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2025-2026学年重庆市江津区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（　　）
A. B. 0.53 C. D.
2.在平面直角坐标系中，点（-5，2）所在的象限为（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，在下列给出的条件中，能判定AB∥EF的是（　　）
A. ∠1=∠2
B. ∠4+∠2=180°
C. ∠2=∠3
D. ∠A=∠1
4.下列命题中正确的个数有（　　）
①同旁内角互补；
②点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段；
③平移变换中，各组对应点连成的线段平行且相等；
④在同一平面内，a,b,c是三条不重合的直线，若a⊥b,b⊥c,则a∥c.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.如图，在一片农田中，有一口水井A，农户要从水井A铺设水管到田埂BC处进行灌溉，为了节省水管材料，以下铺设方式中，哪种是最合理的（　　）
A. AD方向
B. AE方向
C. AF方向
D. AG方向
6.已知关于x,y的二元一次方程3x-ky=7有一组解为，则k的值为（　　）
A. 1 B. -1 C. D. -4
7.平面直角坐标系中，若点P到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点Q到两坐标轴距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”，例如P（-2，5）和Q（1，4）到两坐标轴距离之差的绝对值都等于3，它们互为“等差点”.若点M（-1，3）和点N（2，2-a）互为“等差点”，则a的值为（　　）
A. -2或6 B. ±2 C. 6或2 D. ±2或6
8.估计的值（　　）
A. 在1到2之间 B. 在2到3之间 C. 在3到4之间 D. 在4到5之间
9.如图，直线AD与BE相交于点O，射线OB在∠AOC内部，且OC⊥AD于点O.若OB平分∠COA，则∠AOE的度数为（　　）
A. 135°
B. 145°
C. 155°
D. 165°
10.已知Mn为整式，且，其中an，an-1， ，a1，a0为正整数，n为自然数，令F（Mn）=an+an-1+ +a1+a0+n.下列说法：
①若n=1时，a1和a0满足，则F（Mn）=8；
②不存在x和n的值，使Mn=F（Mn）；
③若n≥2时，a2+a1=a0，F（Mn）=8，则满足条件的所有整式Mn的和为x3+4x2+4x+5.
其中正确的个数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.点P（-5，-7）到x轴的距离为 .
12.关于x、y的方程组的解满足x-y=9，则m的值为 .
13.已知m、n都是实数，且满足，则（m+n）的立方根是 .
14.在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的a,得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b,得到方程组的解为，则a+b的平方根为 .
15.将、、、、…按如图方式排列，若规定（x,y）表示第x排从左向右第y个数，若在（a,b），则a-b的值为 .
16.若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a+b+c=d2，则称这个四位数为“和方数”.例如：四位数2613，因为2+6+1=32，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为2+5+1≠42，所以2514不是“和方数”，则最大的“和方数”为 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N能被33整除，则满足条件的M的最小值是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）计算：；（2）解方程：（3x-1）2=25.
18.(本小题10分)
解二元一次方程组：
（1）；
（2）.
19.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”.
（1）点A（-1，3）的“短距”为______；
（2）若点B（2a-5，a）是第一象限内的“完美点”，求a的值；
（3）若点C（2b,b-3）为“完美点”，求点D（-2，2+b）的“短距”.
20.(本小题8分)
完成下面的证明：
如图，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE=90°，求证：AB∥CD.
证明：因为AB∥EF，
所以∠APE= ______（______），
因为EP⊥EQ，
所以∠PEQ= ______（______），
即∠2+∠3=90°.
所以∠APE+∠3=90°，
因为∠1+∠APE=90°，
所以∠1= ______，
则______∥ CD（______），
又因为AB∥EF，
所以AB∥CD（______）.
21.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点P（x,y）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点Q，则称点Q为点P的“双移点”根据上述定义，回答下列问题：
（1）已知点A（-1，-3），则它的“双移点”为A′______；若点B的“双移点”为点B′（-3，1），则点B的坐标为______；C（-2，2）.
（2）画出△ABC和△A′B′C′，并求出△ABC的面积.
（3）若点C″是点O（0，0）的“双移点”，且在y轴上存在一点D，使△OC″D的面积为4，请求出点D的坐标.
22.(本小题10分)
某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等.学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元.
（1）求A种劳动工具和B种劳动工具的单价.
（2）现有两家商店分别推出了优惠套餐.甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售.乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售.已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量.
23.(本小题10分)
如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，且∠1+∠3=180°.
（1）试判断DG与AC的位置关系，并说明理由.
（2）若∠3=3∠2，求∠C的度数.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A（-1，0），B（3，0），M为第三象限内一点.
（1）若点M（2-a,2a-10）到两坐标轴的距离相等.
①求点M的坐标；
②若MN∥AB且MN=AB，求点N的坐标.
（2）若点M为（n,n），连接AM，BM，将△AMB沿x轴方向向右平移得到△DEF（点A，M的对应点分别为点D，E），若△AMB的周长为m,四边形AMEF的周长为m+4，求点E的坐标（用含n的式子表示）.
25.(本小题10分)
（1）问题：如图（1）所示，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=120°，求∠EPF的度数.
（2）问题迁移：如图（2）所示，AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由.
（3）联想拓展：如图（3）所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=50°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】7
12.【答案】11
13.【答案】2
14.【答案】±3
15.【答案】-43
16.【答案】9614
1263

17.【答案】2 x=2或
18.【答案】
19.【答案】（1）1．
由条件可知点A（-1，3）的“短距”为1；
（2）∵点B（2a-5，a）是“完美点”，
∴2a-5=a或2a-5=-a,
解得a=5或，
当a=5时，2a-5=5，此时点B的坐标为B（5，5），位于第一象限内，符合题意；
当时，，此时点B的坐标为，位于第二象限内，不符合题意；
综上，a的值为5．
（3）∵点C（2b,b-3）为“完美点”，
∴|2b|=|b-3|，
即2b=b-3或2b=3-b,
解得b=-3或b=1，
当b=-3时，2+b=2-3=-1，
∴点D的坐标为D（-2，-1），
∴点D（-2，-1）到x轴的距离为|-1|=1，到y轴的距离为|-2|=2，
∴点D（-2，-1）的“短距”为1；
当b=1时，2+b=2+1=3，
∴点D的坐标为D（-2，3），
∴点D（-2，3）到x轴的距离为|3|=3，到y轴的距离为|-2|=2，
∴点D（-2，3）的“短距”为2，
综上，点D（-2，2+b）的“短距”为1或2．
20.【答案】解：∠2；两直线平行，内错角相等；
90°；垂直的定义；
∠3；
EF；内错角相等，两直线平行；
平行于同一直线的两条直线互相平行．
21.【答案】（1，1）;（-5，-3） ，10 （0，4）或（0，-4）
22.【答案】A种劳动工具的单价为50元，B种劳动工具的单价为30元 6件
23.【答案】DG∥AC，理由见解答过程 ∠ C=45°
24.【答案】①M（-2，-2）；②N（-6，-2）或（2，-2） 点E的坐标为（n+2，n）
25.【答案】解：（1）如图，过点P作PM∥AB，
∴∠1=∠AEP，
∵∠AEP=40°，
∴∠1=40°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°，
∵∠PFD=120°，
∴∠2=180°-120°=60°，
∴∠1+∠2=40°+60°=100°，
即∠EPF=100°；
（2）∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由如下：
如图，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠EPF，
∴∠FPN=∠PEA+∠EPF，
∵PN∥CD，∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴，，
由（2）可知∠PFC=∠EPF+∠AEP，
∴（∠EPF+∠AEP），
∴，
∵∠EPF=50°，
∴∠EGF=25°．
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