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北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知某宿舍的7位学生站成一排合照留念，若中间位置只能站7位学生中的甲或乙．则不同的站队方法种数是（）
A. 464 B. 576 C. 720 D. 1440
3.曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）
A. 504 B. 210 C. 336 D. 120
5.若，则（ ）
A. 18 B. C. 12 D.
6.若，则在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.曲线f（x）=e2x过坐标原点的切线方程为（　　）
A. B. y=ex C. y=e2x D. y=2ex
8.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9.两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格品．令事件A为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件B为“从100个产品中任意取一个，取出甲生产的产品”，则等于（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数f(x)=,g(x)=,若对任意的,(0,+),<,f()-f()< g()-g()恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. (-,0] B. (-,] C. (-,e] D. (0,]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.的展开式中的系数为 .
12.已知随机变量，若，，则 ．
13.在二项式的展开式中，常数项为 ．
14.若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 .
15.已知，，随机变量X的分布列是：
X 0 1 2
P a b
若，则a= ；D（3X-1）= ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
现有5道题，其中3道甲类题，，，2道乙类题，.
（1）若从这5道题中任选2道，求这2道题至少有1道题是乙类题的概率；
（2）若从甲类题、乙类题中各选1道题，求这2道题包括但不包括的概率.
17.(本小题12分)
某校组织一次冬令营活动.有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学.为了活动的需要，要从这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务.记其中有X名男同学.
(1)求X的分布列与期望；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.
18.(本小题12分)
在△ABC中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若c=4，△ ABC的面积为，求该三角形的周长.
19.(本小题12分)
如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
(1)证明：；
(2)若点是中点，求点到平面的距离．
20.(本小题14分)
已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程．
(2)试判断函数的单调性并写出单调区间；
21.(本小题15分)
北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交a元（10≤a≤13）的税收，预计当每件产品的售价为x元（13≤x≤17）时，一年的销售量为（x-18）2件．
（1）求该商店一年的利润L（万元）与每件品的售价x的函数关系式；
（2）求出L的最大值Q（a）．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】240
14.【答案】
15.【答案】 ； 5
16.【答案】解：(1）从这5道题中任选2道，基本事件有：，共10个
至少有1道题是乙类题包含的基本事件有,共7个，
所以这2道题至少有1道题是乙类题的概率为.
(2）从甲类题、乙类题中各选1道题，基本事件有共6个
包括但不包括包含的基本事件有：,共2个.
这2道题包括但不包括的概率为
答：这2道题包括但不包括的概率为.
17.【答案】解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
(2)记事件去执行任务的同学中有男有女则.
18.【答案】解：（1）由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，

所以 ，
所以 ；
（2）由题意得 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 该三角形的周长为.
19.【答案】(1)证明:因为AB=2,BF=2,AF=2,
所以+=,所以BFAB.
因为平面ABEF平面ABCD,
平面ABEF平面ABCD=AB,BF面ABEF,
所以BF平面ABCD,
又因为CD平面ABCD,所以CDBF.
(2)解：由(1)知,BF平面ABCD且ABBC,
以B为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,4,0),D(2,2,0),F(0,0,2), E(-2,0,2),M(-1,2,1),
所以=(2,2,0), =(-2,0,2)，=(-1,2,1).
设平面BDE的一个法向量为=(x,y,z),
则,
故可取=(1,-1,1).
设点M到平面BDE的距离为d,
则d===.

20.【答案】解：（1）由函数，所以函数的定义域为，，
所以，，∴曲线在点处的切线方程为：，即．
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为函数的定义域为，且，
令，得；令，得，
因此函数的单调增区间是，单调减区间是．

21.【答案】解：（1）商店一年的利润L（万元）与每件品的售价x的函数关系式为：
L=（x-5-a）（18-x）2，x∈[13，17]．
（2）L=（x-5-a）（18-x）2，
求导可得L'（x）=（28+2a-3x）（18-x），
令L'=0，解得x=18或x=，
∵10≤a≤13，
∴，
①当，即10≤a＜11.5时，
当x∈时，L'（x）≥0，L（x）单调递增，
当x∈时，L'（x）≤0，L（x）单调递减，
=，
当，即11.5≤a≤13时，L'（x）≥0，
L（x）在[13，17]上单调递增，
Lmax=L（17）=12-a，
综上所述，．
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