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2025-2026学年广东省深圳市罗湖区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在深圳坪山建设的国家级微纳加工平台已投入使用，可为芯片创新企业提供流片服务，其研发工艺节点可达到8纳米.1纳米即为0.000000001米，将8纳米换算为米，并用科学记数法表示为（　　）米.
A. 8×10-9 B. 0.8×10-6 C. 80×10-6 D. 8×10-8
2.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 老师进教室先迈左脚 B. 太阳东升西落
C. 商场买盲盒抽中隐藏款 D. 关闭手机软件启动广告时刚好一次成功
3.当今是自媒体的时代，图1是一个麦克风可调节支架示意图，图二是抽象出的模型图，当∠AOB增加20°时，∠COD（　　）
A. 增加70°
B. 不变
C. 减少20°
D. 增加20°
4.如图，点P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PA=6，PB=5，PC=4.下列说法正确的是（　　）
A. 点P到直线l的距离等于4
B. 点P到直线l的距离等于5
C. 点P到直线l的距离等于6
D. 点P到直线l的距离一定不大于4
5.下列能判定直线AD与直线BC平行的条件是（　　）
A. ∠DAE=∠FCB B. ∠E=∠F C. ∠BGC=∠GCD D. ∠DAE=∠E
6.深圳街超“超鹏友”第二届女子足球公开赛首轮小组赛中，各女足队伍将随机抽签分为A、B、C、D四组.其中一支队伍甲抽中A组的概率是（　　）
A. B. C. D. 1
7.已知深圳博物馆位于小深家的正东方，小深从家中出发步行前往深圳博物馆，先是朝着南偏东60°的方向走到书店买了一本笔记本，接着往北偏东78°方向走到了深圳博物馆.那么从书店出发，往家的路线与往深圳博物馆的路线夹角为（　　）
A. 42° B. 138° C. 72° D. 108°
8.已知∠α与∠β的两边分别平行，且∠α比∠β的2倍多30°，则∠β的度数为（　　）
A. 45° B. 50° C. 45°或50° D. 50°或75°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.（2x2）3 3y= .
10.已知a+b=2，则32a 9b= .
11.赵爽弦图中，一个大正方形是由含四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成的，如图，已知其中直角三角形的三条边长分别为5、12、13，在弦图内随机掷飞镖（落在大正方形内），飞镖落在小正方形内的概率是 .
12.如图，将Rt△ABC与Rt△DEC叠在一起，点B恰好落在DE上，AB∥CE，∠A=32°，则∠ACE= .
13.如图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为r1、r2的圆形，其中重叠部分P为花圃，对应阴影部分S1、S2分别表示两个班级的基地面积.若r1+r2=8，r1r2=12，则S1-S2= .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）用乘法公式简便运算：294×306.
15.(本小题8分)
化简求值：（x+2y）（x-2y）+（4x2y+8xy2）÷2x,其中x=3，y=-1.
16.(本小题7分)
如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，AD是∠BAC的角平分线，请说明∠1=∠E.请补充完整下列解题过程（在括号里填上推理的依据）
解：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠4=______=90°（______）.
∴EG∥AD（______）.
∴∠3=∠E（______）.
______=______（两直线平行，内错角相等）.
∵______，
∴∠2=∠3（角平分线的定义）.
∴∠1=∠E（等量代换）.
17.(本小题8分)
现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1、2、3、4、5、6.
（1）小深设计了一款游戏，规则如下：K=（2+a）（2-a），从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为a.计算K，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜.求甲获胜的概率.
（2）你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由.
（3）目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏.
18.(本小题8分)
【新定义】设两个相邻整数分别为n和n+1（n为整数）：
定义：①平均数的平方为M，则；②平方的平均数为N，则.
请完成以下问题：
（1）计算验证：取n=1，请计算M、N的值，判断M、N大小；
（2）初步化简：分别将M、N两个代数式化简（即展开并合并同类项）；
（3）完整推导：在第（2）问的基础上，M-N的结果是否为一个固定的值？如果是，请求出具体的值；如果不是，请说明理由.
19.(本小题12分)
老师给小深和小圳布置了一道课后作业：过直线外一点，作一条线和已知直线平行.
（1）如图1，A，B，C均在格点上.小深觉得，如果能够在网格中作图，就可以利用网格的格点作出平行线.请利用网格的格点，在网格中过点C作出AB的平行线CD.
（2）如图2，小圳觉得，连接AC或者BC，利用同位角或者内错角相等，两直线平行的定理，作一个角等于已知角，也可以过C点作出AB的平行线，请用尺规作图在图2中作出AB的平行线CD.
（3）如图3，已知AB∥CD，∠D=x°，∠B=y°，在平行线之间有一点E，连接BE、DE，求∠BED的大小？小深提出，可以过点E作AB的平行线EF，借助辅助线EF可以解决问题.请写出完整解答过程.
（4）如图4，已知AB∥CD，在平行线上方有一点E，连接BE、DE，作∠ABE与∠CDE的角平分线相交于F点，请问∠BFD与∠BED有什么数量关系，并说明理由.
20.(本小题10分)
【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.
（1）如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形.由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：______.
（2）如图2，四个长为a,宽为b的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：______.
【知识迁移】
（3）计算：.
（4）若m+n=10，mn=9，求m-n的值.
【拓展探究】
（5）如图3，将边长分别为m,n的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为6，长方形AEHD的面积为4，求两个正方形纸片的面积和.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】24x6y
10.【答案】81
11.【答案】
12.【答案】148°
13.【答案】32π
14.【答案】0 89964
15.【答案】x2+2xy；3．
16.【答案】∠ADC 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∠1 ∠2 AD平分∠BAC
17.【答案】 小深设计的这个游戏不公平．
理由如下：
结果小于或等于2的个数为5，
所以乙获胜的概率=，
因为＜，
所以小深设计的这个游戏不公平 则可改为：K=（2+a）（2-a），从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为a．计算K，若结果大于或等于0，则甲获胜；若结果小于0且大于-20，则乙获胜，若结果小于-20，则丙获胜
18.【答案】M＜N M=；N= 是，
19.【答案】如图1中，直线CD即为所求； 如图2中，直线CD即为所求； 如图3中，结论：∠DEB=（x+y）°．
理由：如图3中，过点E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠D=∠DEF=x°，∠B=∠BEF=y°，
∴∠DEB=∠DEF+∠BEF=（x+y）° 如图4中，∠BED=2∠BFD．
理由：设BF交CD于点G，BE交CD与点M，
∵∠ABE与∠CDE的角平分线相交于F点，
∴可以假设∠ABF=∠EBF=x，∠CDF=∠FDE=y，
∵AB∥CD，
∴∠DGB=∠ABF=x，∠DMB=∠ABM=2x，
∵∠BFD=∠DGB-∠CDF=x-y，∠DEB=∠DMB-∠EDM=2x-2y=2（x-y），
∴∠DEB=2∠DFB
20.【答案】a2-b2=（a+b）（a-b） （a-b）2=（a+b）2-4ab - ±8 10
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