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因式分解 单元综合知识巩固卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列代数式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2-1 B．x2 +xy+y 2 C．x2-2x+1 D．x2+2x -1
3．下列各式中，能用公式法分解因式的有（　　）
①-x2-y2；②-a2b2+1；③a2+ab+b2；④-x2+2xy-y2；⑤-mn+m2n2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a(a-4) B．(a+2)(a-2) C．a(a+2)(a-2) D．(a-2)2-4
5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．m2﹣m﹣1 B．﹣2m+m2+1 C．1﹣2m﹣m2 D．m2﹣2m﹣1
6．已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为：（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．一个长方形的面积为 ， 若它的宽为 ， 则它的长为（　　）
A． B． C． D．
9．把多项式因式分解成，则m的值为（　　）
A． B．3 C．5 D．7
10．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （　　）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解：x2﹣3x=　 　．
12．分解因式：
（1）3a2-6a+3=　 　；（2）x2+7x+10 = 　 　.
13．已知 ，那么 的值为　 　．
14．分解因式：ab2﹣4ab+4a=　 　．
15．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=　 　．
16．分解因式：x2﹣ y2=　 ．ab﹣a﹣b+1=　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．分解因式：
（1） ；
（2） .
18．分解因式
（1）；
（2）；
（3）；
19．小伟同学的作业本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了(污染处用字母 M 和N 表示)，污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的代数式 M和N.
（2）小伟在进一步练习时将复原后的 N+3xy-2y与代数式相加，请帮他求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解 若能，请分解因式；若不能，请说明理由.
20．【问题提出】已知多项式有一个因式为，求的值．
【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路．
思路一：设，
则，
比较系数得，
解得，
．
思路二：设（为一个整式），
由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取，
代入可得：，故．
【模仿运用】已知多项式可因式分解为，求和的值．
【迁移解决】已知多项式有两个因式分别是和，求和的值．
21．如图，图①、图②分别由两个长方形拼成，其中a>b．
（1）用含a，b的代数式表示它们的面积，则S①=　 　 ， S②=　 　
（2）S①与S②之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理．
22．求解下列问题：
（1）试确定和，使能被整除．
（2）已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求．
（3）已知，求的值．
23．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
（2）若，求的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______．
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因式分解 单元综合知识巩固卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，是整式乘法，不是因式分解；
B、，右边不是积的形式，不是因式分解；
C、，右边是积的形式，属于因式分解；
D、，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
2．下列代数式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2-1 B．x2 +xy+y 2 C．x2-2x+1 D．x2+2x -1
【答案】C
【解析】【解答】A、x2-1=（x+1）（x-1），不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2+xy+y2，不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、x2-2x+1=（x-1）2，能用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
D、x2+2x-1，不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可得出答案．
3．下列各式中，能用公式法分解因式的有（　　）
①-x2-y2；②-a2b2+1；③a2+ab+b2；④-x2+2xy-y2；⑤-mn+m2n2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：①-x2-y2不能因式分解；
②能用平方差进行因式分解；
③a2+ab+b2 ，不能利用公式法分解因式；
④可利用完全平方公式分解；
⑤可用完全平方公式进行因式分解，
能用公式法分解因式的有②④⑤，
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义，利用平方差公式、完全平方公式进行逐一判断即可.
4．把多项式a2-4a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a(a-4) B．(a+2)(a-2) C．a(a+2)(a-2) D．(a-2)2-4
【答案】A
【解析】【解答】解：a2-4a=a（a-4）．
故答案为：A
【分析】观察此多项式，含有公因式a，利用提取公因式法分解即可。
5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．m2﹣m﹣1 B．﹣2m+m2+1 C．1﹣2m﹣m2 D．m2﹣2m﹣1
【答案】B
【解析】【解答】解：﹣2m+m2+1＝（m﹣1）2，
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍．
6．已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为：（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选：B．
【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质。当方程组的解互为相反数时，意味着两个未知数满足的关系。给定方程组：；将两个方程相加得到：；利用的条件，可以简化计算并求出k的值。
7．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【解答】A．属于整式的乘法运算，不合题意；
B．符合因式分解的定义，符合题意；
C．右边不是乘积的形式，不合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；
故答案为：B．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．
8．一个长方形的面积为 ， 若它的宽为 ， 则它的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：长方形的长= .
故选：B.
【分析】结合长方形的面积公式：面积=长×宽，用面积 除以宽（x-11)即可.
9．把多项式因式分解成，则m的值为（　　）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
10．设 n是任意正整数，代入式子 n3-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是 （　　）
A．388 947 B．388 944 C．388 953 D．388 949
【答案】B
【解析】【解答】解：∵n3-n=n(n2-1)=n(n+1)(n-1)，又n是任意正整数，
∴n3-n的计算结果一定能被6整除，
∵388947÷6=64824……3，
388944÷6=64824，
388953÷6=64825……3，
388949÷6=64824……5，
∴n3-n的计算结果，其中正确的结果可能是388944.
故答案为：B.
【分析】将n3-n先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法进行第二次分解后就会发现：“n3-n”可以表示为三个连续正整数的乘积，而三个连续正整数的乘积一定能被6整除，从而判断四个选项中的数谁能被6整除即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解：x2﹣3x=　 　．
【答案】x（x﹣3）
【解析】【解答】解：x2﹣3x=x（x﹣3）．
故答案为：x（x﹣3）
【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可．本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
12．分解因式：
（1）3a2-6a+3=　 　；（2）x2+7x+10 = 　 　.
【答案】（1）3（a-1）2；(x+2)(x+5)
【解析】【解答】解：（1）3a2-6a+3=3（a2-2a+1）=3（a-1）2
( 2 )x2+7x+10 =(x+2)(x+5)
故答案为：3（a-1）2；（x+2）（x+5）.
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式进行第二刺分解即可；
（2）原式利用十字相乘法分解即可.
13．已知 ，那么 的值为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】∵
∴原式=（）（）-
=2（）-
=-
=
=4
故答案为：4.
【分析】先将原式中的因式分解，再将代入化简，然后再对所得整式进行化简求值即可。
14．分解因式：ab2﹣4ab+4a=　 　．
【答案】a（b﹣2）2
【解析】【解答】解：ab2﹣4ab+4a
=a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）
=a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为：a（b﹣2）2．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
15．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=　 　．
【答案】-31
【解析】【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13），
=（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13），
=（3x﹣7）（x﹣8）
=（3x+a）（x+b），
则a=﹣7，b=﹣8，
故a+3b=﹣7﹣24=﹣31，
故答案为：﹣31．
【分析】首先提取公因式3x﹣7，再合并同类项即可得到a、b的值，进而可算出a+3b的值．
16．分解因式：x2﹣ y2=　 ．ab﹣a﹣b+1=　 　．
【答案】（x+ y）（x﹣ y）；（b﹣1）（a﹣1）
【解析】【解答】解：x2﹣ y2=（x+ y）（x﹣ y），
ab﹣a﹣b+1
=（ab﹣a）﹣（b﹣1）
=a（b﹣1）﹣（b﹣1）
=（b﹣1）（a﹣1），
故答案为：（x+ y）（x﹣ y），（b﹣1）（a﹣1）．
【分析】根据平方差公式分解即可；先分组，再分解因式，最后提取公因式即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．分解因式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）首先提取-3，然后利用完全平方公式进行分解；
（2）首先提取公因式(x-y)，然后利用平方差公式进行分解.
18．分解因式
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
.
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）先根据完全平方公式整理原式，再把看作整体，根据完全平方公式分解因式即可；
（3）根据分组分解法和平方差公式进行分解因式即可.
（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
19．小伟同学的作业本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了(污染处用字母 M 和N 表示)，污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的代数式 M和N.
（2）小伟在进一步练习时将复原后的 N+3xy-2y与代数式相加，请帮他求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解 若能，请分解因式；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得：N=30x4y2÷(-6x2y)=-5x2y；M=(-6x2y)×3xy=-18x3y2；
（2）解：-5x2y+3xy-2y +x2y+xy+y=-4x2y+4xy-y，
这个多项式能够因式分解，
-4x2y+4xy-y=-y(4x2-4x+1)=-y(2x-1)2.
【解析】【分析】（1）根据“多项式除以单项式，就是用多项式去除以单项式的每一项，再把所得的商相加”及单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”、“单项式除以单项式，把系数与相同字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算即可；
（2）先根据整式加法法则算出正确的商与“x2y+xy+y”的和，再将所得和利用提取公因式法分解因式，进而再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
20．【问题提出】已知多项式有一个因式为，求的值．
【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路．
思路一：设，
则，
比较系数得，
解得，
．
思路二：设（为一个整式），
由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取，
代入可得：，故．
【模仿运用】已知多项式可因式分解为，求和的值．
【迁移解决】已知多项式有两个因式分别是和，求和的值．
【答案】[模仿运用]解：∵，
，
∴；
[迁移解决]解：已知多项式有两个因式分别是和，
∴时，，
当时，，
解得：，
【解析】【分析】[模仿运用]根据按多项式乘多项式展开，再系数对应相等求解即可；
[迁移解决]将和代入多项式，得到二元一次方程组，求解即可．
21．如图，图①、图②分别由两个长方形拼成，其中a>b．
（1）用含a，b的代数式表示它们的面积，则S①=　 　 ， S②=　 　
（2）S①与S②之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理．
【答案】（1）；
（2）解：， 又 .
【解析】【解答】解：（1）由题意得：S①=a2-b2，S②=（a+b）（a-b）.
（2）∵S①=a2-b2=（a+b）（a-b），S②=（a+b）（a-b）.
∴S①=S②.
【分析】（1）通过观察图形可以看出S①的面积是大正方形面积-小正方形的面积，由正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，大正方形边长是a，小正方形边长是b，可以知道，大正方形面积是a2-b2.
（2）由图可以看出图②是一个长方形，由长方形面积=长×宽，该长方形长为：a+b；宽：a-b.所以该长方形面积S②=（a+b）（a-b）.由（1）知道S①=a2-b2.而a2-b2符合平方差公式可以因式分解为：（a+b）（a-b），所以就可以得到：S①=S②.
22．求解下列问题：
（1）试确定和，使能被整除．
（2）已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：∵能被，
∴可设商式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴时，能被整除；
（2）解：∵关于的二次式可分解为两个一次因式的乘积，
又∵
∴可设两个一次式分别为和，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴a的值为6；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴的值为．
【解析】【分析】（1）根据题意设商式为，结合多项式乘多项式的运算法则即可列出关于m、n的方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出a和b的值；
（2）根据题设两个一次式分别为和，结合多项式乘多项式的运算法则即可列出关于m、n的方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出a和b的值；
（3）先根据完全平方公式求出，根据多项式乘多项式的运算法则求出，再由得出的表达式，即可求解.
（1）∵能被，
∴可设商式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴时，能被整除；
（2）∵关于的二次式可分解为两个一次因式的乘积，
又∵
∴可设两个一次式分别为和，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴a的值为6；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴的值为．
23．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
（2）若，求的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______．
【答案】（1），
（2）∵，，，
∵，，即，，
∴．
（3）
【解析】【解答】（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有；
故答案为：，
（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）从“整体”看阴影部分是一个边长为的正方形，从“部分”看阴影部分面积等于大正方形面积减去四个长方形面积；
（2）根据非负数的性质可得，再根据完全平方公式及变形得到，代入计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积不变即可解答．
（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有；
故答案为：，
（2）∵，，，
∵，，即，，
∴．
（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，
∴．
故答案为：．
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