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山东济宁市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则（ ）
A. 2 B. C. D.
2.甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（）
A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种
3.小李打算周末去游玩，去地与地的概率分别为，在地去徒步爬山的概率为，在地去徒步爬山的概率为，则小李去徒步爬山的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则下列选项正确的为（ ）
A. 在上单调递增 B. 有极大值
C. 在处取得最大值 D. 有个极值点
5.若，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在的展开式中，其各项的二项式系数和为64，则（ ）
A. B. 的系数是240
C. 二项式系数最大的项为 D. 各项的系数和为1
10.一袋中装有大小相同、质地均匀的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（）
A. 从中不放回的取2个球，每次取1个球，第二次取到红球的概率为
B. 从中有放回的取球9次，每次取1球，则取到红球次数的方差为6
C. 从中取2个球，已知有红球的情况下，两个都是红球的概率为
D. 从中取3个球，恰有两个红球的概率是
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若函数有两个不同零点，则
C. 若恒成立，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校准备组建2个社团，现将5名同学分配到这2个社团，每名同学只能去其中1个，每个社团至少分配2名同学，则不同的分配方案的种数为 ．
13.随机变量,且,则 .
14.已知函数，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，且满足．
(1)求的值；
(2)求其展开式中的常数项．
16.(本小题15分)
老师要从7篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，至少要背出其中两篇才能及格．若某位同学只会背诵其中的4篇．
(1)求抽到他会背诵的课文数量的分布列和均值；
(2)求他能及格的概率．
17.(本小题15分)
已知函数，当时取得极小值0．
(1)求的值；
(2)求在的最大值和最小值．
18.(本小题17分)
甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分．
(1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率；
(2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望；
(3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率．
19.(本小题17分)
已知函数．
(1)若曲线在点处的切线为，求、；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数存在极值点，且有两个不相等的零点、，证明：．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】20
13.【答案】6
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由，可得，
解得（舍）或，故；
（2）有二项式定理得其展开式的通项为，
令，解得，
所以常数项为.

16.【答案】解：（1）抽到该生会背诵的课文数量的可能取值有0，1，2，3，则
，
，
，
，
0 1 2 3
则；
（2），
即这位同学能及格的概率为.

17.【答案】解：1），
由取得极小值0，可知，即，
由时取得极小值，可知，即，
所以；
（2）由（1）得，
令，得，或，
2 （2，3）
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当时，有极大值；
所以当时，有极小值0；
又因为，
所以的最大值为2，最小值为0.

18.【答案】解：（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率，
.
（2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2，
则，
，
，
所以.
（3）甲6：0获胜概率；
甲4：0获胜概率；
甲2：0获胜概率；
记事件C为一局比赛中甲获胜，则，
由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数，
所以.

19.【答案】解：（1）由题意，
由曲线在点处的切线为，
可知，解得.
（2）易知的定义域为，
当时，，所以的减区间为，无增区间；
当时，令，得，
由可得，由可得，
此时函数的增区间为，减区间为.
综上：当时，的减区间为；
当时，的增区间为，减区间为.
（3）由（2）知，且需满足，，
要证，即证，即证，
因为，所以，
由在上为减函数，只需证，
由，即证，
令，
则
，
由，得，，所以，
所以在上为增函数，所以，
所以，所以.

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