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三角形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（　　）
A．12个 B．10个 C．8个 D．6个
2．王爷爷要将一块如图的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的 (　　)
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是
3．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，，且，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，AB∥CD，点E，F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．如图，小明有两根长度为，的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的5根木棒供他选择，现从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点D在AC上，BD平分，延长BA到点E，使得，连接DE．若，则的度数是（　　）
A．68° B．69° C．71° D．72°
8．如图，把一块三角板 ABC 的直角顶点B放在直线 EF 上， ∠C=30° ，AC∥EF，则 ∠1= （　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（　　）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
10．在 中， ， ，D为BC中点，E，F分别是AB，AC两边上的动点，且 ，下列结论：① ；② 的长度不变；③ 的度数不变；④四边形AEDF的面积为 .其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，已知∠A=∠B=2∠C，则∠C=　 　.
12．如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为　 　时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
13．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F．给出下列条件：①AB=CD，∠B=∠C；②AB=DC，AB∥CD；③AB=DC，BE=CF；④AB=DF，BE=CF．可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是　 　 .（填序号）
14．如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数是　 　．
15．如图，D是AB延长线上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，FC∥AB，若AB＝3，CF＝5，则BD的长是 　 　．
16．如图，与中，，，，交于D．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，是角平分线，过点D作，交于点E．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，则______（用含、的式子表示）．
18．某班数学兴趣小组为了测量渔洋河南北两岸的宽度，他们的方法是：让小明从点出发，沿河岸向东走步到达电线杆处，继续前行步到达处，然后右转直行步到达处，这时，，三点在一条直线上．
（1）小组得到结论“的长度就是河宽”，请说明其中的道理．
（2）若小明一步的长度为厘米，请估计河宽有多少米．
19．已知：如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于O，若，．
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）求的度数．
20．如图，已知，，．
求证
（1）≌；
（2）．
21． 如图， △EFG≌△NMH，∠F 和∠M 是对应角. 在△EFG 中， FG 是最长边. 在△NMH中， MH 是最长边， 且EF=2.1， EH=11， NH=3.3.
（1）写出其他对应边及对应角；
（2）求线段 NM 及线段 HG 的长度.
22． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF.
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长；
（3）若CF＝BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系　 　．
23．如图，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，EF与AD相交于O，已知△ADC的面积为1．
（1）证明：DE=DF；
（2）试探究线段EF和AD是否垂直？并说明理由；
（3）若△BDE的面积是△CDF的面积2倍．试求四边形AEDF的面积．
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三角形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（　　）
A．12个 B．10个 C．8个 D．6个
【答案】B
【解析】【解答】解：设三角形的最短边为a，最长边为b
∴三角形的三边长分别为a，6，b
∴06
∵三角形的三边长均为整数
∴a可以是1、2、3、4、5
当a=1时，b<1+6 即：b<7，不符合题意
当a=2时，b，即b，∴b=7
当a=3时，b，即b，∴b=7或8，
当a=4时，b，即b，∴b=7或8或9，
当a=5时，b，即b，∴b=7或8或9或10
满足条件的三角形共有．
故答案为：B．
【分析】设三角形的最短边为a，最长边为b，根据题意得出：06，因为三角形的三边长均为整数，因此可以得出a可以是1、2、3、4、5，然后根据分类讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出最长边，从而得解．
2．王爷爷要将一块如图的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的 (　　)
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是
【答案】B
【解析】【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段AD应该是△ABC 的中线.
故答案为：B .
【分析】根据三角形的中线分出的两个三角形面积相等解答即可.
3．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，，且，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，∴，
A、当添加，在和中，，因此；
B、当添加时，结合，，无法用SSA证明；
C、当添加时，则，即，在和中，，故；
D、当添加时，在和中，，故；
综上，不能证明的是B选项。
故答案为：B．
【分析】本题先依据“两直线平行、内错角相等”得出，然后结合全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行逐项分析判断即可。SSA无法证明两个三角形全等。
4．如图，AB∥CD，点E，F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解析】【解答】∵∠BFC=130°，
∴∠BFA =50°，
又∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠B+∠A+∠BFA+∠D+∠C+∠CED= 360°，
∴∠B+∠D=60°，
故选： C.
先由平行线的性质得出∠A+∠C =180°，再由三角形的内角和为180°，将△ABF和△CDE的内角和加起来即可得∠B+∠D的度数.
【分析】
5．如图，小明有两根长度为，的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的5根木棒供他选择，现从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：小明有两根长度为，的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的5根木棒供他选择，能组成三角形的木棒有：，共2根，
∴从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为．
故答案为：B.
【分析】根据题意，找出全部等可能情况的总数和符合条件的情况数目；然后根据概率公式计算即可求解．
6．如图，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。
7．如图，在中，点D在AC上，BD平分，延长BA到点E，使得，连接DE．若，则的度数是（　　）
A．68° B．69° C．71° D．72°
【答案】C
【解析】【解答】解： BD平分，
，
与中，
，
，
，
由，
即，
设，则，
又，
，
解得．
故答案为：C.
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，邻补角的定义．已知BD平分，根据角平分线的定义可得：，再结合可证明：，进而得出，结合，可得：.设，则，可得方程，解方程即可求出答案．
8．如图，把一块三角板 ABC 的直角顶点B放在直线 EF 上， ∠C=30° ，AC∥EF，则 ∠1= （　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°；
∵AC∥EF，
∴∠1=∠A=60°.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；再利用两直线平行，内错角相等，可求出∠1的度数.
9．如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（　　）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
10．在 中， ， ，D为BC中点，E，F分别是AB，AC两边上的动点，且 ，下列结论：① ；② 的长度不变；③ 的度数不变；④四边形AEDF的面积为 .其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，
∵∠BDA=∠EDF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠B=∠DAF=45°，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，DE=DF，
故①符合题意，
∵DE=DF，∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE的长度是变化的，
∴EF的长度是变化的．
故②不符合题意．
∵△BDE≌△ADF，
∴∠BED=∠AFD，
∴∠BED+∠CFD=∠AFD+∠CFD=180°，
故③符合题意；
∵△BDE≌△ADF，
∴ ，
∴ ．
故④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形全等的判定方法和三角形的面积对每个结论一一判断即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在△ABC中，已知∠A=∠B=2∠C，则∠C=　 　.
【答案】36°
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C+2∠C+∠C=180°，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°.
故答案为：36°.
【分析】根据三角形的内角和等于180°，结合∠A=∠B=2∠C，把∠A和∠B转化为用∠C来表示，列式求解即可.
12．如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为　 　时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【答案】3或 厘米/秒
【解析】【解答】解：∵AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，
∴BD= ×10=5cm，
设点P、Q的运动时间为t，则BP=3t，
PC=（8﹣3t）cm①当BD=PC时，8﹣3t=5，
解得：t=1，
则BP=CQ=3t=3，
故点Q的运动速度为：3÷1=3（厘米/秒）；②当BP=PC时，∵BC=8cm，
∴BP=PC=4cm，
∴t=4÷3= （秒），
故点Q的运动速度为5 = （厘米/秒）；
故答案为：3或 厘米/秒．
【分析】已知∠B=∠C，再有两边相等，根据SAS，得到三角形全等当BD=PC时，求出t的值；当BP=PC时，求出t的值.
13．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F．给出下列条件：①AB=CD，∠B=∠C；②AB=DC，AB∥CD；③AB=DC，BE=CF；④AB=DF，BE=CF．可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是　 　 .（填序号）
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵BE⊥AD， CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
①AB=CD，∠B=∠C， 又∠AEB=∠CFD， 由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF， 故①符合题意；
②由AB∥CD；推出∠A=∠D， 又∠AEB=∠CFD， AB= DC， 由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF，故②符合题意；③AB=DC， BE=CF， 由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF， 故③符合题意；
④AB= DF， Rt△ABE的斜边AB和Rt△DCF的直角边相等， 不能判定Rt△ABE≌Rt△DCF，故④不符合题意.
∴可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③.
故答案为： ①②③.
【分析】由全等三角形的判定定理逐项判断解答即可.
14．如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，是正南和正北方向，
，
处在处的南偏西方向，
，
处在处的南偏东方向，
，
，
又处在处的北偏东方向，
，
，
．
故答案为：．
【分析】 本题考察方向角、平行线的性质及三角形内角和定理，解题需先梳理方向线的平行关系，再逐步推导角度。因为AE与DB平行，根据平行线内错角相等，B在A南偏西42°，故∠BAE=∠DBA=42°；C在A南偏东30°，故∠EAC=30°，因此∠BAC=42°+30°=72°。又C在B北偏东72°，故∠DBC=72°，则∠ABC=∠DBC-∠DBA=72°-42°=30°。根据三角形内角和为180°，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-72°-30°=78°。
15．如图，D是AB延长线上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，FC∥AB，若AB＝3，CF＝5，则BD的长是 　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵FC∥AB，
∴∠A=∠ECF，
又∵∠AEC=∠CEF，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AD=CF=5，
∴BD=AD-AB=5-3=2.
故答案为：2.
【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，根据对顶角相等得出∠AEC=∠CEF，再利用ASA证明△AED≌△CEF，得出AD=CF=5，最后根据线段和差求BD长即可.
16．如图，与中，，，，交于D．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【解析】【解答】在和中，，
，
，
，则结论①符合题意；
∴，则结论③符合题意；
由三角形的外角性质得：，
又，
，则结论④符合题意；
假设，
在和中，，
，
，即AF是的角平分线，
∵AF不一定是的角平分线，
∴假设不一定成立，则结论②不符合题意；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】利用“SAS”证明三角形全等及全等三角形的性质逐项判断即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，是角平分线，过点D作，交于点E．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，则______（用含、的式子表示）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）
【解析】【解答】解：（2）∵，是角平分线，∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和可得的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
（2）同（1）的思路即可解答．
（1）∵，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．某班数学兴趣小组为了测量渔洋河南北两岸的宽度，他们的方法是：让小明从点出发，沿河岸向东走步到达电线杆处，继续前行步到达处，然后右转直行步到达处，这时，，三点在一条直线上．
（1）小组得到结论“的长度就是河宽”，请说明其中的道理．
（2）若小明一步的长度为厘米，请估计河宽有多少米．
【答案】（1）解：，，，
在与中，，
≌，.
（2）解：米，河宽米
【解析】【分析】（1）根据AB⊥AD，ED⊥AD可知∠BAC=∠EDC，再由AC=DC，∠ACB=∠ECD可得出△ABC≌△EDC，由全等三角形的性质即可得出结论．
（2）根据步数及步长即可计算得河宽，注意单位
（1），，
，
在与中，
，
≌，
；
（2）米，
河宽米
19．已知：如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于O，若，．
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）求的度数．
【答案】（1）解：∵，．
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵，．
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的平分线， ，
∴，
∴；
（3）解：在中，∵，，
∴．
∵是角平分线，
∴．
∵是的高，
∴，
∴在中，，
∴．
【解析】【分析】本题考查三角形内角和定理、高线、角平分线的知识。（1）根据内角和，求出∠BAC的度数，根据BF是∠ABC的平分线，可得∠ABF，则可得AFB；（2）根据（1），结合AE平分∠BAC，可得∠BAE，可得∠AOB；（3）计算出∠EAC，∠DAC，可得∠DAE.
20．如图，已知，，．
求证
（1）≌；
（2）．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵BE=CF，EF=EF，
∴BF=CE，
∵AB=CD，
∴≌（SAS）.
（2）证明：≌，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质求出，根据BE=CF推出BF=CE，最后根据边角边即可 证明两个三角形全等；
（2）利用第一问的三角形全等求出，利用邻补角从而推出两直线平行.
21． 如图， △EFG≌△NMH，∠F 和∠M 是对应角. 在△EFG 中， FG 是最长边. 在△NMH中， MH 是最长边， 且EF=2.1， EH=11， NH=3.3.
（1）写出其他对应边及对应角；
（2）求线段 NM 及线段 HG 的长度.
【答案】（1）解：其他对应边：EG 和NH，EF 和 NM；其他对应角：∠E和∠N，∠EGF 和∠NHM.
（2）解：由（1）知， NM=EF=2.1，EG=NH=3.3，
∴HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2，
∴ 线段 NM 及线段 HG 的长度分别为2.1和2.2.
【解析】【分析】（1） 已知△EFG≌△NMH，且对应角∠F与∠M对应，根据全等三角形的对应关系即可确定其他对应边和角.
（2）根据第（1）题得到的EF和NM是对应边，EG 和NH是对应边，可以得到NM=EF，EG=NH，再根据题目给出的变得长度即可得到 线段 NM 及线段 HG 的长度.
22． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF.
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长；
（3）若CF＝BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系　 　．
【答案】（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE；
（2）解：由（1）得△ACD≌△AED，
∴DC＝DE.
∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB，
∴.
∵AC＝8，AB＝10，
∴，
∴DE＝.
（3）AB＝AF+2EB
【解析】【解答】解： (3)∵AC＝AE，AC＝AF+CF，AB＝AE+BE，
∴AB＝AF+CF+BE.
∵CF＝BE，
∴AB＝AF+2EB.
【分析】 (1)通过AAS证明△ACD≌△AED，即可证△ACD≌△AED.
(2) 先证DC=DE，然后根据S△ACB＝S△ACD+S△ADB，列等式即可求解DE的长.
(3)根据AC=CE，CF＝BE和线段的和差关系即可得结果.
23．如图，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，EF与AD相交于O，已知△ADC的面积为1．
（1）证明：DE=DF；
（2）试探究线段EF和AD是否垂直？并说明理由；
（3）若△BDE的面积是△CDF的面积2倍．试求四边形AEDF的面积．
【答案】解：
（1）证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF（角平分线的性质）；
（2）垂直．理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上，
同理点D也在线段EF的垂直平分线上，
∴AD⊥EF；
（3）设S△CDF=x，则S△BDE=2x，
∵S△ACD=1，且△AED≌△AFD，
∴S△AED=S△AFD=1﹣x，
∴S△ABD=S△BDE+S△AED=2x+1﹣x=x+1，
又S△ABD=AB DE，S△ACD=AC DF，且AB=c，AC=b，
∴×c DE=x+1，×b DF=1，
∴DE=，DF=，
又由（1）可知DE=DF，
∴=，解得x=﹣1，
∵△AED≌△AFD，
∴S△AED=S△AFD=S△ACD﹣S△CDF=1﹣x，
∴S四边形AEDF=2S△AED=2（1﹣x）=2[1﹣（﹣1）]=4﹣，
即四边形AEDF的面积为4﹣．
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质直接可得到DE=DF；
（2）可证明△AED≌△AFD，可知AE=AF，利用线段垂直平分线的判定可证明AD是EF的垂直平分线，可证得结论；
（3）设△CDF的面积为x，则可分别表示出△BED、△ADE的面积，利用三角形的面积可分别表示出DE和DF，根据DE=DF可得到关于x的方程，可求得x的值，进一步可求得四边形AEDF的面积．
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