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北京师范大学燕化附属中学2025-2026学年第二学期期中学情检测高二年级数学
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（）
A. B. C. D.
2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的( )
A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 非任何一项
3.已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（ ）
A. 3 B. 7 C. 13 D. 2
4.用数学归纳法证明“对任意的n∈N*,12+22+32+…+(2n)2=”,第一步应该验证的等式是( )
A. 12= B. 12+22=
C. 12+22+32= D. 12+22+32+42=
5.学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（）
A. B. C. D.
6.已知等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于（ ）
A. B. C. 或 D. 或
7.一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（）
A. 0.985 B. 0.765 C. 0.220 D. 0.015
8.已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件
9.如果函数f（x）满足：对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”.在下列函数：
①f（x）=x+1
②
③f（x）=x2
④f（x）=2x
中是“保等比数列函数”的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1，2，3，4，5，6且概率相等，若存在k使得1到k次的点数之和为6的概率是p，则p的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在等差数列中，，则该数列前13项的和是 .
12.随机变量服从正态分布，若，则
13.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则恰有一个人译出密码的概率 .
14.在数列{an}中，a1=2，且，则a1000= .
15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且．给出下列四个结论：
①；
②存在一个正数，使得对任意的，都有；
③数列单调递减；
④对任意的，，都有．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求的最小值．
17.(本小题12分)
某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p
（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，分别估计X=0，1，2的概率.
18.(本小题12分)
已知数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，求数列的前项和.
条件①：；条件②：；条件③：.
19.(本小题12分)
为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表：
男生 81 84 86 86 88 91
女生 72 80 84 88 92 97
用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题.
(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男生样本，方差记为.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较、、的大小关系.（只需写出结论）
20.(本小题14分)
某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表：
性能评分 行业评级 公司数
5 10
4
3
2 20
1 10
(1)当时，在这100家公司中，
（i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率；
（ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望；
(2)用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明）
21.(本小题15分)
设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
(1)若，写出的值；
(2)若，求；
(3)设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】26
12.【答案】0.2/
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】①③④
16.【答案】解：（1）设等差数列 的公差为 ，由题意可得 ，解得 ，
所以 ．
（2）因为 是等差数列，所以 ．
因为 ，所以当 时， 有最小值 .

17.【答案】 P（X=0）=0.05，P（X=1）=0.35，P（X=2）=0.6
18.【答案】解：(不能选择①③作为已知条件)
若选择①②作为已知条件.
因为 ， ，
所以数列 是以 为首项，公差 的等差数列.
所以 .
若选择②③作为已知条件.
因为 ，
所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列.
因为 ，所以 .
所以 ，解得 .
所以 .
（2）设等比数列 的公比为 ，结合（1）可得 ， ，
所以 ，所以 .
所以等比数列 的通项公式为 .
所以
所以

.

19.【答案】解：（1）由表格得，抽出的名学生中，男女生各有名，所以男女生各随机选取一人，共有种组合，
设“男生成绩高于女生成绩”为事件，则
，共有种组合，所以，
即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为；
（2）由表格知，在抽取的名学生中，成绩为优秀（分）的有人，
由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为，
因此，从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数，的取值范围为，
，
，
所以的分布列为：
数学期望；
（3），原因如下：
男生的平均成绩为，
则，
女生的平均成绩为，
则，
从参加活动的男生中抽取成绩为87分的男生与表中男生组成新的男生样本，
则，
，
所以.

20.【答案】（1）解：（i）当时，可得性能评分不低于80分的公司有家，
其中行业评级为5级的公司有家，
所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为；
由记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则的可能取值为，
可得，，
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2
所以期望为.
（2）解：由题意，可得，可得，
所有公司的行业评级总和为，
所以，其取值范围为，
该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，
则两家的评级都为2级的概率为，此时
两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为，平均级别为；
两家的评级都为5级的概率为，平均级别为，
因为，当且仅当时，满足，此时，
又因为且，当且仅当或，满足，
此时，
所以.

21.【答案】（1）由题意，
，，，
∴，，
，，
，
∴
（2）由题意，
在数列中，，
∴.
若为奇数，则.
所以.
若为偶数，则当时，
所以.
所以.
（3）由题意证明如下，
在中，
若为有限集，设其最大元素为(若为空集，取)，
则当时，存在满足.
令，
则.所以;
若为无限集，设，其中，记，则.
①若数列中只有有限项为正数，记(若中没有正数项，取，则.
令，则.
所以;
②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中，则.
令，则.
所以.
综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列.

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