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2025-2026学年上海市宝山区行知中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.在下列关于实数a、b的四个不等式中，不恒成立的是（　　）
A. a2+b2≥2ab B. a2+b2≥2b-1 C. |a|+|b|≥|a+b| D.
2.已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（　　）
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点P（x,y）（y＞0）.设A（1，0），点B是P关于原点O的对称点.分别连结PA、PB、AB，如此形成了三个区域，标记如图所示.使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是（　　）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
4.已知数列{an}满足a1=1，，Sn为{an}的前n项和，则下列结论错误的是（　　）
A. 存在{an}，使得S4=3成立
B. 存在{an}，使得S2k+1＞S2k且S2k+1＞S2k+2对任意k∈N*成立
C. 对任意k∈N*，存在{an}，使得|Sk|=1成立
D. 对任意奇数k,存在{an}和m∈N*，使得Sm=k成立
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.在等差数列{an}中，a3=1，a7=9，则a5= .
6.若，则= .
7.函数的最小正周期为 .
8.已知集合A={1，3，9}，B={a,a2}，若B A且B中含有两个元素，则a= .
9.已知向量、满足，，则= .
10.已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为 .
11.已知数列{an}满足：（n为正整数），则an= .
12.在等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，点P在边BC上，BC=8，则的最小值为 .
13.已知，则sin2α= .
14.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是 .
15.已知ω＞0，函数在区间上严格增，则ω的取值范围是 .
16.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若对一切正整数n都有an+1≥3Sn，则公比q的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
向量是同一平面内的两个向量，其中.
（1）若，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
（2）若，与共线且，求.
18.(本小题15分)
如图所示，公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=6km,，，规划局设计在中间开挖人工湖△OMN，M、N都在边AB上，（M、N不与A、B重合，M在A、N之间），且.
（1）若M在距离A点3km处，求OM的长度；
（2）为节省投入资金，要让人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM=α，试确定α的值，使△OMN的面积最小，并求出最小面积.
19.(本小题15分)
已知f（x）=sin（2x+α），其中α∈R.
（1）若函数y=f（x）是偶函数，求α的值；
（2）当时，求函数y=f（x），x∈[0，π]的单调增区间；
（3）若函数的最大值为，求α的取值范围.
20.(本小题17分)
已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且满足.
（1）写出a2，a3的值；
（2）令bn=a2n，求数列的前n项和Tn；
（3）若对于任意n∈N*，2n λ≥S2n恒成立，求实数λ的取值范围.
21.(本小题18分)
若定义域为[0，+∞）的两个函数y=f（x）与y=g（x），令h（x）=f（x）-g（x），满足y=h（x）为严格递减函数，且存在k＞0，使得函数y=h（x）值域为（0，k]，则称g（x）对于f（x）具有性质P.
（1）判断函数g（x）=3x对于f（x）=ex是否具有性质P；
（2）函数和g（x）=x+5是定义域为[0，+∞）的函数，证明：函数y=g（x）对于y=f（x）具有性质P；
（3）若函数g（x）=mx对于具有性质P，求实数m的值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】5
6.【答案】
7.【答案】2π
8.【答案】3
9.【答案】2
10.【答案】（-3，3）
11.【答案】
12.【答案】28
13.【答案】
14.【答案】（-∞，-1）∪{0}
15.【答案】（0，1]
16.【答案】
17.【答案】（-∞，-1）∪（-1，4） （6，8）或（-6，-8）
18.【答案】 ，
19.【答案】 和
20.【答案】a2=2，a3=2 [2，+∞）
21.【答案】不具有，理由如下：
因为f（x）=ex，g（x）=3x，这两个函数的定义域均为[0，+∞），
令h（x）=f（x）-g（x）=ex-3x，
因为h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-6＞0，
即h（1）＜h（2），
故函数h（x）在[0，+∞）不是减函数，
故函数g（x）=3x对于f（x）=ex不具有性质P 证明：因为，g（x）=x+5，这两个函数的定义域均为[0，+∞），
令h（x）=f（x）-g（x）
=
=
=
=，
由反比例函数的性质可知：函数h（x）在[0，+∞）上为严格减函数，
因为x≥0，则x+1≥1，
则，
即函数h（x）的值域为（0，4]，
因此函数y=g（x）对于y=f（x）具有性质P m=3
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