资源简介

阶段模拟测试练习卷
考试范围：第19~21章
一、选择题（共10小题）
1．（2025秋 晋江市期末）要使二次根式有意义，x的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2025秋 如皋市期末）下列各式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025秋 洞口县期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025秋 锦江区校级期末）下列条件能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB＝1，，AC＝3
C．AB＝1，BC＝2，AC＝5 D．∠A+∠B＝∠C
5．（2025春 饶平县期末）下列各组数是三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．2，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，9，12
6．（2025春 阎良区期末）下列几组数中是勾股数的一组是（　　）
A． B．1.5，2，2.5 C．6，8，13 D．9，12，15
7．（2025春 西宁期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，它是由四个全等的直角三角形围成的一个小正方形和一个大正方形．若大正方形的面积是49，小正方形的面积是4．设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，斜边长为c，则下列说法错误的是（　　）
A．c＝7 B． C．b﹣a＝2 D．
8．（2026 玄武区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别为AB，BC的中点，若AB＝10，MN＝3，则BC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2025秋 祁县期末）如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，CD＝3，则BD的长为（　　）
A．3 B．4.5 C．6 D．12
10．（2025秋 渝中区校级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠ABC的平分线交AD于点F，E为BF的中点，若BC＝a，CD＝b，a＞b，则EO的长可以表示为（　　）
A．a﹣b B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．（2025秋 静安区校级期末）化简：　 　 ．
12．（2026 定海区模拟）等式成立的条件是　 　 ．
13．（2025春 兰溪市校级期中）若a、b都为实数，且，ab＝　 　 ．
14．（2025秋 东营期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1．BC在数轴上，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是　 　 ．
15．（2025秋 杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
16．（2024春 静宁县期末）如图，一垂直地面的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在距离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是 　 　 m．
17．（2024春 华阴市期末）如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝5，分别以直角边BC、AC为边向外作正方形，正方形的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 　 　 ．
18．（2026 新市区模拟）正五边形的内角和等于　 　 ．
19．（2026 呼兰区模拟）在平行四边形ABCD中，AB＝5，AC＝2，BC边上的高为4，则平行四边形ABCD周长等于 　 　 ．
20．（2025秋 巴中期末）如图，在 ABCD中，∠B＝120°，CD＝4．点H，G分别是边AB，BC上的动点，连接DH，HG，点E，F分别是DH，HG的中点，连接EF，则EF的最小值为　 　 ．
三、解答题（共7小题）
21．（2025秋 赛罕区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
22．（2025秋 埇桥区校级期末）如图所示，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．
（1）这个梯子的顶端A距离地面多远？
（2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？
23．（2025秋 黔江区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若，试说明△ABC是直角三角形；
（2）在（1）的条件下，BC边所在的直线上是否存在一点D，使得△ABD是等腰三角形？若存在，请直接写出CD的值；若不存在，请说明理由．
24．（2025秋 长春期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在CD边上，连结AE，∠DAE＝30°，点M为AE的中点，线段PQ过点M交AD、BC于点P、Q，PQ⊥AE．求PM、MQ的长．
25．（2025秋 未央区校级期末）某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12m，如图，即AD＝BC＝12m，此时建筑物中距地面12.8m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？
26．（2025秋 昆都仑区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝2时，直接写出EA的长．
27．（2025秋 城关区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，CE∥AB，DE是∠CDB的角平分线，连接AE、BE．
（1）求证：四边形CDBE是菱形；
（2）若AC＝AD＝3，求AE的长．
一、选择题（共10小题）
1．【答案】A
根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故选：A．
2．【答案】A
满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．【答案】D
通过计算每个选项的左右两边，判断是否相等，即可判断仅选项D正确．
【解答】解：根据二次根式的性质及乘法、加法运算逐项分析判断如下：
对于A： ＝ 2+3 ＝ 5，，
∴A错误，不符合题意；
对于B：，
∴B错误，不符合题意；
对于C：，
∴C错误，不符合题意
对于D：，
∴D正确，符合题意，
故选：D．
4．【答案】D
通过勾股定理逆定理或有一个内角为90°判断三角形为直角三角形．
【解答】解：A：设∠A＝3k，则∠B＝4k，∠C＝5k，
则3k+4k+5k＝180°，
解得k＝15°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，没有90°的角，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
B：∵13，
∴AB+BC＜AC，
∴不能构成三角形，不符合题意．
C：AB＝1，BC＝2，AC＝5，
∵AB+BC＜AC，
∴不能构成三角形，不符合题意；
D：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
故选：D．
5．【答案】C
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵22+42＝20，52＝25，
∴22+42≠52，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵52+42＝41，62＝36，
∴52+42≠62，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵62+82＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵52+92＝106，122＝144，
∴52+92≠122，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
6．【答案】D
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、1222，能构成直角三角形，，不是整数，故不是勾股数，本选项不符合题意；
B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数，本选项不符合题意；
C、62+82≠132，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
D、92+122＝152，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意．
故选：D．
7．【答案】D
由题意可知，大正方形边长为7，小正方形边长为2，则a﹣b＝2，a2+b2＝49，再利用完全平方公式求出a﹣b和a+b的值即可．
【解答】解：由题意可知，大正方形边长为7，小正方形边长为2，
∴b﹣a＝2，a2+b2＝49，
∴ab×4+4＝49，
∴2ab＝45，
∴ab，2ab+4＝49，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49+45＝94，
∴a+b，
∴正确的有A，B，C，
故选：D．
8．【答案】D
由已知得MN为△ABC的中位线，得AC＝2MN＝6，在Rt△ABC中，根据勾股定理得求解
【解答】解：∵M，N分别为AB，BC的中点，
∴AC＝2MN＝6．
在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，．
故选：D．
9．【答案】C
利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，AB＝CD＝3，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴BO＝AB＝3，
∴BD＝2BO＝6．
故选：C．
10．【答案】B
根据平行四边形性质得AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，AD∥BC，OB＝OD，由此得∠AFB＝∠CBF，再根据∠ABC的平分线交AD于点F得∠CBF＝∠ABF，进而得∠AFB＝∠ABF，则AF＝AB＝b，继而得DF＝a﹣b，证明EO是△BDF的中位线得EODF，据此即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，且BC＝a，CD＝b，
∴AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，AD∥BC，OB＝OD，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵∠ABC的平分线交AD于点F，
∴∠CBF＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB＝b，
∴DF＝AD﹣AF＝a﹣b，
∵E为BF的中点，OB＝OD，
∴EO是△BDF的中位线，
∴EODF，
∴EO的长可以表示为．
故选：B．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】．
，据此求解即可．
【解答】解：∵a3b＝a2 ab≥0，a2≥0，
∴ab≥0，
∴．
故答案为：．
12．【答案】a＞3
根据二次根式和分式有意义的条件可得，再解不等式组即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：a＞3，
故答案为：a＞3．
13．【答案】1．
根据题意可得a＝2，b＝0，继而代入ab中即可求出本题答案．
【解答】解：由条件可得，
解得：a＝2，
∴b＝0，
∴ab＝20＝1，
故答案为：1．
14．【答案】．
根据题意运用勾股定理求出AB的长，即可得到答案．
【解答】解：，
∴点D表示的数是，
故答案为：．
15．【答案】5．
由勾股定理得到BC2﹣AC2＝AB2，由正方形面积公式得到S3﹣S1＝S2，求出S2＝10，即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴BC2﹣AC2＝AB2，
∴S3﹣S1＝S2，
∵S3+S2﹣S1＝20，
∴S2＝10，
∴阴影部分的面积为5，
故答案为：5．
16．【答案】8．
利用勾股定理求出斜边的长，从而得出木杆折断之前的高度．
【解答】解：由勾股定理得，斜边5（m），
∴木杆折断之前的高度为3+5＝8（m），
故答案为：8．
17．【答案】25．
根据勾股定理求出AB的平方即为S1+S2的值
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝52＝25，
∵，
∴S1+S2＝25，
故答案为：25．
18．【答案】540°．
根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．
【解答】解：正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
故答案为：540°．
19．【答案】20或12
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：①如图1所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC2，AB＝CD＝5，
BE3，
∴AD＝BC＝5，
∴ ABCD的周长等于＝2（AB+AD）＝20，
②如图2所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC2，AB＝CD＝5，
BE3，
∴BC＝3﹣2＝1，
∴ ABCD的周长等于：1+1+5+5＝12，
则 ABCD的周长等于20或12，
故答案为：20或12．
20．【答案】．
连接DG，根据三角形中位线定理可得，可得DG⊥BC时，DG和EF取最小值，然后求出DG的最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，连接DG，
∵点E，F分别是DH，HG的中点，
∴，
∴当DG取最小值时，EF可取得最小值，
∴当DG⊥BC时，DG和EF取最小值，
∵在 ABCD中，∠B＝120°，CD＝4，
∴∠C＝180°﹣∠B＝60°，
∴当DG⊥BC时，∠CDG＝90°﹣60°＝30°，
此时，
∴，
∴，
即EF的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（共7小题）
21．【答案】（1）10；
（2）．
（1）先计算零指数幂、算术平方根、乘方、二次根式的乘法，再计算加减即可得出结果；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可得出结果．
【解答】解：（1）
＝10；
（2）原式
．
22．【答案】（1）这个梯子的顶端A距地面有24m远；
（2）梯子的底端在水平方向滑动了8m．
（1）在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AB的长即可；
（2）首先求出BD的长，利用勾股定理可求出BE的长，进而得到CE＝BE﹣CB的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，
即AB2+72＝252，
∴AB＝24m，
答：这个梯子的顶端A距地面有24m远；
（2）∵梯子的顶端A下滑了4m至点D，
∴BD＝AB﹣AD＝24﹣4＝20（m），
在Rt△BDE中，由勾股定理得BD2+BE2＝DE2，
即202+BE2＝252，
∴BE＝15m，
∴CE＝BE﹣BC＝15﹣7＝8（m），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8m．
23．【答案】（1）∵，
∴根据非负数的性质得，a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13，
∵52+122＝132，
∴a2+b2＝c2，
∴根据勾股定理的逆定理得，∠C＝90°
∴△ABC是直角三角形；
（2）存在，5或8或18或．
（1）先根据非负数性质求解a，b，c，再由勾股定理逆定理求解即可；
（2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵，
∴根据非负数的性质得，a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13，
∵52+122＝132，
∴a2+b2＝c2，
∴根据勾股定理的逆定理得，∠C＝90°
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：存在，
①AB＝AD时，以A为圆心，AB长为半径画弧，交直线CB于点D1，
∵AC⊥BD1
∴CD1＝BC＝5；
②BA＝BD＝13时，以B为圆心，BA长为半径画弧，交直线CB于点D2、D3，
∴CD3＝BD3+BC＝13+5＝18；CD2＝BD2﹣BC＝13﹣5＝8；
③DA＝DB时，作AB的垂直平分线交直线CB于点D4，设CD4＝x，则D4A＝D4B＝CD4+BC＝x+5，
∵AC⊥CD4，
∴，
∴122+x2＝（x+5）2，
整理得，10x＝119，
解得，即，
综上所述，CD的值为5或8或18或．
24．【答案】2，42．
先利用勾股定理求出 AE，再通过中点、垂直关系求出 PM，最后借助辅助线和三角函数求出 PQ 总长，进而得到 MQ．
【解答】解：过点Q作QN⊥AD，垂足为N，∴NQ＝AB，
∵正方形ABCD的边长为6，PQ⊥AE，∠DAE＝30°，
∴∠APM＝60°，
∴∠PQN＝30°，
∵cos30°，
∴AE，
∴AE＝4，
∵点M为AE的中点，
∴AM＝2，
∴PM＝2tan30°＝22，
∵NQ＝6，
∴PQ4，
∴MQ＝42．
25．【答案】此消防车的云梯至少应伸长15米．
先根据题意建立直角三角形，然后利用勾股定理求出AB的长度即可得出答案．
【解答】解：由题意可知：AB＝CD＝3.8米，AD＝12米，PC＝12.8米，∠ADP＝90°，
∴PD＝PC﹣CD＝9米，
在Rt△ADP中，AP15米，
答：此消防车的云梯至少应伸长15米．
26．【答案】（1）证明见解答；
（2）AE．
（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：∵Rt△ADO中，∠ADO＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴ODAD，AO＝3，
∴AC＝6，EC，
∴AE．
27．【答案】（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠BDE，
∵DE是∠CDB的角平分线，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴CE＝BD，
∵CE∥BD，
∴四边形CDBE是平行四边形，
又∵CD＝BD，
∴平行四边形CDBE是菱形；
（2）3．
（1）由直角三角形斜边上的中线性质得CDAB＝AD＝BD，进而证明∠CED＝∠CDE，则CD＝CE，再证明四边形CDBE是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）先证明四边形ACED是平行四边形，再证明平行四边形ACED是菱形，得AE⊥CD，则AE⊥BE，然后由勾股定理求出AE的长即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠BDE，
∵DE是∠CDB的角平分线，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴CE＝BD，
∵CE∥BD，
∴四边形CDBE是平行四边形，
又∵CD＝BD，
∴平行四边形CDBE是菱形；
（2）解：由（1）可知，CD＝BD＝AD，四边形CDBE是菱形，
∴CD∥BE，BE＝BD＝CD，
∵CE∥AB，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC＝AD＝3，
∴平行四边形ACED是菱形，AB＝2AD＝6，BE＝BD＝AD＝3，
∴AE⊥CD，
∴AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴AE3．

展开更多......

收起↑