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2025-2026学年山西省太原师范学院附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知6是t和2的等差中项，则t的值为（　　）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 11
2.函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（　　）
A. B. C. （-∞，-e） D.
3.在等比数列{an}中，a5 a6 a7=8，a2=18，则a4=（　　）
A. 36 B. ±6 C. -6 D. 6
4.若函数f（x）=x3-3kx+1在区间（1，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）
A. （-∞，1） B. （-∞，1] C. [-1，+∞） D. [1，+∞）
5.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则=（　　）
A. B. C. D.
6.现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（　　）
A. 35种 B. 70种 C. 126种 D. 210种
7.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A. （-2，0）∪（2，+∞） B. （-∞，-2）∪（2，+∞）
C. （-∞，-2）∪（0，2） D. （2，+∞）
8.定义：设f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数.若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f（x）=ax3+bx2+4（ab≠0）的对称中心为（1，2），过（2，m）可以作三条直线与y=f（x）图象相切，则m的取值范围为（　　）
A. （-∞，-1]∪（0，+∞） B. （-1，0）
C. （-1，0] D. [-1，0]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导正确的是（　　）
A. B.
C. （xex）′=（x+1）ex D. （cos3x）′=-sin3x
10.身高各不相同的五位同学A、B、C、D、E站成一排照相，则说法正确的是（　　）
A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有20种站法
B. A与C同学不相邻，共有72种站法
C. A不在排头，B不在排尾，共有78种站法
D. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有24种站法
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2018＞0，S2019＜0，则下列说法正确的是（　　）
A. S1009最大 B. |a1009|＞|a1010|
C. a1010＞0 D. 数列中绝对值最小的项为a1010
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f（x）=xlnx+2的图象在点（1，2）处的切线方程为 .
13.如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有______种.
14.设实数m＞0，若对任意的x∈[2，+∞），不等式恒成立，则实数m的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设，求：
（1）a0+a1+ +a5；
（2）|a0|+|a1|+ +|a5|；
（3）.
16.(本小题15分)
已知公差不为0的等差数列{an}，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn=2n+1-2，求数列的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）讨论f（x）的单调性.
（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和满足.
（1）证明数列为等差数列.
（2）求数列{an}的前n项和.
（3）若不等式4n2-8n-5＜λan对任意n∈N*恒成立，求λ的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a=1时，证明：f（x）有且仅有一个零点；
（2）当x＞0时，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】x-y+1=0
13.【答案】180
14.【答案】
15.【答案】1；
243；
-243．
16.【答案】解：（1）公差d不为0的等差数列{an}，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列，
可得=a1a4，即（1+d）2=1+3d,解得d=1（0舍去），
可得an=1+n-1=n；
（2）数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn=2n+1-2，
可得b1=S1=4-2=2，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2=2n，
上式对n=1也成立，所以bn=2n，n∈N*，
则===-，
可得Tn=1-+-+...+-=1-=．
17.【答案】由，可得x∈（0，+∞），
，
当a≤0时，f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，a）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（a，+∞）单调递增，在（0，a）单调递减，
综上所述，当a≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在（a，+∞）单调递增，在（0，a）单调递减 （e，+∞）
18.【答案】由数列{an}的前n项和满足，
故当n≥2时，，又，
两式相减得，即，
∴，
又当n=1时，4S1=6a1-9，得，，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列 （，+∞）
19.【答案】（1）证明：当a=1时，，则．
令g（x）=ex+x2-x,则g′（x）=ex+2x-1＞0 在（0，+∞）上恒成立，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则g（x）＞g（0）=1，故f'（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为，，所以根据零点存在定理可知，f（x）有且仅有一个零点．
（2）解：当x＞0时，f（x）≤x等价于，
令，则，令φ（x）=lnx-x-1，则φ'（x）=，
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，所以φ（x）≤φ（1）=-2．
所以当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时， h'（x）＜0，h（x）单调递减，则h（x）≤h（1）=-e,故a的取值范围为[-e,+∞）．
（3）证明：由（2）可知，当 a=-e 时，有则，
所以…，．
故．
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