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江西赣州市大余县部分学校2025～2026学年度下学期期中考试八年级数学试题卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边的三角形是直角三角形的是（）
A. 2，3，4 B. ，， C. 6，7，8 D. 5，12，13
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，平行四边形的对角线，交于点，若，，则的长可能是( )
A. B. C. D.
5.如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　）
A. AB=5
B. ∠C=90°
C. AC=2
D. ∠A=30°
6.如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形，都是矩形，若，，则（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.化简：= ．
8.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5米的处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，折断前树高为 米．
10.如图，在平行四边形中，，，于，则 ．
11.如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的周长为 ．
12.如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.计算：
(1)
(2) ．
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题3分)
如图，平行四边形ABCD，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交对角线BD于点E，连结AE并延长交CD于点F，求证：DF=DE．
15.(本小题6分)
请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
(1) 如图，四边形是平行四边形，为上任意一点，请在边上找点，使；
(2) 如图，是菱形的边上的高，请作出菱形的边上的高．
16.(本小题6分)
如图，等边中，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若等边的边长为6，求的长．
17.(本小题8分)
在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米．
(1) 求小溪流的长；
(2) 求四边形的面积（结果保留根号）．
18.(本小题8分)
如图，在中，，是边上的中线，分别过点C和点D作，两线交于点E，且交于点O，连接．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求四边形的面积．
19.(本小题8分)
如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1) 求秋千的长度．
(2) 如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送 m．
20.(本小题8分)
在四边形中，，，，，点从出发以1 cm/s的速度向运动，点从点出发，以2 cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．
(1) t取何值时，四边形为矩形？
(2) 是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
21.(本小题9分)
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有的信息不太明显需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件解得：
∴，
∴原式
．
(1) 【启发应用】
按上面的解法，试化简：；
(2) 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简；
(3) 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且x、y满足．
(1) 矩形的顶点B的坐标是 ；
(2) 若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形：
(3) 若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
23.(本小题12分)
综合与探究【问题情境】
如图，已知正方形和正方形，点B在的延长线上，点G在边上．
(1) 线段与的数量关系为 ；证明你的结论．
(2) 现将正方形绕点A按顺时针方向旋转（），在旋转过程中，探究下列问题：
①当正方形旋转至下图位置时，分别交，于点M，N．求证：；
②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】18
10.【答案】/25度
11.【答案】13
12.【答案】或或5
13.【答案】【小题1】
解：
.
【小题2】
解：
.

14.【答案】证明：由作图可知：BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠DFE，
∵∠AEB=∠DEF，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF．
15.【答案】【小题1】
解：如图所示，点F即为所求．
【小题2】
如图所示，DF即为所求．

16.【答案】【小题1】
∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE// BC，DE= BC，
∵CF= BC，
∴DE=CF，
又∵DE// CF，
∴四边形DCFE是平行四边形；
【小题2】
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=DC，
在等边△ABC中，D为AB的中点，
∴CD⊥AB且BD==，
∴在Rt△BCD中，BC=，
∴，
∴EF=DC=．

17.【答案】【小题1】
解：如图，连接，
∵，千米，
∴（千米）；
【小题2】
解：∵（千米），千米，千米．
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴（平方千米）．

18.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
在中，是边上的中线，
∴．
∴．
∵，即
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴平行四边形是菱形；
【小题2】
解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．

19.【答案】【小题1】
解：由题意得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，则．
设秋千的长度为，则．
在，根据勾股定理，得，
即，
解得．
所以秋千得长度为5m；
【小题2】
3

20.【答案】【小题1】
解：由题意可知，，则，，则，
∵，即，
∴当时，四边形为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
则有，解得，
答：时，四边形为矩形；
【小题2】
解：∵，是上一点，即，
①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述 s或 s时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．

21.【答案】【小题1】
解：由二次根式有意义的条件得，即，
则，
∴原式.
【小题2】
解：由数轴知，且，
则，，
∴原式．
【小题3】
解：由三角形三边关系得，，，
∴原式.

22.【答案】【小题1】
【小题2】
证明：∵是中点，
∴，
∵折叠
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且
∴四边形是平行四边形；
【小题3】
解：存在，理由如下：
∵为顶点的四边形是菱形，分别以为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与y轴交点得出点M，如图所示：
∵，，
∴
∴，，
∴，，，．

23.【答案】【小题1】
证明：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，，
在正方形和正方形中，
，，，
．
∴．
【小题2】
证明：①，
，
．
，，
，
．
，
，
．
②在正方形中，
平分，
，
根据正方形的顶点（点除外）在直线上，分以下三类：
Ⅰ、如图3，当在直线上时，过点作于点，则，
，
，，
，
．

Ⅱ、如图4，当在直线上时，在正方形中，平分，
，
，，
，，三点共线，
．

Ⅲ、如图5，当在直线上，过点作于点，
，
，
，，
，
．

综上所述：为或．

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