025春 巫山县校级期中）下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025春 德城区期末）下列各式一定属于二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025春 武昌区期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A．0 B．﹣2a C．2a D．﹣2b
12．（2025春 宜春校级期中）下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
13．（2026 梁园区校级一模）请任意写出一个能使有意义的m值：　 　 ．
14．（2026 合肥模拟）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ．
15．（2025秋 辉县市校级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ．
16．（2026 海门区校级模拟）已知的值为 　 　 ．
17．（2026 南京一模）若a＞0，化简　 　 ．
18．（2025秋 青浦区校级期末）当a＜0时，化简　 　 ．
19．（2025秋 鄞州区校级期末）已知实数m满足，则m＝　 　 ．
20．（2025秋 肥城市期末）若在实数范围内有意义，那么x的取值范围是　 　 ．
21．（2025秋 长宁区校级期末）如果，那么xy＝　 　 ．
22．（2025秋 杨浦区期末）化简：　 　 ．
三、解答题（共5小题）
23．（2025秋 海安市期末）已知关于x的代数式A＝x2+（2a﹣6）x+a2+9，代数式B＝（x+b）2+4b+5（a、b为常数）．
（1）A是一个关于x的完全平方式，则a的值为　 　 ；
（2）若A＝B，求的值；
（3）若y＝A﹣B，对于任意实数x，都有y≥0，求a+b的取值范围．
24．（2025秋 福州校级期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简：　 　 ；
（2）若等式4成立，则a的取值范围是　 　 ；
（3）若8，求a的取值．
25．（2025秋 张店区期末）求下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）．
26．（2025秋 嘉峪关校级期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简．
27．（2025 黔东南州模拟）已知x，y是实数，且，求（x﹣y）2026．
一、选择题（共12小题）
1．【答案】A
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
则x的值可以是2，
故选：A．
2．【答案】B
把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答．
【解答】解：根据题意可知，，
又∵是整数，且n是正整数，
∴正整数n的最小值是21．
故选：B．
3．【答案】B
令开方数为非负数，即可得出答案．
【解答】解：由已知可得x﹣2027≥0，
∴x≥2027．
故选：B．
4．【答案】C
根据二次根式的性质与化简与立方根的定义进行计算，逐项判断即可．
【解答】解：A．原式＝1，故本选项不符合题意；
B．原式＝0.2，故本选项不符合题意；
C．原式＝﹣5，故本选项符合题意；
D．原式＝﹣0.1，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．【答案】D
根据相关定义和法则逐一判断选项计算的正确性．
【解答】解：A、是16的算术平方根，结果为4，而非±4，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、﹣22表示22的相反数，22＝4，﹣22＝﹣4，选项计算错误，不符合题意；
D、（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
6．【答案】A
根据二次根式的性质逐项化简判断即可．
【解答】解：A、，，相等，故此选项符合题意；
B、，，不相等，故此选项不符合题意；
C、，不相等，故此选项不符合题意；
D、互为相反数，不相等，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．【答案】A
根据立方根、算术平方根、平方根、二次根式的性质逐项计算判断即可．
【解答】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
8．【答案】A
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3＞0，
解得：x＞3，
故选：A．
9．【答案】A
根据二次根式的定义对各选项进行逐一解答即可．
【解答】解：A、中被开方数是非负数，是二次根式，符合题意；
B、中，当a＜5时，被开方数是负数，不是二次根式，不符合题意；
C、中，y≠0时，被开方数是负数，不是二次根式，不符合题意；
D、中，当ab＜0时，被开方数是负数，不是二次根式，不符合题意．
故选：A．
10．【答案】C
根据二次根式的定义进行作答即可．
【解答】解：∵被开方数为非负数，
∴是二次根式．
故选：C．
11．【答案】B
由数轴得a＜0，b＞0，再根据绝对值、二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，
∴
＝|a|+|a﹣b|﹣|b|
＝﹣a﹣（a﹣b）﹣b
＝﹣a﹣a+b﹣b
＝﹣2a．
故选：B．
12．【答案】C
根据二次根式的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A． 为三次根式，所以A选项不符合题意；
B．当a≥0时，为二次根式，所以B选项不符合题意；
C． 为二次根式，所以C选项符合题意；
D． 为实数，所以D选项符合题意．
故选：C．
二、填空题（共10小题）
13．【答案】1（答案不唯一）．
根据二次根式有意义的条件即可得出答案．
【解答】解：∵3﹣m≥0，
∴m≤3．
故答案为：1（答案不唯一）．
14．【答案】x
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：3﹣2x≥0，解得：x．
故答案为：x．
15．【答案】x≥1且x≠3．
代数式有意义需满足分式分母不为零，且二次根式中被开方数非负，据此进行求解即可．
【解答】解：要使代数式有意义，则，
解得x≥1且x≠3．
故答案为：x≥1且x≠3．
16．【答案】3
先判断出b的符号，再判断出b﹣a﹣4和a﹣b+1的符号，从而去掉根号，得出答案．
【解答】解：∵0，∴a、b异号，
∵a＞0，∴b＜0，
∴b﹣a﹣4＜0，a﹣b+1＞0，
∴原式＝a﹣b+4﹣（a﹣b+1）
＝a﹣b+4﹣a+b﹣1
＝3，
故答案为3．
17．【答案】
由于a＞0，从根号里可判断b＜0，分子、分母同乘以b，化简即可．
【解答】解：∵a＞0，∴．
18．【答案】．
根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：根据题意可知，，
又∵a＜0，
∴﹣4a3＞0，
∴b＞0，
∴原式．
故答案为：．
19．【答案】8
先根据二次根式有意义的条件得出m≥4，再根据二次根式的性质化简可得m﹣2m，解之即可．
【解答】解：由m﹣4≥0知m≥4，
则由原等式知m﹣2m，
整理得2，
解得m＝8，
故答案为：8．
20．【答案】x≤3．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：6﹣2x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
21．【答案】．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x，进而求出y，再根据负整数指数幂的运算计算即可．
【解答】解：由题意得：3﹣x≥0，x﹣3≥0，
则x＝3，
∴y＝﹣2，
∴xY＝3﹣2，
故答案为：．
22．【答案】．
根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以3a，化解解答即可．
【解答】解：根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以3a可得：
，
故答案为：．
三、解答题（共5小题）
23．【答案】（1）0；
（2）；
（3）a+b≥﹣10．
（1）由题意可得（a﹣3）2＝a2+9，求出a的值即可；
（2）由题意可得2a﹣6＝2b，a2+9＝b2+4b+5，求出a、b的值再求解即可；
（3）根据题意可得2a﹣2b﹣6＝0，a2+4﹣b2﹣4b≥0，求出a的范围，再求a+b的范围即可．
【解答】解：（1）∵A是一个关于x的完全平方式，
∴（a﹣3）2＝a2+9，
解得a＝0，
故答案为：0；
（2）∵A＝B，
∴x2+（2a﹣6）x+a2+9＝（x+b）2+4b+5，
∴2a﹣6＝2b，a2+9＝b2+4b+5，
解得a，b，
∴；
（3）∵y＝A﹣B，
∴y＝x2+（2a﹣6）x+a2+9﹣x2﹣2bx﹣b2﹣4b﹣5＝（2a﹣6﹣2b）x+a2+4﹣b2﹣4b，
∵对于任意实数x，都有y≥0，
∴2a﹣2b﹣6＝0，a2+4﹣b2﹣4b≥0，
∴a﹣b＝3，a2+4﹣b2﹣4b＝3（a+b）﹣4b+4＝3a﹣b+4≥0，
∴3a+3﹣a+4＝2a+7≥0，
∴a，
∴a+b＝a+a﹣3＝2a﹣3≥﹣10．
24．【答案】见试题解答内容
（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【解答】解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
（3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
故答案为：（1）3；（2）3≤a≤7
25．【答案】（1）2；（2）4；
（3）；
（4）3；
（5）﹣3．
（1）根据立方根的定义计算即可；
（2）根据二次根式的性质化简即可；（3）根据二次根式的性质化简即可；（4）根据二次根式的性质化简即可；（5）根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）2；
（2）|﹣4|＝4；
（3）；
（4）3；
（5）3．
26．【答案】﹣a．
利用数轴得到c＜a＜0＜b，再利用算术平方根的性质进行化简，然后去括号，合并同类项进行计算．
【解答】解：由数轴得：c＜a＜0＜b，则a﹣b＜0，b﹣c＞0，
∴
＝|a﹣b|﹣（b﹣c）+|c|
＝﹣a+b﹣b+c﹣c
＝﹣a．
27．【答案】1．
根据题意可以求得x、y的值，从而可以解题．
【解答】解：∵有意义，
∴，
解得x＝2，
∴y＝3，
∴（x﹣y）2026＝（2﹣3）2026＝1．

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