资源简介

21.2平行四边形-21.3特殊的平行四边形
一、选择题（共6小题）
1．（2025秋 牟平区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD与F，则PE+PF的值为（　　）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
2．（2025秋 朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD
3．（2025秋 朝阳区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝DO D．AO＝CO
4．（2026 定海区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在AD边上，连接BE交AC于点F．若∠OCD＝60°，∠BED＝130°，则∠BFO的度数为（　　）
A．95° B．105° C．100° D．110°
5．（2026 西岗区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD＝24，AD＝13，则CE的长为（　　）
A． B． C．10 D．12
6．（2026 雁塔区校级一模）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，连接BD，BE，则∠DBE的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
二、填空题（共6小题）
7．（2025秋 永年区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC上一点，P是AD的中点．若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8cm，则BP为　 　 ．
8．（2025秋 广元期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交BC、AD于点E、F，若AB＝4，DF＝3，则BC＝　 　 ．
9．（2025秋 阳江期末）在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠D的度数为　 　 ．
10．（2026 南京一模）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上任意一点，点E，点F分别是BM，CM的中点，若AD＝6，则EF的长为　 　 ．
11．（2025秋 淄博期末）如图， ABCD的对角线交于点O，且CD＝4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长为　 　 ．
12．（2025秋 横山区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AC上，连接BE，△BCE是等腰三角形，CE＝CB．若AB＝6，BD＝10，则AE的长为　 　 ．
三、解答题（共5小题）
13．（2025秋 秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OC的中点，连接AE、DF，求证：AE＝DF．
14．（2025秋 萧县期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接AD，AD平分∠BAC．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）连接EF交AD于点O，若∠BAC＝60°，AE＝5，求AD的长．
15．（2026 建邺区一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由．
（2）若AE＝DF＝1，AB＝4，求OP的长．
16．（2025秋 平顶山期末）如图，点B在直线MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．
（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论；
（2）当AB与MN的位置关系为　 　 时，四边形ACBD是正方形．
17．（2025秋 沭阳县校级期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上的点，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．
一、选择题（共6小题）
1．【答案】B
连接OP，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，可求得OA＝OD以及△AOD的面积，继而可得S△AOD（PE+PF），则可求得答案．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝ODBD，S△AOD＝S△AOB，
∵AB＝3，AD＝4，
∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5，
∴S△AODS矩形ABCD＝3，OA＝OC，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA PEOD PFPEPF（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝2.4．
故选：B．
2．【答案】B
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．【答案】D
根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
【解答】解：已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，
选项A：仅AD∥BC且AB＝CD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误；
选项B：AD∥BC且AC＝BD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 B错误；
选项C：平行四边形要求对角线互相平分，仅AO＝DO不满足，故C错误；
选项D：∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△DAO和△BCO中，
，
∴△DAO≌△BCO（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故D正确．
故选：D．
4．【答案】C
根据矩形的性质可得OA＝OB，进而可得△OAB是等边三角形，∠ABO＝60°，由∠BED＝130°可得∠AEB＝50°，即可求出∠ABE＝40°，则∠OBF＝20°进而求出∠BFO即可．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，OD＝OC，∠BAE＝90°，
∵∠OCD＝60°，
∴∠COD＝60°＝∠AOB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∵∠BED＝130°，
∴∠AEB＝50°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠FBO＝20°，
∴∠BFO＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
故选：C．
5．【答案】B
首先，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和已知边长计算出对角线AC的长度；然后，利用菱形面积的两种计算方法，通过已知的面积和边长求解CE的长度．
【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，OB＝ODBD＝12，AC⊥BD，AB＝AD＝13，
∴∠AOB＝90°，
∴OA5，
∴AC＝10，
∵菱形的面积＝AB．CEAC BD，
即13×CE10×24，
解得：CE，
故选：B．
6．【答案】D
首先由正方形的性质得到∠ABD＝45°，AB＝AD，∠BAD＝90°，然后由等边三角形的性质得到AD＝AE，∠DAE＝60°，推出AB＝AE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，
∴，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝30°．
故选：D．
二、填空题（共6小题）
7．【答案】4cm．
先根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC＝8cm，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【解答】解：∵AC的垂直平分线经过点D，DC＝8cm，
∴DA＝DC＝8cm，
∵∠ABC＝90°，P是AD的中点，
∴BPDA＝4cm．
故答案为：4cm．
8．【答案】8．
连接CF，由矩形的性质得OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，根据勾股定理求出，再由EF⊥AC，可知EF垂直平分AC，则AF＝CF＝5，即可求出BC＝AD＝AF+DF＝8．
【解答】解：连接CF，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC，
∴，
∵EF⊥AC，
∴AF＝CF＝5，
∴AD＝AF+DF＝5+3＝8，
∴BC＝AD＝8，
故答案为：8．
9．【答案】70°．
先画出图形，再根据平行四边形的性质可得∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，再根据“∠A比∠B大40°”可求出∠A＝110°，∠B＝70°即可解答．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠B＝∠D，
∵∠A比∠B大40°，
∴∠A＝110°，∠B＝70°，
∴∠D＝∠B＝70°，
故答案为：70°．
10．【答案】3．
根据平行四边形的性质得出AD＝BC，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵点E，点F分别是BM，CM的中点，
∴EF是△BMC的中位线，
∴EF＝3，
故答案为：3．
11．【答案】20
由平行四边形的性质得出OAAC，OBBD，AB＝CD＝4，求出OA+OB＝16，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OAAC，OBBD，AB＝CD＝4，
∵AC+BD＝32，
∴OA+OB（AC+BD）＝16，
∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝16+4＝20．
故答案为：20．
12．【答案】2．
矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角△ABC中，使用勾股定理计算出CB，结合CE＝CB，计算出AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD＝10，
在直角△ABC中，，
∵CE＝CB，
∴CE＝8，
∴AE＝AC﹣CE＝10﹣8＝2．
故答案为：2．
三、解答题（共5小题）
13．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∵点E、F分别为OB、OC的中点，
∴OEOB，OFOC，
∴OE＝OF，在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴AE＝DF．
根据矩形性质得AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，再根据点E、F分别为OB、OC的中点得OE＝OF，由此依据“SAS”判定△AOE和△DOF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∵点E、F分别为OB、OC的中点，
∴OEOB，OFOC，
∴OE＝OF，在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴AE＝DF．
14．【答案】（1）∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴∠ADE＝∠FAD，四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形；
（2）．
（1）先证四边形AEDF是平行四边形，再通过等角对等边证AE＝DE，即可得出结论；
（2）先证明△AEF是等边三角形，则EF＝AE＝5，根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求解AO，即可求解AD．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴∠ADE＝∠FAD，四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形；
（2）解：∵四边形AEDF是菱形，连接EF交AD于点O，∠BAC＝60°，AE＝5，
∴AD⊥EF，AO＝DO，EO＝FO，AE＝AF＝5，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF＝AE＝5，
∴，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：，
∴．
15．【答案】（1）AF与BE的关系是垂直且相等，证明见解析；
（2）．
（1）先根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，再根据三角形全等的判定定理证出△ABE≌△DAF，然后根据全等三角形的性质可得BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，最后根据角的和差可得∠AOB＝90°，由此即可得证；
（2）先根据正方形的性质可得∠C＝90°，BC＝CD＝AB＝4，再根据线段的和差可得CF＝3，然后利用勾股定理可得BF＝5，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【解答】解：（1）AF与BE的关系是垂直且相等，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，
∴∠AOB＝90°，即AF⊥BE，
综上，AF与BE的关系是垂直且相等；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝AB＝4，
∵AE＝1，AE＝DF，
∴DF＝1，
∴CF＝CD﹣DF＝3，
在Rt△BCF中，，
∵点P是Rt△BOF斜边BF的中点，
∴．
16．【答案】（1）四边形ACBD是矩形，
证明：∵CD平行MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵CD＝OC+OD，
AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（2）AB⊥MN时，四边形ACBD是正方形，
证明：∵AB⊥MN，
∴∠ABM＝∠ABN＝90°，
∵BC平分∠ABM，BD平分∠ABN，
∴∠ABC∠ABM，∠ABD∠ABN，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD∠ABN180°＝90°，
由（1）得四边形ACBD是矩形，
∵CD∥MN，
∴AB⊥CD，
∴四边形ACBD是正方形．
故答案为：AB⊥MN．
（1）根据角平分线定义和平行线推出∠OCB＝∠OBC，推出OC＝OB，同理OD＝OB，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质和正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形，
证明：∵CD平行MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵CD＝OC+OD，
AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（2）AB⊥MN时，四边形ACBD是正方形，
证明：∵AB⊥MN，
∴∠ABM＝∠ABN＝90°，
∵BC平分∠ABM，BD平分∠ABN，
∴∠ABC∠ABM，∠ABD∠ABN，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD∠ABN180°＝90°，
由（1）得四边形ACBD是矩形，
∵CD∥MN，
∴AB⊥CD，
∴四边形ACBD是正方形．
故答案为：AB⊥MN．
17．【答案】证明过程请看解答．
根据平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，再判断四边形BEDF是平行四边形，即可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF．
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF．

展开更多......

收起↑