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第20章 勾股定理
一、选择题（共12小题）
1．（2025秋 马边县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
2．（2025秋 青山区期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
3．（2025秋 东港市期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A． B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25
4．（2025秋 铜川期末）下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的是（　　）
A．1，1，2 B．2，，4 C．5，12，13 D．，，5
5．（2025秋 彬州市校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值是（　　）
A．10 B． C． D．4.8
6．（2025秋 三明期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　）
A．25 B．49 C．81 D．100
7．（2025秋 邗江区期末）下列各组数为勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．4，5，6
C．7，24，25 D．，，
8．（2025秋 攀枝花期末）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝5：12：13
9．（2025秋 岑溪市期末）如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆A点测量鱼塘另一边木杆B点的长度，点C为存放鱼科的小屋，现测得AC＝6m，∠CAB＝60°，∠ACB＝75°，则可求出AB两点间的距离是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025秋 邓州市期末）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　）
A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm
11．（2025春 龙马潭区校级期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　）
A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm
12．（2025春 巫山县期中）如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
二、填空题（共8小题）
13．（2025秋 古县期末）如图，受台风影响，一棵8米高的树被风刮断了，树顶落在离树根4米处，则折断处的高度AB为　 　 米．
14．（2025秋 平顶山期末）汉末三国初数学家、天文学家赵爽，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理，后人通常把图称为“赵爽弦图”，该图由四个全等的直角三角形拼接而成，已知AB＝2BC，中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积为　 　 ．
15．（2025秋 海口期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2+S1﹣S3＝36，则阴影部分的面积为 　 　 ．
16．（2025秋 宝安区校级期末）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是12cm2，则正方形A的面积是 　 　 ．
17．（2025秋 玉环市期末）如图，3×3网格由9个边长为1的小正方形组成，以点D为圆心，CD长为半径画圆弧交数轴于点C′，则点C'表示的实数为　 　 ．
18．（2025秋 永兴县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形ABCD的面积是90，AH＝9，则正方形EFGH的面积是　 　 ．
19．（2025秋 增城区期末）今年超强台风“桦加沙”24日在阳江海陵岛登录，对珠海的也造成一定的影响．如图，在台风中一棵大树在离地面5m处折断，倒下部分与地面成30°夹角，大树折断前的高度为　 　 米．
20．（2021春 石阡县期中）如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是 　 　 ．
三、解答题（共5小题）
21．（2025秋 扬州期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形．
（1）经测量，BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，小明判断△BCD是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由；
（2）若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C′处，测得FC′＝17m，求风筝垂直下降的高度．
22．（2025秋 淮安期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
23．（2025秋 雁塔区校级期末）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m．
（1）求边BC的长；
（2）连接AC，判断△ADC的形状；
（3）求这块空地的面积．
24．（2025秋 原阳县期末）某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长AB＝15米，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12米，且吊臂B点距离地面1.5米．
（1）求吊臂最高点A与地面的距离（AO的长度）；
（2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（BD的长度）．
25．（2025秋 衡南县期末）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
一、选择题（共12小题）
1．【答案】D
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵（）2+12＝22，
∴能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，
∴a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°75°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
2．【答案】C
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为12+22≠32，所以不能构成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形；
C、因为32+42＝52，所以能构成直角三角形；
D、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形．
故选：C．
3．【答案】D
根据勾股数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、，，不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、1.5，2.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、52+112≠122，5，12，11不是勾股数，不符合题意；
D、72+242＝252，7，24，25是勾股数，符合题意；
故选：D．
4．【答案】C
根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：A、∵12+12＝2≠22，∴不能作为直角三角形三边长，不符合题意；
B、∵42，∴不能作为直角三角形三边长，不符合题意；
C、∵52+122＝25+144＝169＝132＝169，∴可以作为直角三角形三边长，符合题意；
D、∵52，∴不能作为直角三角形三边长，不符合题意．
故选：C．
5．【答案】A
直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值，
故选：A．
6．【答案】D
由勾股定理即可求出答案．
【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，
故选：D．
7．【答案】C
根据勾股数的定义判断即可．
【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、∵42+52≠62，
∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；
C、∵72+242＝252，
∴7，24，25是勾股数，符合题意；
D、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
8．【答案】B
利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．
【解答】解：A、∵b2＝a2﹣c2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠A＝3x＝45°，∠B＝4x＝60°，∠C＝5x＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
D、∵a：b：c＝5：12：13，∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k，
∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，b2＝（13k）2＝169k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意．
故选：B．
9．【答案】B
连接AB，过点C作CG⊥AB于点G，得到△ACG是含30°的直角三角形，△CGB为等腰直角三角形，再由30°的直角三角形性质以及勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，∠CAB＝60°，连接AB，过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠ACG＝90°﹣60°＝30°，
∴∠GCB＝∠ACB﹣∠ACG＝75°﹣30°＝45°，
∵CG⊥AB，
∴，△CGB为等腰直角三角形，
在直角三角形ACG中，由勾股定理得：，
∴，
故选：B．
10．【答案】A
由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方＝（x﹣3）2﹣82；第二个笔筒中：直径平方＝（x﹣1）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解．
【解答】解：设铅笔长度为xcm，
已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，
∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122，
解得x＝22，
故铅笔的长为22cm，
故选：A．
11．【答案】B
将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为10cm，
则AD＝105（cm）．
又因为CD＝AB＝12cm，
所以AC（cm）．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．
故选：B．
12．【答案】C
由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD﹣CG＝6﹣x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE＝3，
∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，
∴EF＝AE＝3，FG＝CG，
设CG＝x，则：
DG＝CD﹣CG＝6﹣x，FG＝CG＝x，
∴EG＝EF+FG＝3+x，
在Rt△DEG中，DE2+DG2＝EG2，
即32+（6﹣x）2＝（3+x）2，
解得：x＝2，
∴CG＝2，
故选：C．
二、填空题（共8小题）
13．【答案】3．
假设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，根据勾股定理，可求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，可知三角形ABC为直角三角形，
根据勾股定理，得AC2＝AB2+BC2，
设AB的长度为x米，故AC长度为（8﹣x）米，结合BC＝4米，
可得方程（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
故AB的长度为3米，
故答案为：3．
14．【答案】13．
在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE即可．
【解答】解：如图，
小正方形的边长BD＝BC＝1，直角三角形的直角边BE＝AC＝AB+BC＝2BC+BC＝3BC＝3，
在Rt△ABE中，AB＝2BC＝2，
∴根据勾股定理得，AE2＝AB2+BE2＝22+32＝13，
∴AE2＝13．即大正方形的面积为13，
故答案为：13．
15．【答案】9．
由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝36可得出S1的值，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，
即S1+S3＝S2，
∵S2+S1﹣S3＝36，
∴S1＝18，
由图形可知，阴影部分的面积S1，
∴阴影部分的面积18＝9，
故答案为：9．
16．【答案】4cm2．
根据勾股定理和正方形的面积可知，正方形D的面积+正方形E的面积＝正方形C的面积，正方形F的面积+正方形G的面积＝正方形B的面积，正方形B的面积+正方形C的面积＝正方形A的面积，即可解决问题．
【解答】解：如图，
根据勾股定理和正方形的面积可知：
正方形D的面积+正方形E的面积＝正方形C的面积，
正方形F的面积+正方形G的面积＝正方形B的面积，
正方形B的面积+正方形C的面积＝正方形A的面积，
∵所有正方形的面积之和是12cm2，
∴正方形A的面积是124（cm2），
故答案为：4cm2．
17．【答案】．
根据勾股定理求出CD的长，再根据题意得出DC'的长，即可解决问题．
【解答】解：由勾股定理得：CD，
由题意可知，DC'＝DC，
∴点C'表示的实数为，
故答案为：．
18．【答案】36．
根据题意得到AH＝BE＝9，根据正方形ABCD的面积是90，结合勾股定理求出AE的长，得出EH的长，再利用正方形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的，AH＝9，
∴AH＝BE＝9，
∵大正方形ABCD的面积是90，
∴AB2＝90，
∵∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2＝90，
则AE2+92＝90，
解得：AE＝3或AE＝﹣3（不符合题意，舍去），
∴EH＝AH﹣AE＝6，
∴S正方形EFGH＝62＝36．
故答案为：36．
19．【答案】15．
由于倒下部分与地面成30°夹角，利用含30°角的直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，BC＝5米，
∴AB＝2CB＝10米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝15米．
故答案为：15．
20．【答案】13尺．
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
故答案为：13尺．
三、解答题（共5小题）
21．【答案】（1）正确，∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，
∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2．
∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°；
（2）风筝垂直下降的高度为9m．
（1）利用勾股定理的逆定理求解；
（2）先求得FD，再利用勾股定理求得DC′，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度．
【解答】解：（1）他的说法正确．
理由如下：
∵BD＝10m，CD＝24m，BC＝26m，
∴根据勾股定理得，BD2+CD2＝102+242＝100+576＝676＝262＝BC2．
∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°；
（2）根据题意得，BF＝2m，
∵BD＝10m，
∴FD＝10﹣2＝8（m）．
∵FC′＝17m，
∴在Rt△FDC′中，．
∴CC′＝DC﹣DC′＝24﹣15＝9（m），
即风筝垂直下降的高度为9m，
答：风筝垂直下降的高度为9m．
22．【答案】见试题解答内容
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
23．【答案】见试题解答内容
（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可；
（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状；
（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，
∵AB＝15m，AE＝12m，
∴．
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE＝18m．
（2）∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AC＝AB＝15m．
∵AD＝17m，CD＝8m，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ADC是直角三角形．
（3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m，
∴，
由（1）可知，BC＝18m，
∴
∴这块空地得面积为：．
24．【答案】（1）10.5米；
（2）米．
（1）先根据勾股定理求出AE的长，再由AO＝AE+OE即可得出结论；
（2）先由AC＝3米得出CE的长，再由勾股定理求出DE的长，由BD＝DE﹣BE即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB＝15米，BE＝12米，
∴（米），
∴OE＝1.5米，
∴AO＝AE+OE＝9+1.5＝10.5（米），
答：吊臂最高点A与地面的距离是10.5米；
（2）AE＝9米，AC＝3米，
∴CE＝AE﹣AC＝9﹣3＝6（米），
∵CD＝AB＝15米，
∴（米），
∴（米）．
25．【答案】（1）见解答；
（2）海港C受到台风影响；
（3）台风影响该海港持续的时间为3.5h．
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响．
理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D．
∵S△ABCAC BCAB CD，
∴CD240（km），
∵250＞240，
∴海港C受到台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口．
在Rt△CED中，由勾股定理得
ED70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为40km/h，
∴140÷40＝3.5（h）．
∴台风影响该海港持续的时间为3.5h．

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