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2025-2026学年吉林省吉林市丰满区松花江中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设f（x）是可导函数，且=2，则f′（1）=（　　）
A. 2 B. - C. -1 D. -2
2.已知随机变量X的分布规律为P（X=i）=ai2（i=1，2，3），则P（X=2）=（　　）
A. B. C. D.
3.某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（　　）
A. 72 B. 54 C. 48 D. 36
4.若，则a0+a2+a4=（　　）
A. -40 B. 40 C. 41 D. 82
5.已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用A1表示事件“从甲罐出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6.若函数y=f（x）的导函数y=φ（x）=f′（x）图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. φ′（x）＜0的解集为（-∞，-3）
B. 函数y=f（x）有2个极值点
C. 函数y=f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）
D. -3是函数y=f（x）的极小值点
7.已知函数存在单调递减区间，则a的取值范围是（　　）
A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1） D. （-∞，-1]
8.已知函数f（x）=ax2+2ax-1，，若 x1∈[1，2]， x2∈[1，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知展开式中各项二项式系数之和为128，则（　　）
A. n=7 B. 展开式的各项系数之和是-1
C. 展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D. 展开式中无常数项
10.下列说法正确的是（　　）
A. 设随机变量X服从二项分布B（6，），则
B. 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜4）=0.9，则P（0＜X＜2）=0.4
C. 甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D. E（2X+3）=2E（X）+3，D（2X+3）=2D（X）+3
11.已知x-lny＞y-lnx,则（　　）
A. B. C. ln（x-y）＞0 D. x3＞y3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是f（x）的导函数），则f（1）= .
13.已知直线y=x+t是曲线y=ln（x-1）和y=ax2-3x的公切线，则a+t的值为______.
14.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则P（B|A）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数在x=-3时取得极值13.
（1）求a,b的值；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值.
16.(本小题15分)
已知.
（1）求a2的值；
（2）求a0+a1+ +a10的值；
（3）求|a1|+|a2|+ +|a10|的值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=x2-ax+12lnx（a∈R），曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为4．
（1）求切线l的方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≤x2+bx恒成立，求实数b的取值范围．
18.(本小题17分)
DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心.DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训.
（Ⅰ）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门.从这6名部门领导中随机选取2人，记X表示选取的2人中来自A部门的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.
（i）求每位员工经过培训合格的概率；
（ii）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用.试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）.
19.(本小题17分)
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量X服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布（记作X～P（λ）），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数.
（1）当λ≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似，当λ≥50时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为X～N（λ，λ）.若X P（81），求P（90＜X＜99）的值；
（2）设X～B（n,p），当p≤0.05且n≥20时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中λ=E（X）.
某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为产品中的次品数，按泊松分布近似计算.
（i）这1000件产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得P（X=i）最大时的i值.
（参考数据：e-3≈0.05；若X N（μ，σ2），则有P（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973）
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ABC
11.【答案】BD
12.【答案】1
13.【答案】0
14.【答案】30

15.【答案】（1）已知函数在x=-3时取得极值13，
则f（-3）=-9+9a-3b+4=13，
又f′（x）=x2+2ax+b,
则f′（-3）=9-6a+b=0，
解得a=1，b=-3．
（2）由（1）知f′（x）=x2+2x-3=（x+3）（x-1），
令f′（x）=0，
解得x1=-3，x2=1，
当x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（1，+∞），
当x∈（-3，1）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递减区间为（-3，1），
所以f（x）在[-1，1]上单调递减，在（1，2]上单调递增，
又因为，，
所以f（x）在[-1，2]上的最大值为，最小值为．
16.【答案】180；
1；
59048．
17.【答案】（1）解：函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，，
由题意知，f'（1）=14-a=4，所以a=10，
故f（x）=x2-10x+12lnx，所以f（1）=-9，切点坐标为（1，-9），
故切线l的方程为y=4x-13；
（2）解：由（1）知，f（x）=x2-10x+12lnx（x＞0），
所以f（x）≤x2+bx，可化为：12lnx-10x≤bx，
即在（0，+∞）上恒成立，
令，则，
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减，
所以当x=e时，函数g（x）取得最大值，
故当时，在（0，+∞）上恒成立，
所以实数b的取值范围是．
18.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1；
（Ⅱ）；（ii）1100．
19.【答案】解：（1）当λ≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似，
当λ≥50时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为X～N（λ，λ）．
∵X P（81），81≥50，
∴泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为X N（81，81），
即μ=81，σ=9．
∴P（90＜X＜99）=P（μ+σ＜X＜μ+2σ），
由P（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，得：
，
即P（90＜X＜99）=P（μ+σ＜X＜μ+2σ）≈0.1359．
（2）X～B（n,p），当p≤0.05且n≥20时，二项分布可近似看作泊松分布，
即，其中λ=E（X）．
某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为产品中的次品数，
（i）由题意知n=1000，p=0.003，且X B（1000，0.003），
又n=1000≥20，p=0.003≤0.05，所以二项分布可近似看作泊松分布，
∴λ=E（X）=np=3，
∴，
∴这1000件产品中恰有2件次品的概率为0.225．
（ii）∵P（X=i）最大，∴，
即，解得2≤i≤3，
又i∈N，∴P（X=i）最大时的i值为2或3．
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