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2025-2026学年广东中山市西区中学八年级下学期数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A. ∠DAB=∠ABC，∠ADC=∠DCB
B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB∥DC
D. AB=AD，BC=DC
3.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（　　）
A. B. C. D. 2
5.若3-的整数部分为a,小数部分为b,则代数式（2+a） b的值为（　　）
A. 2 B. 0 C. 1 D. -2
6.实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A. a B. -a C. a-2b D. 2b-a
7.下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A. 两直线平行，同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 正方形的四个角都是直角 D. 菱形的四条边相等
8.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米.
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
9.如图，在矩形纸片ABCD中，AC=6，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则BC的长是（　　）
A.
B. 4
C. 5
D. 6
10.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）

A. B. C. 5 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知，则x2y+xy2的值为 .
12.菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为 .
13.在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是______.
14.如图，已知一个长方体的底面是边长为6cm的正方形,高为7cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，E是AD上一点，AE=2，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：÷4.
17.(本小题7分)
如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径.在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂AB=1m,点B到水平地面CD的距离BC=1.4m,点B到AD的距离BE=0.8m.求点A到水平地面CD的距离AD.
18.(本小题7分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、.
19.(本小题9分)
[阅读]大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小教部分为.
解答下列问题：
（1）的小数部分是______，的整数部分是______；
（2）的小数部分是______；
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求的值.
20.(本小题9分)
如图， ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在BD上截取OE=OF=OA.
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE=AF，求证：AC平分∠BAD.
21.(本小题9分)
在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,则可得到a2+b2=c2，柴畅和刘岚分别通过各自的方式验证了这一结论.
【验证】（1）柴畅将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为 ______ ，也可用几个三角形和正方形的面积表示为 ______ ，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理；
（2）刘岚用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助刘岚完成验证；
【应用】（3）如图4，已知在RtABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，动点D从点B出发沿射线BC运动，连接AD.
①当点D在线段BC上运动，且BD=3CD时，求AD的长；
②已知点C关于AD所在直线的对称点为点C1，当点C1恰好落在射线BA上时，请直接写出CD的长.
22.(本小题13分)
定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为 ______
A．互为相反数B．互为倒数C．绝对值相等D没有任何关系
（2）已知，，求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
23.(本小题14分)
综合与实践
在学习完特殊的平行四边形之后，老师在数学活动课上展示了下面一道与平行四边形有关的折叠题：
【问题情境】
如图1，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D′的位置，连接EC，AF，AC，线段AC交EF于点O.
【独立思考】
（1）△AEF是______三角形（按边分类）；
【实践探究】
（2）请判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图2，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=6，若点M为射线BC上一点，将△ABM沿着直线AM折叠，折叠后点B的对应点为B'，当点B′恰好落在BC的垂直平分线上时，请直接写出BM的长.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】6
12.【答案】24
13.【答案】9
14.【答案】25
15.【答案】4
16.【答案】3．
17.【答案】点A到水平地面CD的距离AD为2m．
18.【答案】见解析；
见解析．
19.【答案】，3；
；
．
20.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC、BD交于点O，
∴OA=OC，
∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OE=OF=OA，
∴OE=OA，OF=OC，
∴OE+OF=OA+OC，
∴AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
（2）∵AE=AF，OE=OF，
∴AO⊥EF，
∴AC⊥BD，
∵OB=OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴AC平分∠BAD．
21.【答案】（1）解：图2中大正方形的面积为（a+b）2，也可用几个三角形和正方形的面积表示为2ab+c2，
故答案为：（a+b）2；2ab+c2；
（2）证明：∵梯形的面积为，也可表示为，
∴，
整理得a2+b2=c2；
（3）解：①已知在RtABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理得：．
∵BD=3CD，
∴CD=1．
在RtACD中，由勾股定理得：AD===；
②CD的长为或6．理由如下：
如图4，当点D在线段BC上，且点C1恰好落在射线BA上．
∵点C与点C1关于AD对称，
∴CD=C1D，AC1=AC=3，∠AC1D=∠ACD=90°，
∴BC1=AB-AC1=2，∠BC1D=90°．
设CD=C1D=x,
∴BD=BC-CD=4-x.
在RtBDC1中，由勾股定理得：，
即（4-x）2=4+x2，
解得：，
即CD的长为；
如图5，当点D在线段BC的延长线上，且点C1恰好落在射线BA上．
∵点C与点C1关于AD对称，
∴CD=C1D，AC1=AC=3，∠AC1D=∠ACD=90°，
∴BC1=AB+AC1=8．
设CD=C1D=x,
∴BD=BC+CD=4+x.
在RtBDC1中，由勾股定理得：，
即（4+x）2=64+x2，
解得：x=6，
∴CD的长为6．
综上所述，CD的长为或6．
22.【答案】（1） B；
（2）∵==+2，==-2，
∴x+y=+2+-2=2，
x-y=+2-+2=4，
xy=（+2）（-2）=1
∴===；
（3）设，
∵ ①，
∴（+）（-）=2t，
即24-x-8+x=2t，
解得t=8，
∴+=8 ②，
①+②得，2=10，
即=5，
∴24-x=25，
∴x=-1．
23.【答案】等腰；
四边形AFCE是菱形，理由详见解答；
BM的长为或15．
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