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第五章 图形的轴对称 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，，，尺规作图痕迹如图所示．结论Ⅰ：连接，则；结论Ⅱ：点F到三边距离相等．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ对、Ⅱ不对
C．Ⅱ对，Ⅰ不对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对
2．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，在中，，是的角平分线，于，若，，则的面积是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM＋MN的最小值是（　　）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝∠ADB，点P是BC边上的一动点，连接DP，若AD＝4，则DP的长不可能是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（　　）
A．11 B．16 C．17 D．18
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=25°，DE垂直平分AC，交AB于点D，连接CD，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．25° C．52.5° D．无法确定
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，点N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E。若CD=2则DE=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10． 如图， 等腰三角形ABC， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点D， 点P是BA 延长线上一点， 点O 是线段 AD上一点， OP=OC， 以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ；④；⑤，其中正确个数是(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若AB=6，△ABD的面积为6，则CD的长为　 　.
12．如图，射线OC是∠AOB的平分线，P是射线OC上一点，PD⊥OA于点D，DP＝6，若E是射线OB上一点，OE＝4，则△OPE的面积是 　 　．
13．如图，△ABC的内部有一点P，且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠DAF＝70°，∠DBE＝60°，∠ECF＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝　 　．
14．如图，在中，，，，平分，求D到的距离等于　 　．
15．如图，在中，边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且CE=5，BE=8，则AC的长为　 　.．
16．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的一个动点，则周长的最小值是　 　 。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，平分交于点，为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-4，4），C（-1，-1）.
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）若直线l经过点（1，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标　 　；
（3）△ABC的面积为　 　.
19．如图，，．
（1）判定与的大小关系，并说明理由；
（2）若平分，于点，，求的度数．
20． 如图，在中，是的平分线，．
（1）求证：；
（2），，点到的距离为，求的面积．
21．如图，已知四边形的四个顶点分别为．
（1）作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____．
（2）在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
（3）求四边形的面积．
22． 如图，点E，A，D，B在同一条直线上，，，.
（1） 与全等吗？请说明理由；
（2） 尺规作图：作的角平分线，与AC交于点P（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3） 在条件（2）下，若，，求的面积.
23．已知直线，点E在、之间，点P、Q分别在直线、上，连接、.
（1）如图①，过点E作，为探究、、之间的数量关系，请你完成下列解题过程：
，（已知），
，
▲ ， ▲ （ ），
，
.
（2）如图②，请直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，当时，直接写出的度数.
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第五章 图形的轴对称 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在中，，，尺规作图痕迹如图所示．结论Ⅰ：连接，则；结论Ⅱ：点F到三边距离相等．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ对、Ⅱ不对
C．Ⅱ对，Ⅰ不对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得是的垂直平分线，平分，连接，如图所示：
∵，
∴的垂直平分，
∴，故Ⅰ正确；
∵点是的垂直平分线的交点，但不一定是的角平分线的交点，故Ⅱ不正确；
故答案为：B
【分析】由题意得是的垂直平分线，平分，连接，进而检验垂直平分线的性质即可判断Ⅰ，进而结合题意即可判断Ⅱ。
2．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：第一个图形是轴对称图形，有2条对称轴，
第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴，
第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴，
第四个图形是轴对称图形，有3条对称轴，
所以，是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是3．
故选B．
【分析】根据轴对称图形的定义对各图形分析判断即可得解。
3．如图，在中，，是的角平分线，于，若，，则的面积是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=3，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD＝AB·DE＝×8×3＝12.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质定理，得DE＝CD＝3，再由三角形面积公式，代入数据计算，即可求得△ABD的面积.
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM＋MN的最小值是（　　）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME=MN，
∴CM+MN=CM+ME=CE．
∴，
解得，CE=4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故答案为：B．
【分析】先作CE⊥AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质可得ME=MN，根据垂线段最短可得CE即为CM+MN的最小值，根据等面积法即可求得CE.
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝∠ADB，点P是BC边上的一动点，连接DP，若AD＝4，则DP的长不可能是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝4，
∴DH＝4，
又∵点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，
∴DP≥4，
∴DP的长不可能是3，
故答案为：D.
【分析】过点D作DH⊥BC交BC于点H，先求出∠ABD＝∠CBD，可得BD是∠ABC的角平分线，由AD⊥AB，DH⊥BC，可得AD＝DH，点P在BC上运动时，当点P运动到与点H重合时DP最短，从而得出结论.
6．如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（　　）
A．11 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【解析】【解答】解：垂直平分AE，
，
，
，
，
的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16，
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AC=CE=5，再利用三角形的周长公式列出算式AB+AC+BC计算即可。
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=25°，DE垂直平分AC，交AB于点D，连接CD，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．25° C．52.5° D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=25°，
∴∠B=∠ACB=77.5°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=25°，
∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=52.5°，
故选：C．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=77.5°，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，求出∠ACD=∠A=25°，计算即可．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，点N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E。若CD=2则DE=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AD平分∠BAC，
∵ DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE，
∵CD=2，
∴DE=2，
故答案为：B.
【分析】由基本作图可得AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质即可得到CD=DE，即可得出答案.
9．如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点P作PF⊥BC，垂足为F，延长FP交AD于点M，
∴∠BFP = 90°，
∵AD∥BC，
∴∠BFP=∠DMP =90°，
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PE=PF=4，
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PM⊥AD，
∴PE=PM=4，
∴MF= PM+ PF= 8，
∴点P到AD与BC的距离之和为8.
故答案为：C.
【分析】过点P作PF⊥BC，垂足为F，延长FP交AD于点M，根据垂直定义可得∠BFP =90°，从而利用平行线的性质可得∠BFP=∠DMP =90°，然后根据角平分线的性质定理可得PE=PF=PM=4，最后进行计算即可解答.
10． 如图， 等腰三角形ABC， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点D， 点P是BA 延长线上一点， 点O 是线段 AD上一点， OP=OC， 以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ；④；⑤，其中正确个数是(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】【解答】解：如图， ①连接OB，
∵AB=AC， BD=CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO =∠ABO， ∠DBO =∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°.故①正确；
②∵△OBP中， ∠BOP =180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中， ∠BOC =180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC =360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB =∠OBP， ∠OBC =∠OCB，
∴∠POC =2∠ABD = 60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ = OA， 则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，在△BQO和△PAO中，
∴△BQO≌△PAO(AAS)，
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC = AO+AP， 故③正确；
④作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°， ∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
∵△OPC是等边三角形，
∴OC=CP，
在△CDO和△CHP中，
∴△CDO≌△CHP(AAS)，
，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH(HL)，
∵四边形OAPC面积=
，
∴四边形OAPC面积.故④正确.
⑤∵AB=AC， ∠BAC =120°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD，
∴当AO=2OD时结论才成立，
∴AB不一定等于3AO， 故⑤错误.
故选： B.
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP， 即可解题；②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC = 2∠ABD=60°， 即可解题；③AB上找到Q点使得AQ =OA， 易证△BQO ≌△PAO， 可得PA= BQ， 即可解题；④作CH⊥BP， 可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌ Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题；⑤根据∠BAC=120°， 可得∠B=30°， 进而可得AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD， 故当AO=2OD时结论成立.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若AB=6，△ABD的面积为6，则CD的长为　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图
∵ AD是△ABC的角平分线 ，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD=DE
∵ △ABD的面积为6
∴
∵ AB=6
∴DE=2
∴CD=DE=2
故答案为：2.
【分析】利用角平分线的性质证明CD=DE，再根据面积法求出DE=2，从而知道CD=2。
12．如图，射线OC是∠AOB的平分线，P是射线OC上一点，PD⊥OA于点D，DP＝6，若E是射线OB上一点，OE＝4，则△OPE的面积是 　 　．
【答案】12
【解析】【解答】解：如图，过点P作PF⊥OB于点F，
∵射线OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，DP＝6，
∴PF=PD=6，
∴△OPE的面积是．
故答案为：12
【分析】根据题意先求出PF=PD=6，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
13．如图，△ABC的内部有一点P，且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠DAF＝70°，∠DBE＝60°，∠ECF＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝　 　．
【答案】360°
【解析】【解答】连接AP，BP，CP，
∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点
∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．
故答案为：360°．
【分析】连接AP，BP，CP后，根据轴对称的性质，可得到角相等，结合周角的定义可知答案．
14．如图，在中，，，，平分，求D到的距离等于　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，过点D作，垂足为H，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴点到的距离等于，
故答案为：3．
【分析】本题考查角平分线的性质．过点D作，垂足为H，根据，，利用比例的性质可求出DC的长度 ，再根据平分，，，利用 角平分线的性质可得：，进而可求出点到的距离.
15．如图，在中，边的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，且CE=5，BE=8，则AC的长为　 　.．
【答案】13
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交AB于点D，
∴
∴
故答案为：13.
【分析】根据垂直平分线的性质得到：进而即可求出AC的长度.
16．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的一个动点，则周长的最小值是　 　 。
【答案】10
【解析】【解答】解：EF垂直平分BC，
B、C关于EF对称，
设EF交AC于G点，
当D与G点重合时，AD+BD的值最小，这个最小值等于AC的长度，
AB=4，AC=6，
的周长最小值=AB+AC=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】根据题意可得B、C两点关于EF对称，再根据对称轴中的最短路径问题分析，D运动到G点为AD+BD的最小值点，再根据已知条件得到周长最小值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，平分交于点，为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）证明：
∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，
∵DE∥BC，∴∠3=∠1=∠2，∴DE=CE．
（2）解：作DF⊥BC交BC于F，
∵CD平分∠ACB，∠A=∠DFC=90°，∴AD=DF=4，
∴．
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得到DE=CE.
(2)本题主要考查了角平分线的性质，利用角平分线的性质求得BC边上高线DF的长度，然后计算 的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-4，4），C（-1，-1）.
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）若直线l经过点（1，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标　 　；
（3）△ABC的面积为　 　.
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求

（2）（3，-1）
（3）7
【解析】【解答】解：（3）
故答案为：7
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据对称性质即可求出答案.
（3）根据割补法求三角形面积即可求出答案.
19．如图，，．
（1）判定与的大小关系，并说明理由；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1）证明：理由如下：
，
，
又，
，
，
；
（2）解：平分，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，，
．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得：进而得到：，即可证明，进而得到：；
（2）根据角平分线的性质得：，进而得到：，再根据三角形的内角和定理可求出的度数，再根据平行线的性质得到：，即可求出的度数
20． 如图，在中，是的平分线，．
（1）求证：；
（2），，点到的距离为，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点分别作于点，于点，
是的平分线，点到的距离为，
，
，，，
，
的面积，
的面积．
【解析】【分析】（1）在上截取，连接，先利用“SAS”证出≌，可得，，再利用角的运算求出，利用等角对等边的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）过点分别作于点，于点，利用角平分线的性质可得，再利用线段的和差求出AC的长，最后利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
21．如图，已知四边形的四个顶点分别为．
（1）作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____．
（2）在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
（3）求四边形的面积．
【答案】（1），；
（2）解：如下图，点P即为所求．
（3）解：
【解析】【解答】（1）解：如下图四边形即为所求；：；：．
故答案为：（1）．
【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征，先分别找出A、B、C、D关于y轴对称的点A1、B1、C1、D1，然后连接这四个点即可；然后根据关于y轴对称的点的特征，即“纵坐标不变、横坐标互为相反数”，即可写出B1、C1的坐标；
（2）利用将军饮马原理，先找到B点关于x轴的对称点B'，连接AB’后与x轴的交点，即为P点；
（3）利用割补法将四边形放到边长为3×3的正方形中，再减去多余的两个底为3、高为2的三角形面积，列式计算即可求出四边形的面积．
（1）解：如下图四边形即为所求；：；：．
故答案为：．
（2）解：如下图，点P即为所求．
（3）解：．
22． 如图，点E，A，D，B在同一条直线上，，，.
（1） 与全等吗？请说明理由；
（2） 尺规作图：作的角平分线，与AC交于点P（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3） 在条件（2）下，若，，求的面积.
【答案】（1）解： 或 与 全等.理由如下：
∵，且 ，
∴.
∵，
∴.
在和中，
（SAS）.
（2）解：如下图：
射线 BP 即为所求；
（3）解：如下图，过点 P 作 于点 H，
，
，
平分， 且 ，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）通过线段和差得边相等，平行线得角相等，结合（实际是，因直角 ）证全等，关键是条件转化与全等判定.
（2）运用尺规作角平分线的基本方法，保留作图痕迹即可，核心是角平分线的尺规作图步骤.
（3）利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）得高相等，结合全等三角形性质得长度，最后用三角形面积公式计算，重点是性质应用与面积公式的结合.
23．已知直线，点E在、之间，点P、Q分别在直线、上，连接、.
（1）如图①，过点E作，为探究、、之间的数量关系，请你完成下列解题过程：
，（已知），
，
▲ ， ▲ （ ），
，
.
（2）如图②，请直接写出、、之间的数量关系；
（3）如图③，平分，平分，当时，直接写出的度数.
【答案】（1）；；两直线平行，内错角相等.
（2）
（3）
【解析】【解答】解：（2）如图，过点E作EH∥AB，
，
，
(3)如图，过点E作EH∥AB，过点F作MF∥CD，
， EH∥AB，MF∥CD，
EH∥CD，MF∥AB，
，
平分，平分，
MF∥CD，
【分析】（1）根据平行线的性质即可求解；
（2）过点E作EH∥AB，利用平行线的性质和角的和差关系即可求解；
（3）过点E作EH∥AB，过点F作MF∥CD，利用平行线的性质与角平分线的定义即可求解.
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