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2025-2026学年福建省泉州市德化县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A. x≥3 B. x≥3且x≠2026 C. x＞3 D. x＞3且x≠2026
2.有依次排列的两个不为零的代数式a1=x+1，，用a2除以a1，可以得到代数式a3=x-1；再用a3除以a2，可以得到a4…以此类推，那么以下结论中，正确的个数为（　　）
①；
②若a1=3a6，则x的值为2；
③若的值为负数，则x＜1；
④对于任意正整数n,an an+2 an+4=1都成立.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.如图，在平面直角坐标系中， ABCD的对角线AC的中点为原点O，AB∥x轴，若点A的坐标为（-2，-1），AB=3，则点D的坐标为（　　）
A. （-1，1）
B. （1，-1）
C. （-1，2）
D. （-2，1）
4.已知点A（m,n）在第二象限，则点B（-n,m-3）在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x,y），若x,y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中y≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”.已知点P（2m-3，m+4），下列说法：
①若点P为“整点”且在第二象限，则点P的个数为5个；
②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上；
③若点P为“超整点”，则点P的个数为2个.
其中正确的个数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.如图，长方形ABCD中，AD=8，AB=6，顺次连接各边中点，得到四边形A1B1C1D1，顺次连接A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，以此类推，则A11B11=（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知函数y1=-|x|+2与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数y=kx+3k+3（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在反比例函数的图象上有动点A，连接OA，的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F.下列结论：①k=1；②；③；④若BD=AO，则∠AOC=2∠COE.其中正确的是（　　）
A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④
10.将分式中的a、b都扩大到3倍，则分式的值（　　）
A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大9倍 D. 扩大6倍
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.无论x取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为 .
12.新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式.
例如：x2+y2，（x-1）（y-1），它们都是交换对称式.已知：（x-a）（x-b）=x2-px+q.
①若p=2，q=-1，则交换对称式= ；
②若q=-2，则交换对称式的最小值为 .
13.甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地，甲、乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，求乙车出发后 小时与甲车相距15千米.
14.某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在100m的直线跑道上进行过障碍测试.甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离y甲，y乙（m）与甲、乙出发时间t（s）的函数图象如图所示.出发10秒后，乙出现失误摔倒，在经过8秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点.则甲乙第二次相遇时的时间是 秒.
15.正方形ABCD的边长为，以正方形的一边BC向外作等边三角形BCE，点G，F分别为边AD，CE上一动点（不与端点重合），且AG=CF，随着点G，F的运动，GF的最小值为 .
16.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则EF的最小值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：（m3n）-2 （2m-2n-3）-2.（结果不含负指数幂）
18.(本小题8分)
解方程：.
19.(本小题8分)
如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC=2∠D，连结AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.
20.(本小题8分)
阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”.类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式.
如：，
分式就拆分成一个分式与一个整式（x-1）的和的带分式形式.
阅读材料2：由（a-b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a,b,即a＞0，b＞0，
则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号.
例如：已知x＞0，求式子的最小值.
解：令a=x,，则由，得，
当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）分式可变形带分式得______，当x＞0，它的最小值为______；
（2）若分式的值为整数，则整数x的值为______；
（3）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍.求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用÷参加活动的同学人数）
（4）若式子的最小值是4，求m的值.
21.(本小题8分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线CD：y=kx+b与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线AB与直线CD交于点E（-2，m），点C在x轴的正半轴上，且OC=OB.
（1）求直线CD的表达式；
（2）点P是线段CE上一动点，点F为x轴上一动点，连接PA，PF，EF，当△PEA面积为4时，求PF+EF的最小值及点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，过P作PM⊥AB于点M，点K为直线AB上一动点，当∠MPK=45°+∠ACD时，直接写出满足条件的点K的坐标.
22.(本小题10分)
已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G.
（1）当m=-2时，若点D（3，n）在图象G上，求n的值；
（2）当m=2时，求函数的最大值；
（3）当m-1≤x≤m+1时，求函数最大值与最小值的差；
（4）已知点，，当图象G与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围.
23.(本小题10分)
为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品.某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润=销售额-成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
24.(本小题13分)
定义：在 ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”.
（1）下面的图形中是“N字平行四边形”的有：______；
A.正方形
B.矩形
C.有一个角是60°的菱形
D.有一个角是60°的平行四边形
E.有一个角是45°的平行四边形
（2）在“N字平行四边形”中，∠A=45°，则=______；
（3）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB=2AF，求的值.
25.(本小题13分)
综合与实践
【问题情境】
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动.
如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE.
【操作发现】
（1）当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 ______；直线DG与BE的夹角度数为 ______；
【深入探究】
（2）如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，且AB=2AE，∠DAB=∠GAE=60°，猜想DG与BE的数量关系与直线DG与BE的夹角度数，并说明理由；
【迁移探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，AB=2，在菱形AEFG绕点A旋转过程中，直接写出线段CE的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】-6

13.【答案】，或
14.【答案】40
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】．
18.【答案】x=1．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
20.【答案】，2；
-4或-2；
参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元；
m=2．
21.【答案】直线CD的表达式为y=-x+ 点P坐标为（1，1），PF+EF最小值为3 点K的坐标为（3，7）或（-5，-1）
22.【答案】解：（1）当m=-2时，函数，
∵点D（3，n）在图象G上，
∴当x=3时，n=-3-2=-5．
（2）当m=2时，函数，
当x＜2时，由k=1＞0，则y随x的增大而增大，即当x=2时，函数有最大值2；
当x≥2时，由k=-1＜0，则y随x的增大而减小，即当x=2时，函数有最大值2；
综上，函数的最大值为2．
（3）函数，
所以当x＜m时，y随x的增大而增大；当x≥m时，则y随x的增大而减小；
当m-1≤x≤m时，y随x的增大而增大；m≤x≤m+1时，y随x的增大而减小；
当x=m时，y有最大值；
当x=m-1时，y有最小值；
当x=m+1时，y有最小值；
当x=m+1时，y有最小值；
∴当m-1≤x≤m+1时，y有最大值，最小值，
∴函数最大值与最小值的差为．
（4）∵，
∴该分段函数图象大致为：
∵，，
∴线段AB在直线y=-2上．
若图象G与线段AB只有一个公共点时，有如下几种情况：
①∵或，
∴如图：，解得：m=-6；
②令，，分别解得：，，
当m＜0，如图：点A、B、C、D分别表示
∴，解得不等式无解；
当m=0，A、B同为（0，-2），与图形G无交点，
当m＞0，如图：点A、B、C、D分别表示，
∴，解得：m＞3；
③令，，分别解得：，，
当m＞0，如图：点A、B、C、D分别表示
∴，解得方程组无解；
当m=0，A、B同为（0，-2），与图形G无交点，
当m＜0，如图：点A、B、C、D分别表示，
∴，解得：．
综上，m=-6或m＞3或．
23.【答案】解：（1）当0≤x≤2000时，设y=k′x，根据题意可得，2000k′=30000，
解得k′=15，
∴y=15x；
当x＞2000时，设y=kx+b，
根据题意可得，，
解得，
∴y=13x+4000．
∴y=．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000-x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w=（12-8）×（6000-x）+（18-15） x=-x+24000，
∵-1<0，
∴当x=1600时，w的最大值为-1600+24000=22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w=（12-8）×（6000-x）+18x-（13x+4000）=x+20000，
∵1＞0，
∴当x=4000时，w的最大值为4000+20000=24000（元），
综上，w=；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
(3) 根据题意可知,降价后,w=(12-8-a)(6000-x)+(18-2a) x-(13x+4000) = (1-a) x+20000-
6000a,
当x=4000时，w取得最大值,
(1-a)4000+20000-6000a15000，解得a0.9.
a的最大值为0.9.
24.【答案】C 或 或
25.【答案】DG=BE，90°；
【深入探究】 DG=BE；直线DG与BE的夹角度数为60°；理由见解析；
【迁移探究】 如图4，线段CE的最小值为2-1．
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