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专题04 四边形及多边形
一、选择题（共10小题）
1．（2025秋 桥西区期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．（2025秋 宜阳县期末）把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（　　）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．三角形或四边形或五边形
3．（2025秋 通州区期末）若一个五边形的每个内角都是x°，则x的值是（　　）
A．108 B．90 C．72 D．60
4．（2025秋 萧县期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形是（　　）边形
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
5．（2025秋 蓬莱区期末）一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．135°
6．（2025秋 博山区期末）如图，在△ABC中，∠C＝45°，沿虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝（　　）
A．225° B．215° C．205° D．195°
7．（2026 沈丘县一模）已知正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2024秋 昆明校级期末）一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和为（　　）
A．1620° B．1440° C．1260° D．1080°
9．（2025春 文登区期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（　　）
A．180° B．270° C．360° D．540°
10．（2025春 亳州期末）五边形的内角和是（　　）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
二、填空题（共10小题）
11．（2026 重庆模拟）正多边形一个外角的度数是36°，则该正多边形的内角和是 　 　 ．
12．（2026 秦都区校级模拟）已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　 　 边形．
13．（2026 长沙一模）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的内角和等于　 　 ．
14．（2026 雁塔区校级一模）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 　 　 ．
15．（2025秋 江北区校级期末）一个多边形的内角和比它的外角和多180°，则这个多边形的边数为　 　 ．
16．（2025秋 武侯区校级期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是　 　 条．
17．（2025秋 宝鸡校级期末）过八边形的一个顶点的所有对角线，可以将这个八边形分成　 　 个三角形．
18．（2025秋 姜堰区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C的外角是∠C的3倍，则∠C＝　 　 ．
19．（2025秋 海南期末）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是 　 　 ．
20．（2025秋 济宁校级期末）如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝108°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于　 　 ．
三、解答题（共4小题）
21．（2025秋 宜昌期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）多加的那个外角为多少度？
22．（2025秋 浑南区期末）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成10个三角形，那么这个多边形是几边形？
23．（2025春 北林区校级期中）一个多边形，除了一个内角外，其余各内角之和为2750，求这个多边形的边数以及被去掉的那个内角的度数．
24．（2025春 朝阳区校级期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影）
（1）在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了180°．
（2）在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
（3）在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（4）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为1800°，原多边形是　 　 边形．
一、选择题（共10小题）
1．【答案】C
根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值．
【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，
∴n﹣2＝5，即n＝7．
故选：C．
2．【答案】D
沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角上方一点剪，进而得出结论．
【解答】解：如图①沿一个角上方一点剪，剩下的多边形是四边形；
如图②沿一个角剪，剩下的多边形是五边形；
如图③沿对角线剪，剩下的多边形三角形．
故选：D．
3．【答案】A
先根据公式求出五边形的内角和，再除以多边形的内角个数得到每个内角的度数．
【解答】解：∵n边形内角和公式为（n﹣2）×180°，五边形边数为5，
∴五边形内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∵五边形每个内角都是x°，
∴x540＝108，
故选：A．
4．【答案】B
根据从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形最多分成（n﹣2）个三角形进行求解即可．
【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，
∴2023+2＝2025，即这个多边形的边数为2025，
故选：B．
5．【答案】B
首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数，即可解答．
【解答】解：设这个多边形边数为n，则（n﹣2） 180＝360+720，
解得：n＝8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8＝135°，
∴外角为：180°﹣135°＝45°，
故选：B．
6．【答案】A
先根据三角形内角和求出∠A+∠B的度数，再利用四边形的内角和求出∠1+∠2的度数即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝45°，沿虚线剪去∠C，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣45°＝135°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝225°，
故选：A．
7．【答案】C
根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．
【解答】解：正多边形的一个外角等于45°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷45°＝8．
故选：C．
8．【答案】C
多边形的外角和是固定的360°，依此可以先求出多边形的边数．再根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°求出多边形的内角和．
【解答】解：根据题意可知，多边形的边数为360°÷40°＝9，
∴这个多边形的内角和为：180°×（9﹣2）＝180°×7＝1260°．
故选：C．
9．【答案】C
根据三角形外角的性质以及四边形内角和等于360°，即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠E+∠F＝∠ANM，∠ANM+∠A＝∠BMD，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故选：C．
10．【答案】A
根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：五边形的内角和为：（5﹣2） 180°＝3×180°＝540°．
故选：A．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】1440°．
根据正多边形的边数＝360°÷每个外角的度数以及多边形内角和＝（边数﹣2）×180°进行解答．
【解答】解：∵正多边形一个外角的度数是36°，多边形的外角和是360°，
∴该正多边形的边数为：360°÷36°＝10，
∴该正多边形的内角和为：（10﹣2）×180°＝1440°．
故答案为：1440°．
12．【答案】六．
根据题意，设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，可得（n﹣2）×180°＝360°×2，解一元一次方程即可得出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意，得（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得：n＝6，即这个多边形是六边形．
故答案为：六．
13．【答案】1080°
先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．
【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，
则这个多边形是正八边形，
所以该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
14．【答案】12
根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°与外角和定理列出方程，求解即可得到答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得，
（n﹣2）×180°＝5×360°，
解得n＝12，
故答案为：12．
15．【答案】5．
根据题意列出方程（n﹣2）×180°＝360°+180°求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，（n﹣2）×180°＝360°+180°，
解得n＝5，
故答案为：5．
16．【答案】27．
根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成（n﹣2）个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算．
【解答】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为（n﹣2）个，
已知分成7个三角形，得n﹣2＝7，
解得n＝9，
∵n边形的对角线条数公式为，
∴这个n边形的对角线条数，
故答案为：27．
17．【答案】6．
根据多边形的对角线性质，过n边形一个顶点可将其分成（n﹣2）个三角形，即可求得答案．
【解答】解：根据多边形的对角线性质，过八边形的一个顶点的所有对角线可将八边形分成8﹣2＝6个三角形．
故答案为：6．
18．【答案】45°．
根据∠C和与它相邻的外角的和是180°计算即可．
【解答】解：根据题意得∠C+3∠C＝180°，
解得∠C＝45°，
故答案为：45°．
19．【答案】540°
根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°即可求出结果．
【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
故答案为：540°．
20．【答案】288°．
先求出∠A的外角，再用360°减去该外角，即可得到∠1+∠2+∠3+∠4．
【解答】解：∵∠A＝108°，
∴180°﹣108°＝72°，即∠A的外角为108°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣72°＝288°．
则∠1+∠2+∠3+∠4的值为288°．
故答案为：288°．
三、解答题（共4小题）
21．【答案】（1）见解析；
（2）十三边形；
（3）40°．
（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【解答】解：（1）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和；
（2）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，2020÷180＝11……40，所以n﹣2＝11，所以n＝13故多边形是十三边形；
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
22．【答案】见试题解答内容
经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2＝10，
解得：n＝12．
所以这个多边形的边数是12，
答：这个多边形是十二边形．
23．【答案】这个多边形的边数为17；被去掉的那个内角的度数为130°．
设这个多边形的边数是n，则其内角和为（n﹣2） 180°，根据“2570°＜这个多边形的内角和＜2570°+180°”列出不等式组，解不等式组求得n的取值范围，根据n为整数即可得n的值；然后根据求得n的值计算出这个多边形的内角和，减去2570°即可得答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则其内角和为（n﹣2） 180°．依题意，得2570°＜（n﹣2） 180°＜2570°+180°，
解这个不等式组，得：16n＜17，
因为n≥3，且n是整数，
所以n＝17，即这个多边形的边数为17，
被去掉的那个内角的度数为：（17﹣2） 180°﹣2570°＝130°．
24．【答案】（1）
；
（2）
；
（3）
．
（4）11或12或13．
（1）使得原多边形增加一条边，即可求解；
（2）不改变原多边形的边数，即可求解；
（3）使得原多边形减少一条边，即可求解；
（4）由多边形内角和公式得（n﹣2） 180°＝1800°，按不同截法，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了180，
（2）由题意得：画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等，
（3）由题意得：画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°，
（4）设新多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝1800°，
解得：n＝12，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为11，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为12，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为13，
故答案为：11或12或13．

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