资源简介

专题06 平行四边形中的探究性问题
一、选择题（共6小题）
1．（2025秋 平顶山期中）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（　　）
A．有一个角是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
2．（2025秋 嘉兴期末）如图，正方形EFGH的顶点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AB＝a，则正方形EFGH面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025秋 东营区期末）如图，正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②点G在运动过程中，始终满足∠GAD＝∠GFE；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值1；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
4．（2025秋 潍坊期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝10，BD＝24．点P是边BC上的动点，过点P作PM⊥BO，垂足为点M，PN⊥CO，垂足为点N，连结MN，则MN的最小值为（　　）
A． B． C． D．13
5．（2025秋 丹阳市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是BC边上一个动点，连接AP，过点D作DQ⊥AP于点Q，则DQ的最小值为（　　）
A． B．2 C．5 D．
6．（2025秋 龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　）
①线段EF的长度先减小后增大；
②当时，EF的值最小；
③当t＝6时，EF＝5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（共8小题）
7．（2025秋 呈贡区校级月考）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果AC⊥BD且HF＝8，则EG＝　 　 ．
8．（2025春 苏州期中）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，当四边形ABCD的对角线AC与BD满足 　 　 条件时，就能保证四边形EFGH是菱形．
9．（2025春 武鸣区期末）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为16，则第3个矩形的面积为 　 　 ．
10．（2026 西宁校级一模）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P在线段BC上从点B向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s．则点Q运动速度为　 　 cm/s时，△BPE与△CQP全等．
11．（2025秋 浔阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝120°，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线AC向终点C运动．设点P的运动时间为t秒．在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线C﹣D﹣A﹣B运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，则当PQ与菱形ABCD的边垂直时，t的值是　 　 ．
12．（2026 永寿县校级模拟）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的动点，且AE＝CF，BM⊥EF于点M，连接CM．若正方形ABCD的面积为8，则CM的最小值为　 　 ．
13．（2025秋 仪征市期末）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的动点（不与端点重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作矩形AEFG，点F在CD边上，若AB＝3，则CF的最大值为　 　 ．
14．（2025秋 牟平区期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，且OE＝2.5，EF＝3，则菱形ABCD的面积为　 　 ．
三、解答题（共6小题）
15．（2025 惠州模拟）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是　 　 ．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图，已知四边形ABCD是“中方四边形”、M、N分别是AB、CD的中点．
①若线段MN的长度为6，求BD的长；
②若线段BD的长度为，请直接写出AB+CD的最小值．
16．（2025春 南京月考）如图， ABCD的对角线交于点O，点E、F、G、H分别是AD、BC、BO、DO的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当 ABCD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形？请说明理由．
17．（2025春 鼓楼区校级月考）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，我们称四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形．
（1）若四边形ABCD中，AC⊥BD，确定中点四边形EFGH的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，若AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值为 　 　 ．
18．（2025秋 盐湖区期末）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点P为AC的中点．将线段AB沿射线BC平移得到线段DE，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E．当线段DE恰好经过点P时，连接AD，AE，CD．
（1）判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝4，请直接写出△PEC的面积．
19．（2025秋 太原期末）如图，矩形ABCD中，点E是AD边的中点，连接EB，EC，点F是矩形外一点，连接BF，CF．若BF∥CE，CF∥BE，判断四边形BECF的形状，并说明理由．
20．（2025秋 潍坊期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，以CD为对角线作正方形CGDH．
（1）判断四边形CEDF的形状，并证明；
（2）当正方形CGDH与△ABC面积相等时，连接AG，GH，HB，判断四边形ABHG的形状，并证明．
一、选择题（共6小题）
1．【答案】C
根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．
【解答】解：要是四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接AC、BD，两线交于O，
根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EFAC，GH∥AC，GHAC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形，
∴EF∥AC，EH∥BD，
∵BD⊥AC，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF＝90°，
故选：C．
2．【答案】D
根据正方形的性质可得EH＝GH，∠A＝∠D＝90°，∠EHG＝90°，再证明△AHE≌△DGH（AAS），求得DH＝AE，AH＝DG，再设AE＝x，则AH＝a﹣x，再利用勾股定理列式求出EH2＝AE2+AH2，即为正方形EFGH的面积，再利用二次函数的最值问题解答即可．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，∠EHG＝90°，EH＝GH，
∴∠AHE+∠DHG＝∠DGH+∠DHG＝90°，
∴∠AHE＝∠DGH，
在△AHE和△DGH中，
，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴AH＝DG，DH＝AE，
∵正方形ABCD的边长AB＝a，设AE＝x，
∴AD＝AB＝a，AH＝a﹣x，
在直角三角形AEH中，由勾股定理得：EH2＝AE2+AH2＝x2+（a﹣x）2＝2x2﹣2ax+a2，
∴S正方形EFGH，
∴当时，正方形EFGH的面积最小，最小面积为：，
故选：D．
3．【答案】D
先证明四边形GFCE是矩形，再证明GE＝GF，则四边形CEGF是正方形，即可判定①正确；连接GC，由四边形GFCE是矩形，得EF＝GC，再证明△ADG≌△CDG（SAS），得∠DAG＝∠DCG，再证明△EFG≌△GCE（SSS），推出∠GAD＝∠GFE，即可判定②正确；证明GE＝ED，GF＝CE，从而得GE+GF＝ED+CE＝CD＝1，即可判定③正确；根据EF＝GC，所以当CG最小时，EF最小，所以当CG⊥BD时，CG最小，，求得，即得线段EF的最小值为，即可判定④正确．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，G是对角线BD上一动点，
∴∠C＝90°，∠CBG＝∠CDG＝∠ADG＝45°，AD＝DC，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠GED＝∠GFC＝∠GFB＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，∠EGD＝∠EDG＝45°，∠FGB＝∠CBG＝45°，
∴，，
∵G为BD的中点，
∴DG＝BG，
∴GE＝GF，
∴四边形GFCE是正方形，
故①正确；
如图，四边形GFCE是矩形，连接GC，
∴EF＝GC，
在△ADG与△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG，
∵四边形CFGE是矩形，
∴CE＝FG，CG＝EF，
在△EFG和△GCE中，
，
∴△EFG≌△GCE（SSS），
∴∠EFG＝∠ECG，
∴∠GAD＝∠GFE，
故②正确；
∵∠EGD＝∠EDG＝45°，
∴GE＝ED，
∵四边形GFCE是矩形，
∴GF＝CE，
∴GE+GF＝ED+CE＝CD＝1，即GE+GF的值为定值1，
故③正确；
∵EF＝GC，
∴当CG最小时，EF最小，
∴当CG⊥BD时，CG最小，在Rt△BCD中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段EF的最小值为，
故④正确；
∴正确的有①②③④，
故选：D．
4．【答案】A
连接OP，由菱形的性质得出BD⊥AC，OBBD＝12，OCAC＝5，由勾股定理得出BC＝5，证明四边形PMON为矩形，得出MN＝PO，即当PO最小时，MN的值最小，由垂线段最短可得，当OP⊥BC时，此时OP的值最小，MN的值最小，再由等面积法计算即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝8，
∴BD⊥AC，OBBD＝12，OCAC＝5，
∴∠BOC＝90°，
∴BC，
∵PM⊥BO，PN⊥CO，
∴∠PMO＝∠PNO＝∠BOC＝90°，
∴四边形PMON为矩形，
∴MN＝PO，
∴当PO最小时，MN的值最小，
由垂线段最短可得，当OP⊥BC时，此时OP的值最小，MN的值最小，
∵，
∴OP，
∴MN的最小值为，
故选：A．
5．【答案】D
根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质以及反比例函数的性质即可得到结论．
【解答】解：设AP＝x，DQ＝y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵DQ⊥AP，
∴∠AQD＝∠B＝90°，
∴∠BAP+∠DAQ＝∠DAQ+∠ADQ＝90°，
∴∠BAP＝∠ADQ，
∴，
∴，
∴y，
∴y随x增大而减小，
∴当AP最大时，DQ最小，
∵点P是BC边上一个动点，
∴当点P与点C重合时，AP＝AC，
此时AP最大5，
∴DQ的最小值，
故选：D．
6．【答案】C
①先证明四边形AEPF是矩形，根据矩形对角线相等，线段EF的变化与线段AP变化一致，得到结论；
②当AP⊥BC时，线段AP的值最小，得到线段EF的值最小，根据直角三角形的性质得到当时，EF的值最小，故②符合题意；
③得到BP＝6，如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H，则BH，AH，根据勾股定理得到EF＝AP.故③不符合题意．
【解答】解：①如图，连接AP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∠A＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∴在点P的运动过程中，线段AP的值先减小，后增大，
∴在点P的运动过程中，线段EF的值先减小，后增大，故①符合题意；
②当AP⊥BC时，线段AP的值最小，
∴线段EF的值最小，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
∵∠APB＝90°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP，
∴，
∴当时，EF的值最小，故②符合题意；
③∵t＝6，
∴BP＝6，
如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H，
则BH，AH，
∴PH＝BP﹣BH，
∴EF＝AP.故③不符合题意；
故选：C．
二、填空题（共8小题）
7．【答案】8．
连接EG、FH，根据三角形中位线定理得出，，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，再由矩形的判定得出四边形EFGH为矩形，利用其性质即可求解．
【解答】解：如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG、FH，
∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△ADC的中位线，
∴，，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD且HF＝8，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH为矩形，
∴EG＝FH＝8，
故答案为：8．
8．【答案】AC＝BD．
根据三角形中位线定理得到EFBD，FGAC，GHBD，EHAC，根据菱形的判定定理判断即可．
【解答】解：当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，
理由如下：∵E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点，
∴EFBD，FGAC，GHBD，EHAC，
当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形，
故答案为：AC＝BD．
9．【答案】1．
标记各点，并连接对角线交于点O，则四边形AA1OB1是矩形，根据矩形性质，得到A2是OA的中点，同理可得B2、C2、D2分别为OB、OC、OD的中点，再根据三角形中位线定理，得出第二个矩形的面积＝第一个矩形的面积的，进而推出第n个矩形的面积＝第一个矩形的面积的，即可求解．
【解答】解：如图，标记各点，并连接对角线AC，BD，A1C1，B1D1，交于点O，则四边形AA1OB1是矩形，
∴对角线A1B1、OA互相平分，即对角线A1B1、OA的交点为A2，
∴A2是OA的中点，
同理可得，B2、C2、D2分别为OB、OC、OD的中点，
又∵A2、B2、C2、D2分别为A1B1、B1C1、C1D1、A1D1的中点，
∴A2B2、B2C2、C2D2、A2D2分别为△OAB、△OBC、△OCD、△OAD的中位线，
∴、、、，
∴矩形A2B2C2D2的面积为，
即第二个矩形的面积＝第一个矩形的面积的，
同理可得，第三个矩形的面积＝第一个矩形的面积的，
……，
观察发现，第n个矩形的面积＝第一个矩形的面积的，
∵第一个矩形的面积为16，
∴第3个矩形的面积为，
故答案为：1．
10．【答案】18或．
设P运动的时间为ts，由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可求出t的值．
【解答】解：分两种情况：
①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，
∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴t＝2÷2＝1（s），
∴CQ＝BP＝2cm，
∴DQ＝20﹣2＝18（cm），
∴Q点运动速度为18÷1＝18（cm/s）；
②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t＝8，
解得：t＝4（s），
∴BE＝CQ＝20﹣6＝20﹣4v，
∴Q点运动速度为6÷4（cm/s）；
故答案为：18或．
11．【答案】或或．
分三种情况：当PQ⊥CD时，当PQ⊥AD时，当PQ⊥AB时，分别讨论即可求解．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠DAB＝120°，
则∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC均为等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠ACD＝∠DAC＝∠BAC＝60°，
当PQ⊥CD时，则∠CPQ＝30°，
∴CP＝2CQ，
此时AP＝2t，CQ＝6t，则CP＝4﹣2t，
∴4﹣2t＝2×6t，解得：；
当PQ⊥AD时，则∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
此时AP＝2t，CD+DQ＝6t，则AQ＝8﹣6t，
∴2t＝2×（8﹣6t），解得：；
当PQ⊥AB时，则∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
此时AP＝2t，CD+AD+AQ＝6t，则AQ＝6t﹣8，
∴2t＝2×（6t﹣8），解得：；
综上，当PQ与菱形ABCD的边垂直时，或或．
故答案为：或或．
12．【答案】1．
如图，连接AC交EF于点O．连接OB，取O不到中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．求出CJ，JM可得结论．
【解答】解：如图，连接AC交EF于点O．连接OB，取O不到中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≡△CFO（AAS），
∴OA＝OC，
∵正方形ABC端点面积为8，
∴AB＝BC＝2，
∵∠ABC＝90°，
∴ACAB＝4，
∵AO＝OC，
∴BO平分∠ABC，BOAC＝2，
∴∠ABO＝∠OBC＝45°，
∵BM⊥EF，
∴∠BMO＝90°，
∴JMOB＝1，
∵JH⊥BC，
∴JH＝BHBJ，
∴CH＝2，
∴CJ，
∵CM≥CJ﹣JM1，
∴CM的最小值为1．
故答案为：1．
13．【答案】．
设BE＝x，可证明△ABE∽△ECF得到，则可推出，据此可得答案．
【解答】解：设BE＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝3，∠B＝∠C＝90°，
∵四边形AEFG是矩形，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°＝∠BEA+∠CEF，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴，即，
∴，
∵，
∴当时，CF有最大值，最大值为，
故答案为：．
14．【答案】24．
由直角三角形的性质得到AB的长度，根据三角形中位线定理得到AC＝2EF＝4，由菱形的面积公式即可求出菱形ABCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵E为AB的中点，OE＝2.5，
∴AB＝2OE＝5，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AOAC＝3，BD＝2OB，
∵OB4，
∴BD＝2OB＝8，
∴菱形ABCD的面积BD AC6×8＝24，
故答案为：24．
三、解答题（共6小题）
15．【答案】（1）D；
（2）①；
②AB+CD的最小值是8．
（1）根据中方四边形的定义，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质进行辨析即可；
（2）①如图所示，记AD，BC的中点为P，Q，连接BD，根据中方四边形的性质，等腰直角三角形的性质得到，由中位线的性质得到，即可求解；
②如图所示，设AC，BD交于点O，连接OM，OB，根据中方四边形的性质，得到△AOB，△COD是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到AB+CD＝2OM+2ON＝2（OM+ON），当OM+ON取得最小值时，AB+CD有最小，OM+ON≥MN，当点M，O，N共线时，OM+ON＝MN取得最小值，最小值为MN的值，再根据①的计算方法即可求解．
【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，且AB≠BC，点E，F，G，H是边AB，BC，CD，AD的中点，连接AC，BD，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴，，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理，EH∥FG，EH＝FG，
∵AB≠BC，则AC≠BD，
∴EF≠FG，
∴平行四边形ABCD不是“中方四边形”，
故选项A不符合题意；
如图2，四边形ABCD是矩形，且AB≠BC，点E，F，G，H是边AB，BC，CD，AD的中点，连接AC，BD，则AC＝BD，EF，BD交于点K，则∠ABC＝90°，
同理，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∵EH∥BD，
∴∠FEH＝∠EKB≠90°，
∴矩形ABCD不是“中方四边形”，
故选项B不符合题意；
如图3，四边形ABCD是菱形，且AC≠BD，点E，F，G，H是边AB，BC，CD，AD的中点，连接AC，BD，
同理，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC≠BD，
∴EF≠FG，
∴菱形ABCD不是“中方四边形”，
故选项C不符合题意；
如图4，四边形ABCD是正方形，且AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H是边AB，BC，CD，AD的中点，连接AC，BD，EF，BD交于点K，则∠ABC＝90°，
同理，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∵EF∥AC，AC⊥BD，
∴EF⊥BD，∠EKB＝90°，
∵EH∥BD，
∴∠FEH＝∠EKB＝90°，
∴菱形EFGH是正方形，
∴正方形ABCD是“中方四边形”，
故选项D符合题意；
故答案为：D；
（2）①如图5，记AD，BC的中点为P，Q，连接BD，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M、N、P、Q分别是AB、CD、AD、BC的中点，
∴四边形MPNQ是正方形，
∴MP＝PN，∠MPN＝90°，
在直角三角形MPN中，线段MN的长度为6，
由勾股定理得：MN2＝NP2+MP2，
∴，
∵，
∴；
②AB+CD的最小值为8．理由如下：
如图6，设AC，BD交于点O，连接OM，OB，
∵四边形MPNQ是中方四边形，
∴∠MPN＝90°，
∵PM∥BD，
∴BD⊥AC，垂足为点O，
∴△AOB，△COD是直角三角形，
∵M、N分别是AB、CD的中点，
∴，则AB＝2OM，
同理，，CD＝2ON，
∴AB+CD＝2OM+2ON＝2（OM+ON），
∴当OM+ON取得最小值时，AB+CD有最小，
∵OM+ON≥MN，
∴当点M，O，N共线时，OM+ON＝MN取得最小值，最小值为MN的值，
∵，
∴，
∴，
∴AB+CD的最小值为8．
16．【答案】（1）见解析；
（2）当BD＝2AB时，四边形EGFH是矩形，理由见解析．
（1）由三角形中位线定理得GF∥OC，GFOC，同理EH∥OA，EHOA，再由平行四边形的性质得OA＝OC，则GF∥EH，GF＝EH，即可得出结论；
（2）连接EF，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，再证四边形ABFE是平行四边形，得AB＝EF，然后证GH＝EF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵G，F分别为BO，BC的中点，
∴GF为△BOC的中位线，
∴GF∥OC，GFOC，
∵点E、H分别是AD、DO的中点．
∴EF为△AOD的中位线，
∴EH∥OA，EHOA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴GF∥EH，GF＝EH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：当BD＝2AB时，四边形EGFH是矩形；理由如下：
如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，
∵E，FH分别是AD，BC的中点，
∴AE＝BF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB＝EF，
∵G，H分别是BO，DO的中点，
∴BG＝OG＝OH＝DH，
∴BD＝2GH，
∵BD＝2AB，
∴GH＝AB，
∴GH＝EF，
∴平行四边形EGFH是矩形．
17．【答案】（1）中点四边形EFGH是矩形，见解析；
（2）．
（1）连接AC，BD，根据中位线定理，得出EF∥AC，GH∥AC，，进而得出EF∥GH，EF＝GH，结合AC⊥BD推出EF⊥GF，即可得出结论；
（2）过点D作DH∥AC，且DH＝AC＝4，连接BH，则四边形ACHD是平行四边形，可得CH＝AD，可推出当C、B、H三点共线时，CH+BC有最小值，即此时AD+BC有最小值，最小值为BH的长，再证明HD⊥BD，则由勾股定理得到，则AD+BC的最小值为．
【解答】解：（1）四边形EFGH是矩形；理由如下：
E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，如图1，连接AC，BD，
∴EF，GH，GF分别是△ABC，△ACD，△BCD的中位线，
∴EF∥AC，GH∥AC，GF∥BD，，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵AC⊥BD，
∴EF⊥GF，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）如图2，过点D作DH∥AC，且DH＝AC＝4，连接BH，CH，
∴四边形ACHD是平行四边形，
∴CH＝AD，
∴AD+BC＝CH+BC，
∴当C、B、H三点共线时，CH+BC有最小值，即此时AD+BC有最小值，最小值为BH的长，
∵AC⊥BD，
∴HD⊥BD，
在直角三角形BDH中，由勾股定理得：，
∴AD+BC的最小值为，
故答案为：．
18．【答案】（1）四边形ADCE是矩形，
由平移得AB＝DE，AD∥BC，
∴∠ADP＝∠PEC，∠DAP＝∠PCE，
∵点P为AC的中点，
∴PA＝PC，
∴△PAD≌△PCE（AAS），
∴AD＝CE，
∵AD∥EC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，AB＝DE
∴AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）．
（1）根据平移的性质得到AD∥BC，AB＝DE，根据平行线的性质得到∠DAP＝∠PCE，∠ADP＝∠PEC，根据线段中点的定义得到PA＝PC，证明△PAD≌△PCE（AAS），得到AD＝CE，进而证明四边形ADCE是平行四边形，根据AB＝AC，AB＝DE得到AC＝DE，即可证明四边形ADCE是矩形；
（2）根据矩形的性质得到AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一得到E为BC中点，即，根据勾股定理求出，进而求出，证明PE是△ABC的中位线，得到PE∥AB，进而证明△ABC∽△PEC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：（1）四边形ADCE是矩形，理由如下：
由平移得AB＝DE，AD∥BC，
∴∠ADP＝∠PEC，∠DAP＝∠PCE，
∵点P为AC的中点，
∴PA＝PC，
∴△PAD≌△PCE（AAS），
∴AD＝CE，
∵AD∥EC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，AB＝DE
∴AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）∵四边形ADCE是矩形，
∴∠AEC＝90°，
即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴E为BC中点，
∴，
∴，
∴，
∵点P为AC的中点，
∴PE是△ABC的中位线，
∴PE∥AB，
∴△ABC∽△PEC，
∵，
∴，
即若AB＝6，BC＝4，则．
19．【答案】四边形BECF是菱形．理由如下：
∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°．
∵E是AD的中点，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE＝CE，
∵四边形BECF是平行四边形，
∴ BECF是菱形．
先证明四边形BECF是平行四边形，然后根据矩形的性质证明△ABE≌△DCE（SAS），则BE＝CE，即可证明四边形BECF为菱形．
【解答】解：四边形BECF是菱形．理由如下：
∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°．
∵E是AD的中点，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE＝CE，
∵四边形BECF是平行四边形，
∴ BECF是菱形．
20．【答案】（1）四边形CEDF的形状是菱形，证明如下：
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴CEAC，CFBC，DE，DF都是△ABC的中位线，
∴DEBC，DFAC，
∵AC＝BC，
∴CE＝DF＝CF＝DE，
∴四边形CEDF是菱形；
（2）四边形ABHG的形状是矩形，证明如下：
连接CD交GH于点O，如图所示：
设OC＝a，
∵四边形CGDH是正方形，
∴CD⊥GH，OD＝OH＝OG＝OC＝a，
∴CD＝2a，GH＝2a，
∴正方形CGDH的面积为：GH×CD2a×2a＝2a2，
在△ABC中，AC＝BC，点D是AB的中点，
∴AD＝BDAB，CD⊥AB，
∴△ABC的面积为：AB×CDAB×2a＝a×AB，
∵正方形CGDH与△ABC面积相等，
∴2a2＝a×AB，
∴AB＝2a，
∴AD＝BDAB＝a，
∴OG＝AD，OH＝BD，
∵CD⊥GH，CD⊥AB，
∴GH∥AB，∠ADO＝∠BDO＝90°，
∴四边形ADOG和四边形BDOH都是平行四边形，
又∵∠ADO＝∠BDO＝90°，
∴平行四边形ADOG和平行四边形BDOH都是矩形，
∴∠DAG＝∠AGO＝∠DBH＝∠BHO＝90°，
∴四边形ABHG是矩形．
（1）根据点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点得CEAC，CFBC，DE，DF都是△ABC的中位线，进而得DEBC，DFAC，再根据AC＝BC得CE＝DF＝CF＝DE，据此得四边形CEDF是菱形；
（2）连接CD，交GH于点O，设OC＝a，根据正方形性质得CD⊥GH，OD＝OH＝OG＝OC＝a，则CD＝2a，GH＝2a，正方形CGDH的面积为GH×CD＝2a2，△ABC的面积为AB×CD＝a×AB，根据正方形CGDH与△ABC面积相等得AB＝2a，由此得OG＝AD，OH＝BD，再根据CD⊥GH，CD⊥AB得四边形ADOG和四边形BDOH都是矩形，则∠DAG＝∠AGO＝∠DBH＝∠BHO＝90°，据此得四边形ABHG是矩形．
【解答】解：（1）四边形CEDF的形状是菱形，证明如下：
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴CEAC，CFBC，DE，DF都是△ABC的中位线，
∴DEBC，DFAC，
∵AC＝BC，
∴CE＝DF＝CF＝DE，
∴四边形CEDF是菱形；
（2）四边形ABHG的形状是矩形，证明如下：
连接CD交GH于点O，如图所示：
设OC＝a，
∵四边形CGDH是正方形，
∴CD⊥GH，OD＝OH＝OG＝OC＝a，
∴CD＝2a，GH＝2a，
∴正方形CGDH的面积为：GH×CD2a×2a＝2a2，
在△ABC中，AC＝BC，点D是AB的中点，
∴AD＝BDAB，CD⊥AB，
∴△ABC的面积为：AB×CDAB×2a＝a×AB，
∵正方形CGDH与△ABC面积相等，
∴2a2＝a×AB，
∴AB＝2a，
∴AD＝BDAB＝a，
∴OG＝AD，OH＝BD，
∵CD⊥GH，CD⊥AB，
∴GH∥AB，∠ADO＝∠BDO＝90°，
∴四边形ADOG和四边形BDOH都是平行四边形，
又∵∠ADO＝∠BDO＝90°，
∴平行四边形ADOG和平行四边形BDOH都是矩形，
∴∠DAG＝∠AGO＝∠DBH＝∠BHO＝90°，
∴四边形ABHG是矩形．

展开更多......

收起↑