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2025-2026学年广东省广州市白云区源雅学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，且DC=AC，则∠B的度数是（　　）
A. 25°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
3.从多边形的一个顶点出发的对角线一共有7条，则这个多边形是（　　）
A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十一边形
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. AD=BC B. AD∥BC C. AB=BC D. ∠B=2∠A
5.有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（　　）
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
6.如图，在 ABCD中，点P是BC边上的动点，连接AP，DP，E，F分别是AP，DP的中点.点P从点B向点C运动的过程中，EF的长度（　　）
A. 保持不变 B. 逐渐增大 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大
7.如图，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CD=OD=1，点P是矩形ABCD对角线BD上一点，且∠PCD=15°，则PD的长是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形ABCD是菱形，点D在x轴上，顶点A，B的坐标分别是（0，2），（4，4），则点C的坐标是（　　）
A. （4，2）
B. （6，2）
C. （6，4）
D. （8，2）
9.如图，在四边形ABCD中，AC=BD，四边的中点E，F，G，H，请你先顺次连接各边中点，再判断所得到的中点四边形EFGH一定是（　　）
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
10.如图，羊角图案是由等腰直角三角形ABC的三边为边分别向外作正方形，然后以两个小正方形的边为斜边分别向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的直角边为边向外作正方形……按照此规律继续下去形成的.以等腰直角三角形ABC的斜边BC为边作的正方形的面积记作S，两直角边为边作的正方形的面积记作S1，S2……若S=1，则S9与S10的和为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.代数式有意义的x的取值范围是 .
12.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简= .
13.如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形ABCD.若AB=6，则菱形ABCD的面积为 .
14.如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD的交点，且∠CAE=15°，∠BOE= .
15.如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜反射后沿OE恰好入眼（ON为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离.若BC∥OA，且∠CBO=120°，∠BON=90°，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为 m.
16.已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD.下列结论：
①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=S四边形ABCD
其中正确的是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
已知，求代数式x2+xy+y2的值.
19.(本小题8分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE，EF与BD交于点O.求证：BO=DO.
20.(本小题8分)
怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆.馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物.该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,且∠B=90°.求四边形ABCD展区的面积.
21.(本小题8分)
小辉在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
1.一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：.
2.一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：=.
（1）根据以上方法，写出下列式子的结果：
①= ______；②= ______；
（2）若，求2a2-12a+3的值.
22.(本小题10分)
如图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于c1，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：a2+b2=c2，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
请利用上述方法解决下面的问题：
（1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点可得△ABC，求AB边上的高；
（2）如图3，在△ABC中，AC=13，AB=15，BC=4，AD是BC边上的高，求AD的长；
（3）如图4，在长方形ABCD中，AB=3，BC=2，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，请写出点M表示的数______.
23.(本小题12分)
如图，已知BD是矩形ABCD的对角线.
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接BE、DF，求证：四边形BEDF是菱形.
（3）若AB=4，BC=8，求EF的长.
24.(本小题14分)
在矩形ABCD中，E是边BC上一个动点，把△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处.
（1）如图1，连接AF，若AD=10，AB=8，当点A、F、E三点共线时，求CE的长；
（2）如图2，若AD=10，AB=8，H是平面内一点，当以A，D，F，H为顶点的四边形为菱形时，求出点F到直线AD的距离；
（3）如图3，连BD，若AD=8，AB=6，当DF平分∠ADB时，求CE的长.
25.(本小题14分)
在 ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE．
（1）如图1，点G在BD上，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M．求证：∠HGD=∠DCE；
（2）如图1，在（1）的前提下，若HG=BM，DG=DC．求证：BM+DH=DB；
（3）如图2，∠ABC=120°，AB=，点N在BC边上，BC=4CN，若CE是∠DCB的角平分线，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，PQ=，连接BP，NQ，求BP+PQ+QN的最小值．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】b
13.【答案】
14.【答案】75°
15.【答案】1
16.【答案】①②④
17.【答案】4+．
18.【答案】22．
19.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ODF=∠OBE．
∴AD=BC．
∵AF=CE，
∴AD-AF=BC-CE．
∴DF=BE．
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴BO=DO．
20.【答案】四边形ABCD展区的面积为114m2．
21.【答案】①；②； -5．
22.【答案】解：（1）根据勾股定理可得，．
设AB边上的高为h。
∴．
．
∴，
∴；
（2）设CD=x，则BD=BC+CD=4+x，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BD．
在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2=132-x2．
在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=152-（x+4）2．
∴132-x2=152-（x+4）2，
解得x=5，
∴；
（3）．
23.【答案】（1）解：如图，直线EF即为所求；
（2）证明：∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∵BF=DF，
∴BE=ED=DF=BF，
∴四边形BEDF为菱形；
（3）解：设EF与BD交于O，
∵四边形BEDF为菱形，
∴OE=OF，BO=OD，BE=DE，
∵AB=4，BC=8，∠A=90°，
∴AB2+AE2=BE2，BD==4，
∴42+（8-BE）2=BE2，
∴BE=5，
∴OE==，
∴EF=2OE=2．
24.【答案】CE=4；
点F到直线AD的距离为或；
．
25.【答案】（1）证明：设CE与BD交于点K，
∵BD⊥CD，GH⊥CE，
∴∠CDK=∠CHG=90°，
∴∠HGD+∠HKG=90°=∠DCE+∠DKC，
∵∠HKG=∠DKC，
∴∠HGD=∠DCE；
（2）证明：如图1，过点D作DF⊥DM交CE于点F，设CE与BD交于点K，
∵BD⊥CD，DF⊥DM，
∴∠CDG=∠FDH=90°，
∴∠CDF=∠GDH，
在△DCF和△DGH中，
，
∴△DCF≌△DGH（ASA），
∴DF=DH，CF=GH，
∵∠FDH=90°，
∴△DFH是等腰直角三角形，
∴∠DFH=∠DHF=45°，FH=DH，
∵DC=DG，∠CDG=90°，
∴∠CGD=∠DCG=45°，
∴∠CGD=∠DHF，
∵∠CGD+∠GCH+∠CKG=∠DHF+∠BDM+∠DKH=180°，∠CKG=∠DKH，
∴∠GCH=∠BDM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DBM=∠CDG=90°=∠CHG，
在△DMB和△CGH中，
，
∴△DMB≌△CGH（AAS），
∴DB=CH，
∵CF=GH，BM=GH，
∴CF=BM，
∵CF+FH=CH，
∴BM+DH=DB；
（3）解：如图，在CD上截取CG=CN，连接GQ，过点B作BF∥CE，使BF=PQ=，连接DF交CE于点T，连接QF，GF，过点F作FM⊥BD于点M，过点G作GH⊥DF于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB=，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=180°-120°=60°，
∵BD⊥CD，CD=，
∴∠CBD=90°-60°=30°，
∴BC=2CD=2，
∴BD==，
∵CE平分∠DCB，
∴∠BCE=∠DCE=∠DCB=×60°=30°，
∵BF∥CE，
∴∠CBF=∠BCE=30°，
∴∠DBF=∠CBF+∠CBD=30°+30°=60°，
∵FM⊥BD，BF=，
∴BM=BF=，
∴FM=BM=，
∴DM=BD-BM=-=，
∴DF==，
∵DF2+BF2=（）2+（）2=15，
∴DF2+BF2=BD2，
∴BF⊥DF，
∵BF∥CE，
∴CE⊥DF，
∵∠DCE=30°，
∴∠CDF=90°-30°=60°，
∵BC=2，BC=4CN，
∴CN=×2=，
∴CG=CN=，
∴DG=CD-CG=，
∵GH⊥DF，∠CDF=60°，
∴DH=DG=，GH=DH=，
∴FH=DF-DH=-=，
∴FG==，
∵BF∥CE，BF=PQ，
∴四边形BPQF是平行四边形，
∴BP=FQ，
在△CNQ和△CGQ中，
，
∴△CNQ≌△CGQ（SAS），
∴QN=QG，
∵FQ+QG≥FG，
∴当点Q在线段FG上时，FQ+QG的最小值为FG，
∴BP+QN的最小值为FG，
∵PQ=，FG=，
∴BP+PQ+QN的最小值为FG+PQ=，
故BP+PQ+QN的最小值为．
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