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2025-2026学年重庆市开州区初中教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-2的倒数是（　　）
A. 2 B. -2 C. D. 4
2.下列图形是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（　　）
A. 调查国庆假期游客对重庆热门景点的满意度
B. 了解我国所有中学生的视力情况
C. 调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量
D. 了解某品牌灯泡使用寿命
4.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，交⊙O于D，∠ACD=40°，∠CDO=15°，则∠ABC的度数为（　　）
A. 40°
B. 35°
C. 30°
D. 25°
5.如图，用若干个边长相同的正方形和正三角形，按下列规律拼接成一列图案，其中，第（1）个图案有4个三角形和1个正方形，第（2）个图案有7个三角形和2个正方形，第（3）个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，则第7个图案中正三角形和正方形的个数共有（　　）个.
A. 22 B. 28 C. 7 D. 29
6.关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A. 图象必经过点（1，6） B. 两个分支分布在第一、三象限
C. 两个分支关于原点成中心对称 D. 当x＜0时，y的值随x的增大而减小
7.玉溪抚仙湖是我国最大深水型淡水湖泊，蓄水量约20600000000立方米.20600000000用科学记数法表示为（　　）
A. 2.06×109 B. 2.06×1010 C. 20.6×109 D. 0.206×1011
8.随着环保意识的增强和技术的进步，电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某品牌电动车今年1月份的销量为2000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了1000辆.设每个月销量的平均增长率为x,则下列方程正确的是（　　）
A. 2000（1-x）2=1000 B. 2000（1+x）2=1000
C. 2000（1+x）2=2000+1000 D. 2000（1+2x）=2000+1000
9.如图，在正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG=3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则的值为（　　）
A.
B. 3
C. 4
D.
10.已知整式M：，其中n,an是正整数，a0，a1，a2，…，an-1为自然数，且满足a0≤a1 ≤an-1≤an，n+a0+a1+ +an-1+an=A，下列说法：
①若A=4，则满足条件的所有整式M的和为x3+3x2+6x+1；
②若A=5，则满足条件的整式M中只有4个单项式；
③若A≤5，则满足条件的整式M共有17个.
其中正确的个数有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.周末，小明和小东两名同学去重庆园博园游园，园内有A、B、C三条不同的赏花路线，两名同学每人随机选择一条路线，那么他们至少一人选择路线B的概率是 .
12.如图，若AB∥CD，CE⊥AF，∠1=130°，则∠C的度数是 .
13.若n为正整数，且满足，则n= .
14.某公司产品价格由2025年的2500元下降到2026年的900元，则该产品价格这两年平均每年下降的百分率为 .
15.如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AB是⊙O的直径，，AC、BD相交于点E，F为AB延长线上一点，连接FC，若CF是⊙O的切线，tan∠CAD=，则BC的长度为 ，BF的长度为 .
16.若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“和九数”，对于一个“和九数”M，将它的个位数字和十位数字交换以后得到新数N，记，则T（135） ；对于一个“和九数”M，若T（M）能被5整除，则满足条件的“和九数”P的最小值是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组：，并写出它的所有整数解.
18.(本小题8分)
小明非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，他想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为90°，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空：
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE平分∠ADC.
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AD于点F.（只保留作图痕迹）
（2）探究：DE与BF的位置关系.将下面的过程补充完整.
解：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°且∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴，①______，
∴，
∵在△EDC中，∠C=90°，
∴②______，
∴∠FBC=∠DEC，
∴③______.
通过推理论证，小新得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为90°，那么④______.
19.(本小题10分)
弘扬数学文化，展现思维风采.某校举办了数学创新应用大赛，赛后学习小组从八年级和九年级各随机抽取了10名学生，成绩整理如下（A组：60≤x＜70；B组：70≤x＜80；C组：80≤x＜90；D组：90≤x≤100；单位：分）.
八年级10名学生的成绩中，C组成绩为85，85，88.
九年级10名学生的成绩为：62，75，78，80，85，88，95，95，95，98.
八、九年级所抽学生大赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 85.1 a 85
九年级 85.1 86.5 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a= ______，b= ______，m= ______；
（2）根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的数学创新应用大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八、九年级各有200人参赛，估计两个年级的成绩在D组的学生共有多少人？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中a满足a2-a-6=0.
21.(本小题10分)
某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与.已知乙组的工作效率是甲组的，甲组先单独做了5天，之后甲组和乙组又合作了20天，刚好如期完成了整项工作.
（1）求甲组单独完成整项工作需要多少天？
（2）推广工作结束后，该公司负责人为提业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套纪念品进价20元，为合理定价40，发售前进行市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价每涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利10000元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪念品的售价应为多少元？
22.(本小题10分)
在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD=1，动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，按照D→B→A的顺序在边上运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从点C出发，在线段CA上运动，当点Q到达点A时，点P，Q都同时停止运动.在运动过程中，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜6），△ACD的面积与CQ的比值为y1，△ACP的面积为y2.
（1）直接写出y1，y2与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出y1，y2的函数图象，并根据图象写出函数y2的一条性质；
（3）根据函数图象，直接求出y1≤y2时，t的取值范围.（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）
23.(本小题10分)
如图，A位于B正北方向9千米处，C位于B的正东方向，D位于A南偏东60°方向9千米处，C与D相距6千米.（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.65，3.61）
（1）求B与C之间的距离；（结果保留小数点后一位）
（2）某技术人员在AB上的P处进行测绘作业，他测得P处与D的距离是P处与A距离的2倍，求BP的长度.（结果保留小数点后一位）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4的函数图象与x轴交于A，B（4，0）两点，抛物线的对称轴为直线x=-2，抛物线与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一动点P，连接AP，CP，已知点D（0，5），过点D作直线l∥x轴，点M为直线l上一动点，MN⊥x轴，垂足为N，连接PN，MB，当△APC的面积取得最大值时，求PN+MN+MB的最小值；
（3）将抛物线y=ax2+bx-4沿射线AC方向平移个单位长度得到新的抛物线y′，D为BC的中点，在新抛物线y′上存在一点Q使得∠CDQ=∠ACB，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
25.(本小题10分)
在等腰直角△BCD中，点A在BD的延长线上，点G是AC的中点.
（1）如图1，若且，求BC的长；
（2）如图2，E在直线BC上点C右侧，将DE绕点E顺时针旋转90°得到EF，点F恰好在BG的延长线上，求证：；
（3）如图3，点E是直线BC上一点，以DE为腰作等腰直角△DEF，∠DEF=90°，连接FG，若∠A=60°，当△DFG为直角三角形时，请直接写出的值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】40°
13.【答案】5
14.【答案】40%
15.【答案】5

16.【答案】32
414

17.【答案】解：解不等式①得，x≥，
解不等式②得，x＜4，
所以不等式组的解集为：，
则不等式组的所有整数解为0，1，2，3．
18.【答案】 ;∠DEC+∠EDC=90°;DE∥BF;另一组对角的角平分线互相平行
19.【答案】85 95 30
20.【答案】，．
21.【答案】甲组单独完成整项工作需要41天 该纪念品的售价为70元
22.【答案】， y1、y2的函数图象，如图2即为所求；
当t=2时，函数y2取得最大值为6 t的取值范围为0.8≤t＜6
23.【答案】3.8千米 5.1千米
24.【答案】 Q点的坐标为或
25.【答案】 如图2，过点E作EH⊥BE，取EH=CE，连接CH，HF，则∠CEH=90°，
∵EH=CE，
∴△CEH为等腰直角三角形，
∴∠ECH=∠EHC=45°，，
∵∠ABC=∠ECH=45°，CD⊥AB，
∴CH∥AB，∠BDC=90°，
∴∠DCH=90°，
∴∠DCE=135°，
在△DCE与△FHE中，
，
∴△DCE≌△FHE（SAS），
∴CD=HF，∠EHF=∠DCE=135°，
∵∠CHE+∠EHF=180°，
∴点C，H，F三点共线，
∴AB∥CF，
∴∠A=∠FCG，
∵G为AC的中点，
∴AG=CG，
在△ABG与△CFG中，
，
∴△ABG≌△CFG（ASA），
∴AB=CF，
∴，即 或
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