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北京市延庆区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.某班班委由2位女同学、3位男同学组成.现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位男同学参加，则不同的选法共有多少种？（）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4.已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.有4位男生和2位女生，在某风景点前站成一排合照，要求2位女生要相邻，有多少种不同的站法？（）
A. 120 B. 240 C. 360 D. 480
6.已知事件和事件，那么“”是“与相互独立”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与30%，且两地同时下雨的概率为15%，则春季的一天里在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（）
A. B. C. D.
8.现有件分别标有不同编号的产品，且除了件次品外，其余都是合格品，从中取出件，若取出的件产品中至少要有件次品，则不同的取法共有多少种？（ ）
A. B. C. D.
9.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班女生占，乙班女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.过抛物线的焦点的一条直线与它交于两点，过点和此抛物线顶点的直线与抛物线的准线交于点，则（ ）
A. B. C. D. 无法判断
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为
12.为了解学生的体能情况，抽取某学校一、二年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），设一年级跳绳次数为，二年级跳绳次数为，则 ．（填“”或“”）
13.函数的值域为 ．
14.已知中，，，，则 ， ．
15.下面四个数列中：
①等差数列中公差；
②等比数列中公比；
③数列满足；
④数列满足．
其中数列是递增数列的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
求的展开式中，
(1)含的项并说明它是展开式中的第几项；
(2)常数项的值和对应的二项式系数；
(3)二项式系数最大的项；
(4)各项二项式系数的和及各项系数的和．
17.(本小题12分)
假设某种人寿保险规定，投保人没活过60岁时，保险公司要赔偿100万元；活过60岁时，保险公司不赔偿，已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过60岁的概率都为0.9．随机抽取3个投保人，设其中活过60岁的人数为，保险公司要赔偿这三人的总金额为万元．
(1)求的分布列；
(2)求和；
(3)求．
18.(本小题12分)
学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设选出的女教师人数为．
(1)求的分布列；
(2)求；
(3)求．
19.(本小题12分)
在数列中，已知．
(1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和；
(2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和；
(3)若数列的前项和，求数列的通项公式．
20.(本小题14分)
已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为分别是的左右顶点，过点的直线与椭圆交于两点，坐标原点为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程；
(3)若直线的斜率为与直线相交于点，求证：三点共线．
21.(本小题15分)
已知数列具有性质，都，使得．
(1)分别判断以下两个数列是否满足性质，并说明理由：
（i）有穷数列；
（ii）无穷数列．
(2)若有穷数列满足性质，且各项互不相等，求项数的最大值．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】（0,1]
14.【答案】/ ； /
15.【答案】①④
16.【答案】解：（1）因为，
所以展开式中的第项为，
要使此项含，必须有，从而有，
因此含的项为，
它是展开式中的第1项．
（2）由（1）知要得到常数项，必须有，
从而有，因此常数项为
其对应的二项式系数为．
（3）因为二项式系数最大的项为含有的项，
所以．
即
（4）所有的二项式系数之和为，
令，则所有的项的系数之和为．

17.【答案】解：（1）的可能取值为0，1，2，3，且．
，，
，；
从而的分布列为
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
（2）因为，
所以．
（3）因为，由可得，
所以．

18.【答案】解：（1）的可能取值为0，1，2，且．
从而的分布列为
0 1 2
（2）因为，
所以．
（3）．

19.【答案】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，则，
解得．
所以．
.
（2）设等比数列的首项为，公比为，则，
解得，或，
所以或，
或.
（3）由已知得；
当时，
有，
又因为，
所以．

20.【答案】解：（1）由已知得，所以．
因为，所以．
所以，即．
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意可知，所以；
因为直线过，
当斜率不存在时，直线的方程为，设与交于两点．
此时，不满足题意．
当斜率存在时，设，即．
联立直线的方程与椭圆的方程得方程组
消去，整理得，由已知可知，
设，
由韦达定理可知，
因为，
将代入上式可得
，
即，
解得，即．
方程为或者．
（3）不妨设，
令，则，即，
因为，，
所以，
其中分子为，故，即，
所以三点共线．

21.【答案】解：（1）（i）不满足．令不是数列中的项．
（ii）满足．对于任意．
由于，故令即可．
（2）对于有穷数列，记其非零项中，绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为．
故令时，存在一项满足．
又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即．
再令时，存在一项满足．
又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即．
又，
所以数列所有非零项的绝对值均为1.
又数列的各项均不相等，所以其至多有0,-1,1共3项,所以．
因为数列0,-1,1满足性质，所以项数的最大值为3.

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