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2025-2026学年广东省广州市黄埔区玉岩中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设复数z的共轭复数为，且满足，i为虚数单位，则复数的虚部是（　　）
A. B. C. D.
2.如图，△O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中O′A′=A′B′=2，∠O′A′B′=90°，则这个平面图形的周长是（　　）
A.
B.
C.
D. 4+2+2
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a=4，b=5，c=6，则sinC=（　　）
A. B. C. D.
4.在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，，点F是线段的DE中点，若=，则μ=（　　）
A. B. 1 C. D.
5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，则其体积为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为（　　）
A. 1
B. 2
C.
D.
7.已知P是边长为2的正八边形ABCDEFGH内的一点，O为其中心，则的取值范围是（　　）
A. B.
C. （-2，4） D. （-4，4）
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为（　　）（≈1.732）
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若z1，z2∈C，则下列结论正确的是（　　）
A. |z1z2|=|z1||z2| B. 若|z1|=|z2|，则z1=z2或z1=-z2
C. 若|z1-z2|=|z1+z2|，则z1 z2=0 D. 若，则
10.如图，已知圆台形水杯（不计厚度）内盛有牛奶，杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面到杯底的距离为水杯高度的一半，则（　　）
A. 该水杯的侧面积为12π
B. 该水杯中牛奶的体积为
C. 该水杯中牛奶的体积为3π
D. 该水杯外接球的表面积为
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC可以是钝角三角形
B. 若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解
C. 若，且，则△ABC为直角三角形
D. 若△ABC平面内有一点O满足：，且，则△ABC为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复数范围内，方程x2-4x+5=0的解为 ， .
13.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点ABCD处，碳原子位于正四面体的中心O处.若正四面体ABCD的棱长为1，则平面OAB和平面OCD位于正四面体内部的交线长度为 .
14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，且2S=a2-（b-c）2，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知向量与的夹角，且，.
（1）在上的投影向量；
（2）求向量与夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
如图所示，多面体A1B1D1DCBA是由长方体ABCD-A1B1C1D1沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中AB=4，AD=3，AA1=2，E为B1D1的中点，过A，D，E的平面交CD1于F.
（1）求该多面体A1B1D1DCBA的体积；
（2）求证：B1C∥平面A1DE；
（3）判断直线EF与直线B1C的位置关系，并对你的结论加以证明.
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC．
（1）求A；
（2）若a+b=2c，求sinC．
18.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,△ABC所在平面内有一点D满足=，且CD=2.
（1）若∠ACB=60°，求△ABC面积的最大值；
（2）若∠CDB=120°，当取得最小值时，求BD的值.
19.(本小题17分)
如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，E，F分别为A'B'，B'C'的中点，点G满足.
（1）若，证明：EG∥平面D'AC；
（2）连接BD，点M在线段BD上，且满足D'M∥平面EFG.当时，求D'M长度的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】BD
11.【答案】BD
12.【答案】2+i
2-i

13.【答案】
14.【答案】[2，）
15.【答案】
16.【答案】20；
证明见解析；
直线EF∥直线B1C，证明见解析．
17.【答案】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
又（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC，
则sin2B+sin2C-2sinBsinC=sin2A-sinBsinC，
∴由正弦定理得：b2+c2-a2=bc，
∴cosA===，
∵0＜A＜π，
∴A=．
（2）∵a+b=2c，A=，
∴由正弦定理得，
∴，
即，
即，
即sin（C-）=，
∵，
∴，
∴C-=，C=，
∴sinC=sin（）
=sincos+cossin
=+=．
18.【答案】；
．
19.【答案】证明：（1）连接A′B，因为E为A′B′的中点，当，即时，G为B′B的中点，
所以EG∥A′B，
又A′D′∥BC且A′D′=BC，所以四边形A′D′CB为平行四边形，
所以A′B∥D′C，
所以EG∥D′C，
又EG 平面D′AC，D′C 平面D′AC，所以EG∥平面D′AC；
解：（2）当时G为BB′的中点，连接B′D′交EF于点H，连接HG，
连接A′C′交B′D′于点O1，取BD的中点O2，连接BO1、D′O2，
因为E，F分别为A′B′，B′C′的中点，所以EF∥A′C′，则H为B′O1的中点，所以HG∥BO1，
又BO2∥D′O1且BO2=D′O1，所以O2BD′O1为平行四边形，所以BO1∥D′O2，
所以GH∥D′O2，
又D′M∥平面EFG，平面D′DBB′∩平面EFG=GH，D′M 平面D′DBB′，所以D′M∥GH，所以M和O2重合，
又BD==2，
此时；
当λ=1时，G与B点重合，在DB上取点M，使得，连接D′M，
由前述说明可知H为B′O1的中点，则，
又，所以D′H=BM，又D′B′∥BD，
所以四边形D′HBM为平行四边形，所以D′M∥HB，
又HB 平面EFG，D′M 平面EFG，所以D′M∥平面EFG，
所以，
综上可得当时，D′M长度的取值范围为．
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