资源简介

山东济宁市兖州区2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
3.将个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子内至多放个小球，共有（ ）种放法，
A. B. C. D.
4.一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数f(x)＝(x+2)5-ax4-bx2-32的图象关于坐标原点对称，则a+b的值为
A. 20 B. 50 C. 70 D. 90
6.若f(x)＝，e< a< b，则()
A. f(a)>f(b) B. f(a)＝f(b) C. f(a)< f(b) D. f(a)f(b)>1
7.从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数小于2026的概率为（）
A. B. C. D.
8.若函数有两个零点，则a的取值范围为（　　）
A. （-∞，1） B. （1，+∞）
C. （0，1）∪（1，+∞） D. （0，1）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若，则n的值可能为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
10.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. 是相互独立事件 B. 事件，互斥
C. D.
11.设函数，则（ ）
A. 存在实数，使函数为单调函数
B. 当时，是函数的极小值点
C. 若函数有一个零点，则
D. 已知是函数的极大值点，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差 .
13.的展开式中项的系数是 ．
14.有红、黄、蓝卡片各张，分别写有数字.从中选取张，要求三色俱全，且数字各一张，则不同的选法数目有 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求展开式中所有的有理项．
16.(本小题15分)
某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单.
(1)该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率；
(2)该订单发生延迟的概率；
(3)若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率.
17.(本小题15分)
设函数f(x)=-a,已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
(1)求a的值;
(2)设函数g(x)=,证明:g(x)>-1.
18.(本小题17分)
甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局的概率为c(a+b+c＝1，a＞0，b＞0，c≥0)，且每局比赛结果相互独立．
（1）若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率．
（2）若c＝0，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为X，
（ⅰ）求X的分布列（用字母a，b表示）；
（ⅱ）求EX的最大值．
19.(本小题17分)
设函数．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求a的取值范围；
(3)当时，若满足，求证：．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】60
14.【答案】540
15.【答案】解：（1）解：由二项式展开式的通项为，
因为第6项为常数项，即当时，，解得．
（2）解：由（1）知二项展开式的通项为，其中，
令，可得，即，
因为，所以为偶数，
当时，可得，则
当时，可得，则
当时，可得，则，
所以二项展开式中的有理项分别为，，.

16.【答案】解：（1）设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件 A， B，；出现延迟事件V ，
由题意可知，，
可得，
所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为．
（2）由题意可得
，
所以该订单发生延迟的总概率．
（3）由题意可得，
所以订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为．

17.【答案】（1）由题意，函数，
。
因为是的极值点，所以。
得，解得。
当a=1时,y=xf(x)=-x,y'=-1+,
当x>0时,>1,则-1>0,>0,故y'=-1+>0,所以函数y=xf(x)在(0,+)上单调递增;
当x<0时,<1,则-1<0,<0,故y'=-1+<0,所以函数y=xf(x)在(-,0)上单调递减;
综上,x=0是函数y=xf(x)的极值点,符合题意,
故a=1.
（2）由(1)知，
因此，定义域为。
要证明，即证明：。
即。
令，则。
当时，，单调递增；
当时，，单调递减。
因此在处取得极小值（也是最小值），
。
故对任意，。
当时，，故，分母；
当时，，故，分母。
综上，分子且分母，
因此：，即原不等式成立。
18.【答案】解：（1）每局比赛中，甲获胜的概率为a,乙获胜的概率为b,双方平局概率为c,（a+b+c=1，a＞0，b＞0，c≥0），且每局比赛结果相互独立．
若比赛中甲胜，计比赛结果为甲；比赛中乙胜，计比赛结果为乙；
比赛平局，计比赛结果为平．
∵4局比赛中没有平局，∴比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲．
对应概率为：；
∵4局比赛中有平局，∴比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲．
对应概率为：．
综上，当时，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为P=；
（2）（i）∵c=0，∴比赛结果只有甲乙两种，且a+b=1．
又比赛最多进行5局，则X的值可能为2，4，5．
X=2时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙，
则P（X=2）=a2+b2；
X=4时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙，
则P（X=4）=2a3b+2b3a=2ab（a2+b2）；
X=5时，说明前4场比赛没有结束比赛，即前4场甲乙打平，
则对应比赛结果按比赛顺序分别为：
甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲，
甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙，
则P（X=5）=4a3b2+4b3a2=4a2b2（a+b）=4a2b2．
则比赛结束时比赛局数X的分布列为：
X 2 4 5
P（X） a2+b2 2ab（a2+b2） 4a2b2
（ii）E（X）=2（a2+b2）+8ab（a2+b2）+20a2b2．
∵a+b=1，∴（a+b）2=1，∴a2+b2=1-2ab,
则E（X）=2（1-2ab）+8ab（1-2ab）+20a2b2=4a2b2+4ab+2=（2ab+1）2+1，
∵a+b=1≥2，∴ab≤，当且仅当a=b=时等号成立，
∵函数y=（2x+1）2+1在（0，+∞）上单调递增，
∴，
∴比赛结束时比赛局数X的期望E（X）的最大值为．
19.【答案】解：（1）时，，对函数求导得.
所以，．
所以的图象在处的切线方程为，即．
（2）由得，
因为在上单调递增，所以．
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以在上恒成立，
若，令得或，且，，
当时，，单调递减，
所以，与在上恒成立矛盾，
综上所述，的取值范围是．
（3）证明：当时，，
所以在上单调递增，又，
所以时，时，．
若，则，不合题意；
若，则，不合题意，所以，
设，则，
所以在上单调递增，因为，所以．
因为，所以．
又，所以，即．
又在上单调递增，所以，即．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑