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2025-2026学年重庆市璧山中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在，，，这四个数中，无理数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CD∥AB的是（　　）
①∠1=∠4；
②∠2=∠3；
③∠5=∠B；
④∠DCB+∠B=180°.
A. ①②③④
B. ①③
C. ①③④
D. ①④
3.已知方程2x+〇=1是二元一次方程，则“〇”可能是（　　）
A. x B. y C. xy D. x2
4.在平面直角坐标系中，点P（m-2，m+1）一定不在的象限为（　　）
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
5.下列各式中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
6.如图，将直尺和45°的三角尺叠放在一起，若∠1=23°，则∠2的度数为（　　）
A. 58°
B. 68°
C. 78°
D. 88°
7.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱.甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
8.在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑥有（　　）
A. 36 B. 50 C. 72 D. 98
9.如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（　　）
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③存在这样的正整数x,输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值；
④对于任意的正无理数y,都存在正整数x,使得输入x后能够输出y.
A. ①②③
B. ②③
C. ①③④
D. ②④
10.已知关于x、y的方程组得出以下结论：
①当a=0时，方程组的解也是方程x+y=3的解；
②当x=y时，；
③不论a取什么实数，9x+y的值始终不变；
④不存在a使得9x-y=0成立.
其中正确的个数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.由16-2y+x=0，得到用y表示x的式子为 .
12.设x、y为实数，且，则x+y的立方根是 .
13.在平面直角坐标系中，点M的坐标是（-3，8），N在第一象限，且MN与x轴平行，且MN=5，则点N的坐标为 .
14.若关于x的一元一次方程a（x+1）+b=2x+c+2的解为x=1，则关于y的一元一次方程ay+b=2y+c的解为y= .
15.如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B，点B在y轴上，则点B的坐标为 ；点C是x轴负半轴上一点，过点C作CD∥y轴，D在第二象限，点E在线段CD上，连接OD、BE、BD、OE，且BE=6，OD=8.则四边形BOED的面积最大值为 .
16.对于任意一个四位数M，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大，若它的千位数字比个位数字多4，百位数字与十位数字之和为4的倍数，则称这样的M为“拉布布数”.例如四位数7263，∵7-3=4，2+6=8=2×4，∴7263是“拉布布数”；四位数5132，∵5-2≠4，∴5132不是“拉布布数”，则最大的“拉布布数”是 ；一个“拉布布数”M=，记，F（M）=4（a-b）.若能被5整除，则所有满足条件的M的最大值与最小值的和为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
阅读题目，完成下面推理过程：
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字.如图②是由图①抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF=∠GHD.求证：∠EFN=∠G.
证明：如图，延长EF交CD于点P.
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF=∠EPD（______）.
∵∠AEF=∠GHD（已知），
∴∠EPD=______（______）.
∴EP∥GH（______）.
∴∠EFN+______=180°（______）.
∵MG∥FN（已知），
∴∠FNG+∠G=180°（______）.
∴∠EFN=∠G（______）.
19.(本小题10分)
解下列方程组：
（1）；
（2）.
20.(本小题10分)
如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，∠AOE=∠BNM.
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数.
21.(本小题10分)
我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场.若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨.现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄.
根据以上信息，解答问题：
（1）1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？
（2）该物流公司的租车方案有哪几种？
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）.
（1）在图中画出△ABC向右平移3个单位，再向下平移4个单位的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标：A1 ______ ，B1 ______ ，C1 ______ ；
（3）设点P在x轴上，且△BCP的面积等于△ABC面积的两倍，求出点P的坐标.
23.(本小题10分)
若无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“湘一区间”为（n,n+1）；同理规定无理数的“湘一区间”为（-n-1，-n）.例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“湘一区间”为（1，2），的“湘一区间”为（-2，-1）.请解答下列问题：
（1）的“湘一区间”是______；的“湘一区间”是______；
（2）若无理数（a为正整数）的“湘一区间”为（2，3），且的“湘一区间”为（3，4），求的值；
（3）实数x,y,m满足关系式：，求的“湘一区间”.
24.(本小题10分)
综合与探究
【课本再现】
七年级下册教材P115页中我们曾探究过“以方程x-y=0的解为坐标的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系.我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上.例如；，是方程x-y=0的解，对应点A（-1，-1）、B（2，2），如图所示，我们在平面坐标系中将其标出，另外，方程的解还对应点（3，3）、（4，4）…将这些点连起来正好是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程x-y=0的解，所以我们把这条直线就叫做方程x-y=0的图象.
结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线.
【解决问题】
（1）已知A（1，2）、B（-2，0）、C（-1，2），则点______（填“A或B或C”）在方程2x+3y=4的图象上.
（2）已知无论a为何值，关于x、y的二元一次方程ax+3（y-a）=1的图象都经过某一定点，且这个定点在方程2x+by=5的图象上，求b的值.
【拓展延伸】
（3）已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且以此方程组的解为坐标的点在方程2x+y=9的图象上，求m的值.
25.(本小题10分)
2025年春晚重庆分会场赛力斯超级工厂舞台，由780辆“重庆造”新能源汽车表演的灯光秀震惊全场.如图1，假设江两岸是平行的，即PQ∥MN，在江两岸安置了两座可旋转探照灯A和B，灯A在灯B东北方向，灯A射出的光线从射线AQ开始以每秒1度的速度顺时针旋转至射线AP便立即以原速度回转，灯B射出的光线从射线BM开始以每秒2度的速度顺时针旋转至射线BN便立即以原速度的0.5倍回转.
（1）如图1，若灯A和灯B同时射出光线，当灯光转动时间为80秒时，记两光线相交于点C，则∠ACB= ______；
（2）如图2，点D，E在直线PQ上，点F，G在直线MN上，H是线段EF上一点，S是射线GD上一点，∠EDH=30°，∠HGF=50°，∠HDS和∠HGD的角平分线相交于点I，∠HGI和∠HDI的角平分线相交于点J，JD与GI相交于点R，HD与GI相交于点K，KT是∠GKD内部一条射线且∠DKG=4∠DKT，KT与∠GJD的角平分线相交于点L，探究∠KLJ与∠HGJ的数量关系并说明理由；
（3）若灯B比灯A提前30秒射出光线，当灯A射出的光线到达AP时，两灯同时停止照射，直接写出灯A和灯B射出的光线相交且垂直时，灯A射出的光线转动时间t的值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x=2y-16
12.【答案】2
13.【答案】（2，8）
14.【答案】2
15.【答案】（0，5）
24

16.【答案】9845
16337

17.【答案】
18.【答案】两直线平行，内错角相等 ∠ GHD 等量代换 同位角相等，两直线平行 ∠ FNG 两直线平行，同旁内角互补 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等
19.【答案】；
．
20.【答案】∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠AND（等量代换），
∴OE∥DM（同位角相等，两直线平行） 105°
21.【答案】1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨.该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车
22.【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）由图可得，A1（2，1），B1（2，-4），C1（-1，-1）．
故答案为：（2，1）；（2，-4）；（-1，-1）．
（3）设点P的坐标为（m,0），
∵△BCP的面积等于△ABC面积的两倍，
∴，
解得m=-11或9，
∴点P的坐标为（-11，0）或（9，0）．
23.【答案】（3，4）;（-3，-2） （2）的值为2或3 （3）的“湘一区间”是（13，14）
24.【答案】解：（1）C；
（2）将方程ax+3（y-a）=1，整理得a（x-3）+3y=1，
∵无论a为何值，方程ax+3（y-a）=1的图象都经过某一定点，
∴x-3=0，即x=3，y=，
将x=3，y=，代入2x+by=5得b=-3；
（3）将方程化简得，
①+②得（2+k）x+2y=28，
由2x+y=9得y=9-2x,
将y=9-2x代入（2+k）x+2y=28得：（k-2）x=10，
∵方程组有解，
∴k≠2，
∴x=，
∵x为正整数，所以k-2=1，2，5，10，
即k=3，4，7，12；
当k=3时，x=10，y=-11，不符合题意，舍去；
当k=4时，x=5，y=-1，不符合题意，舍去；
当k=7时，x=2，y=5，将代入①得m=，
当k=12时，x=1，y=7，将代入①得m=19，
综上所述，m的值为19或．

25.【答案】100°；
2∠KLJ-∠HGJ=60°，理由见解答；
：t=30或t=75或t=165．
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