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2025-2026学年北京市汇文中学教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.已知点A（-2，y1），B（3，y2）在一次函数y=kx+b（k＜0）的图象上，则（　　）
A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1=y2 D. 无法确定
4.△ABC的三条边分别为a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A. b2=（a+c）（a-c） B. ∠A=∠B-∠C
C. ∠A：∠B：∠C=1：2：3 D. a=4，b=5，c=7
5.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得 ABCD是矩形（　　）
A. AB=AD
B. ∠ABC=∠BCD
C. ∠ABD=∠CBD
D. AO⊥BO
6.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=x+5和直线y=ax+b（a＜0）相交于点P（20，25），则根据图象可知关于x的不等式x+5＜ax+b的解集是（　　）
A. x＜0
B. 0＜x＜20
C. x＜20
D. x＞20
7.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=1，OA在数轴上，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，AC为对角线，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，交AC于点G，点F为BC的中点，连接EF，则EF的长为（　　）
A. 2-2
B. 2-2
C. 2-1
D. 2-1
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，连接AD，则BD的长为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.惠农种子公司以一定价格销售“丰收一号”玉米种子，如果一次购买10kg以上（不含10kg）的种子，超过10kg的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次购买种子质量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示.下列四种说法：①一次购买30kg种子时，付款金额为100元；②一次购买种子质量不超过10kg时，销售价格为5元/kg；③一次购买10kg以上的种子时，超过10kg的那部分种子的价格打五折；④一次购买40kg种子比分两次购买且每次购买20kg种子少花20元钱.其中正确的有（　　）
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12.已知一个正多边形的外角为20°，则这个多边形的边数为 .
13.一次函数y=2x+b（b≥0）的图象一定不经过第 象限.
14.在平面直角坐标系中，将直线y=2x+b向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为 .
15.在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，且CD=8cm,则AB= cm.
16.如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA=1，则菱形ABCD的面积为 .
17.如图1，在矩形ABCD中，点P从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止.设点P运动的路程为x,△PBC的面积为y,已知y随x的变化关系如图2所示，则y的最大值为 .
18.如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，连接AE、DE、EG，EG=2，过点D向CD右侧作DF⊥DE，且DF=DE，连接CF，则线段CF的最小值为 .
三、解答题：本题共9小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
（1）；
（2）.
20.(本小题6分)
如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（3，5），B（1，2），C（4，1）.
（1）将△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，且点A、B、C的对应点为A1、B1、C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）点A、A1两点之间距离是______.
21.(本小题6分)
已知一次函数y=kx+4的图象经过点（-3，0）.
（1）k的值为______；
（2）请在图中画出该函数的图象，并直接写出当y＜0时，x的取值范围.
22.(本小题6分)
已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC上一点，且DE=BF.求证：AF=EC.
23.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象是由函数y=2x的图象平移得到，且经过点（1，3）.
（1）求函数y=kx+b的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y=mx-1（m≠0）的值既小于函数y=kx+b的值，也大于函数y=-kx的值，直接写出m的取值范围.
24.(本小题7分)
综合与实践
【发现问题】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况.
【提出问题】小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y（毫升）与时间x（分钟）的函数关系.
【分析问题】小明每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间x（分钟） 0 1 2 3 4 …
总水量y（毫升） 5 10 15 20 25 …
（1）请根据表格中信息在坐标系中描点、连线，画出y关于x的函数图象，根据图象发现容器内总水量y（mL）与滴水时间x（min）符合学习过的______函数关系（选填正比例或一次）.
（2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式.
【解决问题】
（3）已知所用量筒的最大容量为100mL，如果小明从上午9：00开始计时，那么什么时候量筒内的水刚好达到最大容量？
（4）若一个成年人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头几小时的漏水量可供一个成年人一天饮用？
25.(本小题7分)
阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.
（1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有______个.
（2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a,b,c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系，并说明理由.
26.(本小题7分)
在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转β（0°＜β＜180°）到线段PQ.
（1）若α=60°，β=120°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，直接写出∠CDB的度数.
（2）如图2，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，连接AD，若BM=MD，求证：四边形ABCD是菱形.
（3）在（2）的条件下，猜想β与α的数量关系并证明.
27.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于任意点P（x,y），若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点.
（1）点M（0，6）的半交换点为______.点N的半交换点为（2，-1），点N的坐标为______.
（2）在长方形ABCD中，A（3，-2），B（3，-1），，，已知线段EF，点E（m,n），F（m+k,n），其中k＞0.
①若线段EF上任意点T的半交换点在长方形ABCD的边上或内部，则k的最大值是______，n的取值范围是______.
②将长方形ABCD沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形A′B′C′D′，若存在满足-8≤n≤-2的线段EF，且EF上的任意点的半交换点在A′B′C′D′的边上或内部，直接写出t的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】x≤3
12.【答案】18
13.【答案】四
14.【答案】-5
15.【答案】16
16.【答案】4
17.【答案】15
18.【答案】2-2
19.【答案】
20.【答案】图形见解答；
．
21.【答案】；
图象如图，x＜-3．
22.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BF，
∴AD-DE=BC-BF，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=EC．
23.【答案】y=2x+1．
-1≤m≤2且m≠0．
24.【答案】一 y=5x+5 9：19 小时
25.【答案】3 S1+S2=S3，理由如下：
=
=，
=．
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2-c2=0，
∵，
∴S1+S2=S3
26.【答案】30° 如图2，BA=BC，M是AC的中点，连接AD，
∴BM⊥AC，AM=CM，
∵BM=MD，AM=CM，
∴四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形 β=2α；证明：如图3，连接PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAD=2∠BAC=2α，AD=CD，∠PDA=∠PDC，AB∥CD，
∴∠BAC+∠ADQ=180°，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴PC=PA，∠PCD=∠PAD，
由旋转得PA=PQ，
∴PA=PQ=PC，
∵PA=PQ，AD=AB=BC=CD，
∴∠PCD=∠PQC=∠PAD，
∵∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠PAD+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADQ=360°-180°=180°，
∵∠BAD+∠ADQ=180°，∠BAD=2∠BAC=2α，
∴∠BAD=∠APQ=2α，
∴β=∠BAD=2α
27.【答案】（3，0）;（-2，4） ①2；1≤n≤6；②t的取值范围为
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