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2025-2026学年山东省烟台市莱山区七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（　　）
A. B. C. D.
2.成语是中华文化的一大瑰宝，下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A. 不期而遇 B. 旭日东升 C. 竹篮打水 D. 画饼充饥
3.下列命题中：①内错角相等，两直线平行；②相等的角是对顶角；③垂线段最短；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.其中真命题的个数有（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.如图，在下列条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）
A. ∠A+∠AFD=180°
B. ∠A=∠CFD
C. ∠BED=∠EDF
D. ∠A=∠BED
5.将一把直尺和一个含30°角的三角尺按如图位置摆放，若∠α=18°，则∠β 的度数是（　　）
A. 118° B. 122° C. 132° D. 138°
6.用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（　　）
A. 由①得y=5-2x B. 由①得y=2x-5 C. 由②得x=3y-10 D. 由②得x=10+3y
7.从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（　　）
A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球
8.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x+y=2的解的是（　　）
A. B.
C. D.
9.如图1，在面积为8m2的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在长方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示.由此估计阴影部分面积约为（　　）
A. 3.2m2 B. 2.4m2 C. 1.6m2 D. 0.8m2
10.如图，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF=∠DCF=120°，则∠EFC的度数为（　　）
A. 105°
B. 100°
C. 90°
D. 85°
11.如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（　　）
A. 12
B. 48
C. 58
D. 72
12.如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP=180°，给出下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=180°.其中正确的结论是（　　）
A. ①②
B. ①④
C. ①③④
D. ①②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.把命题“同角的补角相等”改写成“如果 那么 ”的形式为______．
14.在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“u”的概率为 .
15.健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线CD与地面平行，车架AB与地面平行，自行车的中轴处E与座位处A在一条直线上，若AE∥BD，∠AEC=75°，则∠D+∠ECD的度数是 .
16.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价格一万.问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值三百钱；劣田7亩价值500钱.今合买良，劣田100亩，价值10000钱.问良田，劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为 .
17.如图，ABCD为一长条形纸带，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠CFE=2∠CFD′，则∠AEF的度数是 .
18.解方程组时，一学生把c看错而得到而正确的解是那么a+b-c= .
19.如图，AB∥CD，∠BOC=110°，BE、CF分别平分∠ABO、∠OCD，则∠2-∠1= .
20.如图，直线y=kx（k≠0）与交于点A，交x轴、y轴分别于B，C两点.若S△ABO：S△ACO=1：2，则方程组的解为 .
三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
用适当的方法解下列方程组.
（1）；
（2）.
22.(本小题8分)
（1）如图1，一边长为2a的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为a的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率.
（2）如图2，是由边长分别为2a和a的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是______.
（3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明.
23.(本小题6分)
如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，点F在AC的延长线上，过点C作直线MN∥AB，且∠BCF=74°，∠BCN=26°.求∠DCE的度数.
24.(本小题6分)
我们规定：关于x,y的二元一次方程ax+by=c,若满足a+b=c,则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程2x+3y=5，其中a=2，b=3，c=5，满足a+b=c,则方程2x+3y=5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程5x+6y=12______“幸福”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x,y的二元一次方程2kx+（k-3）y=9是“幸福”方程，求k的值；
（3）若是关于x,y的“幸福”方程组的解，求8p-3q的值.
25.(本小题6分)
如图，已知∠FED+∠BGF=180°，∠B=∠D.
（1）求证：AB∥DF；
（2）∠FED-∠AED=51°，∠FED-∠BEF=63°，求∠D.
26.(本小题8分)
某超市购进甲、乙两种类型的保温杯进行销售，已知购进4个甲类保温杯和5个乙类保温杯的价钱相同，购进3个甲类保温杯比购进2个乙类保温杯多用154元.
（1）求甲、乙两类保温杯每一个的进价分别是多少？
（2）超市根据市场需求，决定购进这两种类型的保温杯共80个进行销售，甲类保温杯每个售价160元，乙类保温杯每个售价140元，若超市购进的这两类保温杯全部售出后，共获利4100元，则该超市本次购进甲、乙两种类型的保温杯各多少个？
27.(本小题10分)
【问题情境】（1）如图1，AB∥CD，∠BAP=130°，∠DCP=120°，则∠APC的度数为______；
【问题迁移】（2）如图2，AB∥CD，点P在直线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在线段BD上（不与B，D重合）时，∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
【问题应用】（3）在（2）的条件下，如果点P不在线段BD上，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系.
28.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线l2：与x轴交于点B（1，0），与l2相交于点C（m,4）.
（1）求直线l2的解析式；
（2）求四边形OBCD的面积；
（3）若点M为x轴上一动点，过点M（t,0）作垂直于x轴的直线，与直线l2交于点Q.若S△AQC=2S△ABC，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】B
12.【答案】D
13.【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
14.【答案】
15.【答案】75°
16.【答案】
17.【答案】72°
18.【答案】11
19.【答案】35°
20.【答案】
21.【答案】
22.【答案】； ； 乙获胜的概率大，理由见解答．
23.【答案】11°．
24.【答案】不是；
4；
5．
25.【答案】解：（1）∵∠FED+∠BGF=180°，∠BGE+∠BGF=180°，
∴∠DEF=∠BGF，
∴AB∥DF；
（2）设∠FED=x，
∵∠FED-∠AED=51°，∠FED-∠BEF=63°，
∴∠AED=x-51°，∠BEF=x-63°，
∵∠AED+∠FED+∠BEF=180°，
∴x-51°+x+x-63°=180°，
∴x=98°，
∴∠AED=98°-51°=47°，
∵AB∥DF，
∴∠D=∠AED=47°．
26.【答案】解：（1）设甲类保温杯每个进价为x元，乙类保温杯每个的进价为y元，依题意得：
，
解得：．
答：甲类保温杯每个的进价为110元，乙类保温杯每个的进价为88元；
（2）设该超市本次购进甲类保温杯m个，则购进乙类保温杯为（80-m）个，
依题意得：（160-110）m+（140-88）（80-m）=4100，
解得：m=30，
∴80-m=80-30=50（台）．
答：该超市本次购进甲类保温杯30个，乙类保温杯50个．
27.【答案】110°；
∠ APC=α+β，理由如下：
过点P作PF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥PF∥CD，
∴∠CPF=∠PCD=β，∠FPA=∠PAB=α，
∴∠APC=∠CPF+∠FPA=α+β；
∠ APC=α-β或∠APC=β-α，理由如下：
当P在射线DM上时，PA交CD于G，如图3，∠APC=α-β，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠PGD=∠PAB=α，
∵∠PGD=∠PCD+∠APC，
∴∠APC=∠PGD-∠PCD=α-β；
当P在射线BO上时，PC交AB于H，如图，4，∠APC=β-α，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠PHB=∠PCD=β，
∵∠PHB=∠PAB+∠APC，
∴∠APC=∠PHB-∠PAB=β-α．

28.【答案】解：（1）∵直线l1：y=x+2与l2相交于点C（m,4），
∴4=m+2，解得m=2，
∴C（2，4），
设直线l2的表达式为y=kx+b（k≠0），
把点B（1，0），C（2，4）代入得：
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=4x-4.
（2）当x=0时，y=2，
∴直线l1与y轴的交点D的坐标为（0，2），
∴OD=2，
当y=0时，0=x+2，
∴x=-2，
∴直线l1与x轴的交点A的坐标为（-2，0），
∴OA=2，
∵B（1，0），
∴AB=3，
∴．
（3）∵过点M（t,0）作垂直于x轴的直线，与直线l2交于点Q，
∴点Q的坐标为（t,4t-4），
∵ ，
∴S△AQC=2S△ABC=12，
当点Q在点C的上方时，如图所示：
，
解得：t=4，
∴此时点Q的坐标为（4，12）；
当点Q在点C的下方时，如图所示：
，
解得：t=0，
∴此时点Q的坐标为（0，-4）；
综上分析可知，点Q的坐标为（0，-4）或（4，12）．
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